一道习题的拓展与延伸

黄爱国

摘 要：数学学习整体是比较抽象与枯燥的，不少学生缺乏学习兴趣。在学习中，如何把枯燥的变成有趣的，是摆在每个教师眼前的重要课题，通过引领学生对课本中一道习题的变化，让学生经历题目从简单到复杂一步一步地延伸，及对条件的不断前移、植入，产生新的题目，引导学生的思维逐步深入，拉长了学生的思维链，既摒弃了传统的题海战术，也促进了学生数学思维向深层发展，让学生在变化中体会到数学内在美的魅力，从内心激发学生的兴趣。

关键词：一题多变；思维深度；类比；联想；配方法；内在美

在数学学习中，我们经常用一题多变、一题多解来训练学生的解题思路，如果能经常让学生体会一题多变，可以让学生更深入地掌握数学方法，拓宽学生的思维。下面仅以初一一道练习题为例给予说明。

原题：已知a-2b=4，ab=8，求a2+4b2的值。

解：a2+4b2

=（a-2b）2+4ab

=42+32

=48

分析：原题就是直接利用配方法求代数式的值。

变式1：条件不变，求（a+2b）2的值。

解：（a+2b）2

=a2+4b2+4ab

=（a-2b）2+8ab

=80

分析：此题的结论是在前一个基础上增加一个先展开，然后再配方，有一个公式的正逆运用，比原題更进一步。

变式2：条件不变，求a4+16b4的值。

解：a4+16b4

=（a2+4b2）2-8a2b2

=［（a-2b）2+4ab］2-8a2b2

=1792

分析：此题是在原题的基础上增加了二次配方，显然离条件更远，引导学生思维进一步深入。

变式3：若把条件前移，结论不变，则此题可变为：

已知│ab-8│+（a-2b-4）2=0，求a2+4b2的值。

解：根据题意得：a-2b=4，ab=8

（其余做法同原题）

分析：此题与原题相比，是把条件隐含了，需自己创造求值的条件。

变式4：已知│ab-8│+（a-2b-4）2=0，求a4+16b4的值。

解：（是变式2与变式3的结合）

分析：不难发现，此题的变化实际是条件与结论向两边延伸，把思维链拉长，拓宽了思维空间，考验学生的思维深度，是我们数学题变化的主要方法。

变式5：已知│ab-8│+（a-2b-4）2=0，求（a2-4b2）（a2b+2ab2）的值。

解：根据题意得：a-2b=4，ab=8

（a2-4b2）（a2b+2ab2）

=（a-2b）（a+2b）·ab（a+2b）

=ab（a-2b）［（a-2b）2+8ab］

=2560

分析：此题实际是在条件不变的情况下，在结论中植入了乘法分配律和平方差公式两个知识点，使整个题上升到一个新的层次。

通过以上几例可以看出，变式1、2都是结论的不断深入，变式3是条件前移，变式4是把以上二者相结合，而变式5是在原题的基础上植入新的知识点，他们无论怎样变化，归根结底都需要配方法来解决问题。

以上几个小题通过把条件前移与结论延伸相结合，由浅入深，开阔了学生的视野，让学生在做题中体会到数学内在的变化美，提升了学生的学习兴趣；也教给学生在学习过程中注意类比、联想，找出题目之间内在的联系，从深层去理解问题，学会思考。

编辑 孙玲娟