如何训练学生思维

屠传焱

摘 要：让数学课堂成为思维的课堂，就是把数学思维训练作为数学课堂教学的核心. 本文结合课堂教学实践，从“设”问题、“说”数学两个方面论述如何训练思维，以增强学生的思维品质，提高学生的思维能力.

关键词：思维训练；课堂教学；？摇“说”问题；？摇“说”数学

■问题提出

经常有这样一个现象：某学生在高一、高二时数学成绩不理想，到了高三，该学生刻苦勤奋，遨游题海，于是数学成绩“突飞猛进”，家长、教师、学生本人总认为数学成绩得到了大幅度的提高，可是高考成绩出来以后数学成绩又回到原来的水平. 似乎高三一个学年的几千道题目失去了它的实际作用.于是遗憾加迷茫，不知道高三一年来的几千道题目效用何在？有教师给学生做的练习比别人少得多，平时成绩也一般，但高考却考的很好，尤其是高分很突出.

事实上，训练虽然可以调整人的行为反应，但却遗忘了反应主体对外来意外事件的理解力. 大量训练只能解决熟悉问题的反应速度，不能解决新问题.高考题目都是新问题.如果你对这一现象做过调查，你就会发现所谓“高考回归原点”的这类学生往往在做题时，就题论题. 因此，他们的思维没有得到真正的训练，或者思维没有得以发展和优化，瓶颈就没有办法突破，高考成绩自然就不会提高.

“数学是思维的体操”，数学课堂是训练学生思维最集中的场所. 让数学课堂成为思维的课堂，就是把数学思维训练作为数学课堂教学的核心. 课堂教学过程就是训练优化学生数学思维的过程.只有这样，才能使数学课堂成为高效的课堂，充满活力和创造力的课堂！

如何做好思维体操，增强学生的思维品质，提高学生的思维能力？下面谈谈笔者在课堂教学实践中的具体做法.

■“设”问题

数学教学中要形成自然的流程、高质量的思维過程，我们要设计一连串好的问题来引领学生思维的发展与优化. 这一连串有直接或间接内在联系的问题称之为“问题链”. 设计数学教学中的问题链可以让学生在自由、民主的合作、交流活动中学会思考，学会学习.设置怎样的问题能训练学生的思维呢？笔者研究了两种设计：“由高向低，分层设计”与“由浅入深，逐级设计”.

1. 由高向低，分层设计

所设问题在学生的最近发展区内，从高层次的元认知问题到低层次的知识再现问题，可以设置成几个层次来问，层次越高，问题就越开放，涉及知识越少，探究能力要求就高，训练思维能力就越高；层次越低，涉及具体知识越多，训练思维能力就越低. 教学操作时，先宽后窄.思维从开放、猜想、直觉、灵感到逻辑推理、分析综合，再到具体数学思想方法.

案例1 同角三角函数关系导入

先复习一下sinx，cosx，tanx三个三角函数的定义，然后可分成以下几个层次提问. 第一层：接下来我们能做些什么呢？这个问题没有指明目标，自己寻找方向，要学生自己发现问题，属探索、发现级别，教师只是提供意识上的提示；第二层：你能发现sinx，cosx，tanx之间有什么关系吗？这个问题具体到三角函数，教师提供原材料，没提供具体方向，但指明了关系，有等量和不等量的暗示，属探究级别；第三层：sinx，cosx，tanx之间有什么等量关系？这个问题指明方向，但没有指明方法，有一定操作指向；第四层：利用定义或单位圆，你能发现什么，他们之间有什么等量关系？这个问题指明了方向，提供可能的操作工具，涉及具体的知识与方法，留给学生的只是具体地解决问题，能力要求也就偏低. 可以看出以上每问都是为了同一个教学内容，但问法不同，要求也就不同，教学效果也就有差异.

案例2 求y=■值域

案例1是新知识引入，这个案例是解题思路的引出，所有的知识学生都已经学过. 因此第一层是让学生自己思考，自己研究如何解决问题，这是第一层，属探究级别；第二层问：你能想到相关内容吗？提示要学会联想相关可能的内容，没有指明方向，只是作出策略上的暗示，学生可以联想三角函数、分式函数及结构上类似的斜率等具体知识；第三层问：这是什么样的结构形式，你会想到什么？这里指明了结构：分式形式，暗示与分式函数相关，可以用反函数分离变量法求值域，也可以用数形结合但不具体；第四层问：这个式子类似反比例函数及解析几何中的斜率，你能用他们来解答吗？这个问题直接指明了具体的方法. 这四问对学生提示是不同的，对学生的思维要求是由高到低.

2. 由浅入深，逐级设计

教材中有些内容学生的经历少，感悟不深，尤其是起始概念、方法和思想.为了增加学生的体验，我们使用由低级到高级逐级铺垫深入的设计方法，为学生提供归纳、总结的情景，让学生在这个问题链情景中体会如何步步深入探究问题；让学生在体验中逐步领悟知识的内涵，从而提升学生的领悟与理解能力，感受问题的解决过程.

案例3 直线与平面平行的判定引入

问题1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1B1与面ABCD是什么关系？还有类似与面ABCD平行的直线吗？（可以问教室顶上的直线与地面之间的位置关系）

问题2：你会定义直线与平面平行吗？

问题3：任画一直线与面ABCD平行吗？在平面A1B1C1D1内画A1C1和其他比较特殊的直线呢？（可以用一个木棒比画一下与地面是否平行？）

问题4：用定义判定起来困难，需要找新的判定工具吗？

这种案例设计要从学生的实际生活、学生熟悉的背景、学生已有的知识和能力出发设计一个个问题链，让学生有建构的时间和经历.

案例4 由平行四边形ABCD作背景设计向量减法，练习问题链.

■

图1

已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，若■=a，■=b，■=c，则

问题1：■=_______，■=_______；

直接表示，让学生熟悉向量的基本运算及向量的平移不变性，知识单一.

问题2：■=_______；

需要综合问题1的知识.

问题3：■+■=_______；

需要综合问题1、2及加法知识.

问题4：证明b+c-a=■；

不仅涉及背景多（向量的加法），思维方法要改进，还涉及转化思想与分步处理的方法.

问题5：若P满足■+■+■=0，则P处于△ABD的什么位置？

这个问题不仅在运算方法上有变化，而且解决方向是开放的，增强了探究的意识.

这种案例设计要考虑两个方面：一是知识、技能设计由单一知识点到两个或两个以上知识点的认识、操作与应用；二是思维方式的设计，由直接到间接，由具体到抽象，由正向到逆向，由收敛到发散，逐步提高思维层次.

要说明的是，两种设计方式可以同时交叉使用，问题的跨度可以根据自己学生能力及课堂学生思维的反应进行调整.

一个好的问题，对于所授内容来讲是具有启发意义的问题；对教学活动来讲是具有探索和拓展意义的问题；对学生的情感来讲又是学生熟悉或感兴趣的问题；对长远目标来讲是培养学生学习能力的问题，是提高学生学习积极性与创造性的问题. 在平常的教学过程中，我们一方面要用新课程理念武装自己的教育、教学观念，学习一些教育、教学理论，用全新理念和理论分析一些好的问题链设计，从中学习、体会其艺术性，提高自己的设计技巧与能力，另一方面我们要自己动脑创作一些好的问题设计，实现我们对课程资源的再创造，逐步提升自己的问题设计的能力.

■“说”数学

维果斯基说：语言是思维的外壳.通过语言，可以了解学生的思维状况，打开思维之门，推动思维的发展. 在交流与表达中，“说”数学是一个重要的方式. 所谓的“说”数学，就是用自己的语言说出数学知识、思想方法及解决问题的过程与策略等数学内容的一种学习方式. 教师通过学生“说”数学来了解学生对知识的理解程度，对数学思想、方法的应用水平以及学生的情感、态度等等. 学生自己在“说”数学的过程中要整理自己的知识、思路及方法，把原来不连续的、散乱的思维整理清楚，培养学生的归纳整理，系统优化，数与符号应用、想象、分析综合等思维能力；学生也能从“说”数学的过程中发现问题，促进学生进一步的深入思考；学生也能从“说”数学中锻炼自己用数学的语言与别人交流的能力，提高自己自由表达数学思想方法的自信心. 数学不同于语文、英语等文科课程. 它是以文字语言、符号语言、图形语言组成的逻辑体系较强的学科，要求学生语言叙述要准确. 大家知道，教师的语言表达能力会影响教学效果，同时学生的表达水平也会影响教学效果. 一个教师水平再好，若学生不说话，老师就不能清楚学生的思维情况，教学反馈就不到位. 因此，在养成学生想“说”、有话可“说”的基础上，还要加强学生“会说”的训练，让学生能准确表达自己的思想，促进学生各种思維的优化.

1. “说”概念

学生用自己的语言说清概念、定理、公式等知识，能促进学生对它们的记忆、理解以及提高学生的语言表达能力. 数学是用一系列的概念、定理、公式等支撑起来的具有严谨的逻辑结构的体系. 学生要想说清楚，必须要对它们理解. 有一些学生背得很熟，但让他们用自己的语言说清楚就不行了. 在教学中，我们要学生用自己的语言来说说所学的知识，不仅说清楚内含，而且说清楚与其他知识的联系以及它的使用范围、注意点，有必要时可以让学生举一个例子. 通过这样的训练，学生不仅理解、复习以前的知识，促进与之相关知识间的联系，而且同时也培养学生的表达能力. 例如，学习了余弦定理，可以让学生用自己的自然语言叙述这个定理，而不是用字母来叙述，然后再让学生说说应用范围，举一个例子. 这样，学生就会基本应用这个公式了，不会导致一些学生虽然会背，但到实际的题目中就不知道对应关系，不能正确应用它.

2. “说”思路

人们常常会有这种感觉：在说话的过程中会发现自己原来的想法或思路有问题. 事实上，人的语言与思维不一定是同步的. 思维有时是跳跃的，不连续的，因此在叙述的过程中，总是要思考一下如何表达；想的不一定能说清楚，所以有时需要整理一下思路，完善自己的思路，使思路清晰. 在解题教学中，教师要求学生在过程中用玻利亚的解题顺序表（“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾反思”）来提示自己，从而提高解题的思维意识，促进思维的连贯性. 教学中，教师仅仅要求学生写出答案或者运算步骤是不够的，主要的是让学生描述他们获得答案的过程以及他们解决问题时所遇到的困难，不断鼓励学生弄清想法，并能用数学语言阐述.

通过这个过程，学生往往能发现一些错误，比如写错了、运算错误等等，也能在整理思路的过程中发现新的或更好的解法，教师也能及时发现学生的问题，并进行及时的指导、点拨.

案例5 一次测验中求方程log■■+log■■=3的解集的答对率为100%，但有5人将解集写成了解的形式. 评讲教师觉得有蹊跷，让其中一个板演，结果是这样的：

log■■=3，log■=3，2x=8，x=4.代入检验成立，所以x=4 .

这位教师再让学生说理由，学生说对数的加法法则：log■+log■=log■.

教师再问：那么你是怎么记住对数的加法法则呢？

学生说：记得以前我们学过的一个公式是ab+ac=a（b+c）.

试想如果教师不去问，不去让学生说出自己的思考过程，就失去了了解学生的思维的机会，就不能反思自己的教学过程.

3. “说”体会

孔子说“学而不思则罔”，在解题结束后、在课堂内容结束后、在章节小结处，教师要求学生用自己的语言叙述一下自己的体会，以促进学生梳理知识形成网络，总结解题经验、学习方法，提高学生总结归纳的表达能力. 例如，笔者常让学生记录一些典型问题，并要求写出点评，点评这个问题好在哪里，解题关键在哪里，哪些地方容易出错，有哪些地方值得借鉴，通过这些让学生学会自我思维监控，学会思考，甚至可以让学生写小论文，比如写：章节总结，集合中容易出错的问题；函数最值的求法，怎样使自己思维严谨等，通过“写”促进深入思考.

此外，在课堂教学中可以通过参透数学思想提升思维深度，也可以从哲学角度提升思维高度.

数学思想中又蕴涵着数学思维.例如，数形结合突出形象思维与抽象思维相结合的训练，转化思想体现划归映射思维等等. 数学思想方法是数学知识的精髓，是数学内容的灵魂，是数学活动的指导思想和普遍适用的方法，它能使学生领悟数学的真谛，学会数学的思考和处理问题，是学习知识、发展智力和培养能力相结合的法宝，教师要让数学思想方法成为由知识转化为能力的纽带，促使学生良好思维品质的形成和发展.

哲学是从自然科学中总结出来的，它又可以反过来指导自然学科，数学当然也不例外. 正数与负数是对立统一的，复数是矛盾运动的产物，从割线到切线，分类讨论是量变到质变，抽象问题具体化是一般与特殊等等.

在新课程教学背景下发展学生的思维，培养具有创造性思维品质的学生是教育的必然和改革的需要. 只有开满思维之花的课堂，才能让每一个学生学会思维，享受学习，体验成功，培养具有创新思维的聪明的学习者. 只有这样的课堂，才能使师生从题海中解脱出来.