“利用二分法求方程的近似解”教学案设计

陈晶

摘 要：用“二分法”求方程的近似解，学生可以从中体会函数与方程之间的联系，同时具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力. 本教学案设计了4个实际活动，一环扣一环，让学生身临其境，合作交流，帮助学生发现规律，解决问题，同时让学生学会独立地将课本上的知识进行分析综合，整理归纳，自我诊断，通过解题巩固知识，最终形成一个完整的科学体系，从而优化学生的认知结构，培养创新能力.

关键词：二分法；近似解；方程；活动

■教材分析

函数的应用是学习函数的一个重要方面，本章通过学习“用二分法求方程近似解”的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型. 本节课从学生已有的基础（一元二次方程及其根的求法，一元二次函数及其图象与性质）出发，从具体（一元二次方程的根与对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系）到一般，揭示方程的根与对应函数零点之间的关系. 在此基础上，再介绍求函数零点的近似值的“二分法”，并在总结“用二分法求函数零点的步骤”中渗透算法的思想，为学生后续学习算法内容埋下伏笔.

■学情分析

通过本节课的学习，使学生在知识上学会用“二分法”求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系；在求解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，所以希望学生具备恰当地使用信息技术工具解决这一问题的能力. 这就要求学生除了能熟练地运用计算器演算以外，还要能借助几何画板4.06中文版中的“绘制新函数”功能画出基本初等函数的图象，掌握Microsoft Excel软件一些基本的操作.

■教学目标

1. 知识与技能

通过教学，让学生能说出二分法的概念，掌握运用二分法求简单方程近似解的方法，会判断连续函数在某个闭区间上是否存在零点.

2. 过程与方法

通过具体实例的讨论与探究，在对函数与方程的关系的认识中能遵循由浅入深、循序渐进的原则，归纳概括出所发现的结论或规律，初步接触算法思想，体会从具体到一般的认知过程.

3. 情感、态度、价值观

体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一，在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦.

■教学重点与难点

教学重点：用二分法求相应方程的近似解的方法与具体步骤.

教学难点：恰当地使用信息技术工具，利用二分法求给定精确度的方程的近似解.

■教学方法

以动手操作、分组讨论、合作交流、总结反思、课后实践相结合.

■教学过程

1. 教学活动

活动1 幸运52曾经现场直播，进行一个猜数字游戏：给定1～100这100个自然数，计算机随机出一个1～100之间的整数，通过操作键盘让学生去猜这个数，对于大家每次猜测的结果，计算机的提示是“对了”或“大了”或“小了”.

讨论：（1）任给一个1～100的整数，我都可以在7次以内猜出，你们能做到吗？

（2）为什么采用正确的方法，7次以内一定可以猜中？

（第一次猜50，若“大了”，则猜1与50中间的整数25，以此類推，由于每猜一次，就排除一半，范围不断缩小，7次以内一定可以猜中）

（3）这种猜测的思想是什么？

设计意图：上述游戏，每次都将所给区间一分为二，进行比较后得到新的区间，再一分为二，如此下去，使得所猜数字逐步逼近计算机所给的数字，这种思想就是二分法. 通过做游戏，来提高学生的学习热情，让他们在玩的过程中初步体会二分法的思想和作用，并进行有意义学习.

活动2 根据课本P117例4“求方程2x3+3x-4=0的一个实数解，精确到0.01.”探究：

（1）求函数f（x）的零点近似值，第一步应做什么？

（2）为了缩小零点所在区间的取值范围，接下来应做什么？

（3）精确到0.01，算几次就可以了？若精确到0.001呢？

设计意图：此活动在于通过讨论，让学生知道用二分法求方程近似解的具体过程和解题步骤，以及用二分法求近似值的过程到何时结束.

活动3 课本P119练习：用二分法求方程0.9x-■x=0的近似解，精确到0.1.探究：

（1）与活动1进行比较，过程有什么不同？

（2）根据这些活动，二分法求方程近似解的具体步骤是什么？

设计意图：活动1中的方程2x3+3x-4=0虽然没有给出初始区间，但是根据方程的形式容易知道为（-∞，+∞），而活动3中的方程0.9x-■x=0的初始区间未给定，却需要自己找，这是一个质的变化. 通过自主探究、讨论，来体会、归纳出确定初始区间的一般方法：估算或利用图象（估算：由方程有意义及移项左右两边相等，可知x0>0；或作图：考查函数y=0.9x与y=■x图象交点的横坐标，可知x0>0），以及得出利用二分法求方程近似解的具体步骤.

活动4 利用计算器，求方程x+lgx=3的近似解（精确到0.1）.

注：可以2人为一组，互相配合，一人按计算器，一人记录过程，不同组之间探讨交流，从中能得出什么样的结论？

设计意图 1. 通过学生合作探究，进一步来体会、归纳出确定初始区间的一般方法.

（估算：由方程有意义及左右两边相等，可知x0∈（0，3）；作图：考查函数y=lgx与y=3-x图象交点的横坐标，可知x0∈（2，3））

2. 由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此我们可以借助计算器来完成计算. 通过共同学习、交流探讨，感知初始区间选择的不同对结果无影响，只是计算次数多少而已.

活动5 如图1，一条电缆上有15个接点 ，现某一接点发生故障 ，如何尽快找到故障接点？

■

图1

设计意图：让学生在活动中体会二分法在实际生活中的用处.

2. 自我诊断

（1）下列函数均有零点，其中不能用二分法求近似解的是（ ）

■

设计意图：使学生明确初始区间（a，b）并非任意选取，必须满足f（a）f（b）<0，加深学生对利用二分法求方程近似解原理的理解.

（2）用二分法求方程3x+3x-8=0在x∈（1，3）内近似解的过程中，取区间中点x0=2，那么下一个有根区间为（ ）

A. （1，2）

B. （2，3）

C. （1，2）或（2，3）都可以

D. 不能确定

设计意图：使学生明确利用二分法求方程近似解取新区间的方法，一个端点是原区间的中点，另一个是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号.

（3）方程■■-lnx=0的根的个数为

（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

设计意图：使学生进一步明确通过函数图象与性质来分析零点的方法，答案为B选项.

（4）在一个风雨交加的夜里，從某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障. 这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子，请你帮他们设计一个维修方案来迅速查出故障所在，如何设计？

设计意图：让学生感悟二分法在实际生活中的应用，同时体会到学习数学成功的喜悦.

（5）请感兴趣的同学思考：当0

设计意图：让学有余力的学生更能发挥其个性品质，提高学科素养.

3. 总结提炼

1. 二分法的基本思想是______；

2. 初始区间的选定的方法有：______；

3. 利用二分法求方程的近似解的具体步骤是：______.

4. 你有什么收获？你还存在什么疑惑？

设计意图：引导学生回顾学习过程，进行总结和反思，并提出自己还存在的疑问，以便在教师的帮助下解决问题.

4. 阅读拓展

在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的桥梁中，方程的求解是其中璀璨的一座. 虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.

由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数y=f（x）的零点（即f（x）=0的根），对于f（x）为一次或二次函数，我们有熟知的公式解法（二次时，称为求根公式）. 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题，在《九章算术》、北宋数学家贾宪的《黄帝九章算法细草》、南宋数学家秦九韶的《数书九章》中均有记载. 在十六世纪，已找到了三次和四次函数的求根公式，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果.1824年，挪威年轻数学家阿贝尔（N. H. Abel，1802-1829）成功地证明了五次以上一般方程没有根式解. 1828年，法国天才数学家伽罗瓦（E.Galois，1811-1832）巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程. 人们认识到高于4次的代数方程不存在求根公式，因此对于高次多项式函数及其他的一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法，这是一个在计算数学中十分重要的课题.

设计意图：介绍中外历史上的方程求解问题，让学生感受到数学文化方面的熏陶，最大限度地调动学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，提高学生学习的积极性和主动性. 同时，从高次代数方程解的探索历程使学生认识引入二分法的意义.

■案例反思

新课程理念指出：教师应倡导以自主探索、动手实践、合作交流的学习方式为出发点，根据学生的社会环境特征、思维活动水平和数学教学条件去创造最适合自己学生的数学学习活动，在知识的形成过程中突出数学思维活动的学习，引导学生充分经历知识的建构过程. 在设计实践中，以培养学生获取新知识的能力、学生合作与交流的能力为目的，更多地关注学生的学，坚持实现数学学习的“有效”和“高效”，并使数学学习实现从“有效学习”、“高效学习”到“魅力学习”的飞越.

1. 情景进行了有效教学实际.数学来源于生活，又应用于生活. 本教学案以猜数字游戏为情景，在玩的过程中来体验二分法的这一算法思想，突出了学习的主题，进行了有效情景的设计，以问拓思，因问造势，充分调动了学生的积极性与主动性，提高了学生的学习兴趣.

2. 教学活动过程充分体现了学生获取新知识、学生合作与交流的过程. 本教学案设计了4个实际活动，一环扣一环，让学生身临其境，合作交流，共同探究，帮助学生发现规律，解决问题，同时让学生学会独立地将课本上的知识进行分析综合，整理归纳，自我诊断，通过解题巩固知识，最终形成一个完整的科学体系，达到学习目的，突出了理性思维，优化了学生的认知结构，培养了创新能力.

3. 教学设计是为教学服务的，但课堂教学不应该被课前的设计所束缚. 课堂上，教师应以学生的反应作为行为决策的依据，而不是以事先写好的教案为依据.特别是当教学不能按计划进行时，教师不可勉强为之，而要随机应变.要注意：

（1）准确理解与把握教材和资源，教师对教材本身的理解越深刻，对资源的使用就越有效；

（2）教师要在掌握了教学目标和教学要求的基础上，认真分析学生.对自己学生的文化背景、知识基础、认知水平及方式等进行评估，找出他们学习这一知识或技能的困难，思考从哪个角度学生可能更容易接受和理解. 农村学生可能对一些城市的情况不了解，但他们与大自然有亲密接触，优秀的教师应该更好地利用他们知道的、见过的和可以想象出来的事务，帮助他们学习和理解更多的知识，掌握更多的技能，培养丰富的兴趣和正确的学习能力.

（3）教师要将自己的初步教学设计与资源的教学设计进行对照，进一步体会资源处理教学重、难点的方式方法，理解教学活动设计的意图、步骤和效果.这一过程是一个思考的过程. 有比较才能有鉴别，农村教师不仅要学习资源中教师的教学组织形式，更要体会这种教学组织形式背后所反映的教育思想和方法.