分解速度 简化解题

龚志会

摘 要：速度是矢量，可以进行合成与分解。在解决高中物理的很多问题时，分解速度都会使解题变得简单，特别是对于轻绳连接的物体。选择了几个具体实例，其中涉及分析物体受力、动能定理、机械能守恒定律、光学等知识，体现了分解速度的思想对解题的简化。

关键词：速度；矢量；分解；连接体

速度是矢量，所以速度的运算应该满足矢量运算法则，即速度可以进行合成与分解。直接应用常见的是“用绳子连接的两个物体，由于绳的倾角等因素，求解绳两端所连接物体速度大小关系”。其实不仅限于此，“速度的分解”与物体受力、能量、光学等知识都可以联系在一起。下面就几个具体应用进行讨论。

简化解决连接体问题：

例1．如图所示，在离水面高H的岸边有人以大小为v0的速度匀速收绳使船靠岸。当船与岸上的定滑轮水平距离为x时，船速是多大？

解答：收绳时使船靠岸，船水平向左运动（船的实际运动方向）是合运动，其速度为v。可看成是由两个运动的合运动：即一个分运动是沿绳收缩方向，速度大小v1=v0；另一个是垂直于绳使绳摆动的方向，设速度大小为v2。

设此时绳与水平面的夹角为θ，则

cosθ=■，由图可以看出：v=■·v0

本题中，要通过速度的分解，找到收绳的速度与船实际速度的关系式，从而解决问题，是速度分解的基本应用。

简化解决受力分析问题：

例2．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，小车匀速向右运动时，物体A的受力情况是

A.绳的拉力大于A的重力；

B.绳的拉力等于A的重力；

C.绳的拉力小于A的重力；

D.绳的拉力先大于A的重力，后变为小于A的重力。

解答：物体A和小车通过绳子连接，其中，物体A的速度方向沿绳，而小车的实际速度水平向右，所以，小车的速度可分解为两个分速度：其中一个沿绳收缩的方向，速度大小与A速度大小相同，设为vA；另一个是垂直于绳使绳摆动的方向，设为v1.

设绳与水平方向的夹角为θ，则如右图所示，

vA=v车cosθ，由于车向右运动速度v车不变，夹角θ变小，其余弦值变大，所以vA变大，即A物体速度一直增大，所以A物体具有向上的加速度，则绳的拉力大于A的重力。选项A正确。

通过本题我们不难看出，绳两端连接的物体，由于绳夹角的变化，可以通过速度的分解找到一端物体速度的大小变化，根据这一定性的变化，可以判断加速度方向，根据牛顿第二定律，即可判断物体所受绳子拉力大于物体重力。

简化解决动能定理问题：

例3．一辆汽车用如图所示的细绳提起井中质量为m的物体，开始时，车在A点，绳子已经拉紧且是竖直，左侧绳长为H，提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经过B驶向C。设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为v。求车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功。设绳和滑轮的质量及摩擦不计，滑轮尺寸不计。

解答：

由汽车的速度入手分析，汽车运动的实际速度为沿水平方向向左，经此位置时速度大小为v，可以分解为两个方向分速度。一个为沿绳方向设为v1，与物体上升的速度相同；另一个为垂直于绳的设为v2。如图所示：

则：vcos45°=v1

对m分析，绳Q端的拉力对物体做正功，物体重力做负功，物体动能增加。

根据动能定理得：W-mg■-H=■mv21

W=mg（■-1）H+■mv2

简化解决机械能守恒定律问题：

例4．物体A质量为mA=10 kg，置于光滑的水平面上，物体B的质量为mB=1 kg，用轻绳通过两等高的定滑轮与A连接，如图所示，h=0.5 m，A、B由图示位置从静止开始释放，此时θ=30°（忽略绳与滑轮间的摩擦及滑轮的质量），求（1）运动过程中A物体的最大速度vA的大小；（2）当绳与水平方向夹角为60°时A的速度为多少？

解答：

（１）当A物体达到最大速度时，连接A的轻绳处于竖直方向，则此过程中，连接B的绳端点高度下降，B物体重力势能减少，A动能增大，由能量守恒得：

mBg■-h=■mAv2A

vA=1 m/s

（2）当绳与水平方向夹角为60°时，A、B物体均具有动能。此时，A物体速度沿水平方向向左设为v，B物体速度沿绳所在方向，设为vB，则v·cos60°=vB

根据能量守恒：mBg■-■=■mAv2+■mBvB2

解得：v2=0.82 v≈0.9 m/s

这两个例题中，两物体通过绳子相连接，组成一个系统，完成一段运动过程。在例3中，要求出绳端点处拉力对物体做的功，由于题目中没有明确拉力是恒力还是变力，所以，应选择用动能定理解题。而题目中的已知条件是经B位置時汽车的速度大小，就要把汽车在B点的速度分解，根据两速度的关系，找到物体此时的速度大小，再结合动能定理，本题不难求解。

在例4中，两物体和绳组成的系统机械能守恒，但是一个机械能守恒的方程不能同时求解出两个物体此时的速度大小，所以还要分析两者速度的大小关系，这就要用到速度的合成与分解。通过这个速度关系的辅助方程，本题不难求解。

简化解决光学问题：

例5．如图所示，点光源S发出的光通过光屏AB上的孔Q射到平面镜M上，光屏与平面镜初始位置平行，光线SO方向与平面镜初始位置垂直，且OQ=d，当平面镜绕过O点的转轴以角速度ω逆时针转过30°时，光线SO经平面镜反射在光屏AB上的光点P沿AB移动的瞬时速度为.

解答：

平面镜转过30°角度，则法线转过30°角，那么反射光线相对于原来位置转过60°角，所以此时OP连线与OQ连线夹角为60°。对于光点P在光屏AB上的运动实际在竖直方向上设为vP，所以P点可以看作两个方向分运动的合成，即一个是沿OP方向延伸的速度，方向由O指向P，设为v1；另一个是光线绕O点的转动，方向垂直于OP指向左上方，设为v2。如图所示：

则vPcos60°=v1

根据光学知识v1=2ω·OP，

由几何知识，OP=2d

联立解得：vP=8ωd

在本题中提到的光点P实际是光线OP与光屏AB的交点，光线OP随平面镜绕O点逆时针转动，而光屏AB位于竖直面内，所以光点实际运动沿着竖直方向。由已知条件，可以根据角速度就得光线OP转动的角速度，进一步即可求得光线OP上的点绕O转动的线速度，所以，要根据速度的分解找到P点沿光屏移动的实际速度与绕O逆时针转动的线速度之间的关系，从而解得P点的实际速度。

综上，分解速度，不仅是求解“绳连接物体”瞬时速度关系的一种方法，还经常与其他知识相结合用来解题。在解题时巧用速度的分解，可以简化解题。

以上仅为个人的一点感受，如有不足之处，欢迎批评指正。

编辑 李建军