“动圆问题”探讨

张金兰

关于“动圆问题”向来备受各类数学竞赛的青睐。笔者对此问题亦颇感兴趣，特对其探讨了一番。本文试图给出能被中小学生理解的较为简洁的解法及个人教学建议。

问题：O1（r1）和O2（r2）外切于点A。固定O2（r2），让O1紧贴O2作不滑动的旋转滚动。当O1回到原来的位置时，O1旋转了几圈（如图1）？改“外切”为“内切”呢？

下面的探讨以外切为例。

一、以半徑所在的向量为参照

先考虑半径比为整数比的情况，假设r1：r2=1：3。将O2的圆周展成一条线段BC，O1沿线段BC从点B开始（如图2）作无滑动的旋转至点C（如图3）。易知，顺时针旋转了3圈。将O1与点C“粘合”在一起，再把线段BC还原成圆周（如图4），这时又顺时针旋转了1圈。所以共旋转3+1=4圈，即O1旋转了4圈。

图2 图3

内切的情况与外切相似，但将O1与点C“粘合”在一起再把线段BC还原成圆周时，是逆时针旋转了1圈。所以共旋转了3-1=2圈，即O1旋转了2圈。

所以，当O1与O2的半径比r1：r2是（任意正数比）时，外切的情况：O1旋转了+1圈；内切的情况（r2>r1）：旋转了-1圈。

二、以圆心O1的轨迹为参照

由于在旋转过程中所经过的轨迹及方向不容易把握，比较抽象，影响学生进行思维。笔者以为，从考察点O1的轨迹来思考这个问题，可达到“以静制动”的效果。

一个圆在一条直线或曲线上作无滑动的旋转，自转n°圆心角所对应的弧长就是圆心所经过的轨迹长。因此圆心经过的轨迹长与这个圆的周长比恰是圆旋转的圈数。

如图5，若O1与O2的半径比是r1：r2是（任意正数比），当O1紧贴O2作不滑动的旋转回到原来的位置时，点O1所经过的轨迹是以（r1+r2）为半径的圆周，周长是O1周长的倍，所以O1旋转了+1圈。

内切时（r2>r1），点O1所经过的轨迹是以（r2-r1）为半径的圆周，周长是O1周长的倍，所以O1旋转了圈。

三、信息技术支持下的教学

笔者在翻阅资料时，发现两圆外切且r1：r2=1：3情况的题目在美国ETS的一次考试中出现过。更为有趣的是，当时考试中心制定的标准答案是“3圈”！由此可见，这个连专家都会不小心犯错的问题比较抽象、难理解，学生需要具备较强的空间想象能力和推理能力方能吃透此题。

笔者以为，从教学的角度来看，教师可以使用信息技术来辅助教学，降低问题的抽象性，加强学生对它的直观感受。

用《几何画板》软件作出两个外切的O1、O2，切点为A，画出半径O1A（图1）；使用软件的动画功能让O1紧贴O2作不滑动的旋转回到原来的位置，同时追踪切点A运动的轨迹。观察在运动过程中与初始位置共向的次数（图6-1至图6-4），也即是O1旋转了4圈。点A运动的轨迹是3个花瓣形曲线，长为O1周长的3倍。

图6-1 图6-2

图6-3 图6-4

通过特殊情况的动画演示，学生在脑海中对“动圆问题”形成一种直观上的认识，对其有个初步的了解，有助于学生理解题目和形成解题策略。