关注教学“五化”突出数学本质

2014-05-29曹洪辉

中小学教师培训 2014年8期

曹洪辉

（绩溪县教体局教研室安徽宣城 245300）

积极探索数学教学改革，让教学改革与创新真正回到学科本质化教学的科学意义上来，是深化数学课程教学改革的重要内涵。

如何突出数学学科的本质化教学？笔者认为：从落实数学课程标准的意义上说，小学数学学科的本质化教学就是突出数学意义的教学，关注过程思考的教学，注重问题解决的教学，重视活动方式的教学，体现思想方法的教学。如何实现这一教学本义，现结合自己的教研实践与学习思考提出以下五点看法。

一、建构意义形象化

“先乘除后加减”以及“两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加”等之类的数学法则及运算定律的教学，在很多的数学课堂上并没有让学生真正地去理解，相反要求学生硬性记住的概率更高。之所以是这样，可能是教师对其教学的意义建构缺乏足够的认识，认为只要记住这个结论会运用就行了，没有必要花时间舍精力去展开形成结论的过程或背景；也可能是教师虽想尝试去展开知识的形成意义，让学生知其所以然，但暂不具备那样的水平，于是便来个“奉送真理”的简单化处理。显然，这样的教学不能揭示数学的本质意义，思维含量不高，缺乏思想方法的渗透。我们清楚，数学的概念、意义、定律或法则是数学的“基桩”，也是教学的重点、难点及关键所在，它所要解决的根本问题在于帮助学生搞懂“为什么是这样？”由此打好学习数学的基础。这样去做显然挑战了教师理解数学、解读教材、设计教学的水平。

在笔者先后所听三位教师执教的人教版二年级数学上册（修订版）第58页“乘加乘减”一课内容时，留下的思考就是：他们的最大问题为什么都如出一辙，为什么都没有通过相应的方式和手段帮助学生懂得“在这样的算式中，要先算乘法”这个道理？课堂上，教师只强调“先算乘法，后算加减”，学生却不知其所以然。其实，要让学生明白这个道理并非很困难，一是教师结合该生活场景说明先算乘法后算加或减的实际需要，二是教师只要将这一抽象的数学结论转化为具体形象的图示，组织学生认真观察、仔细思考就可以使问题得到有效解决。

结合主题图中提出的问题：旋转木马里共有多少人？启发学生讨论思考后得出：3×3+2=11；3×4-1=11。“11”是怎么得出来的？假如不先算乘法能得出“11”吗？那为什么在这样的算式中要先算乘法？此时，教师引导学生观察：在4个旋转木马里，有几个木马里的人数是同样的。结合学生回答，教师将“同样多”的3个木马用图示圈起来，这样就自然地将4个木马分成了两个部分，要求出一共有多少人实际上就是把这两个部分合起来，这样“先算乘法，后算加法”的规则就明晰了；如果把每个木马里的人看成一样多（3人），也用图示圈起来，这时4个木马里的总人数可以用怎样的乘法算式计算？这样算出的结果比实际多了几人？那么实际人数就应该要减去几人，这就道破了“先算乘法，后算减法”的理由。（上述过程可参见图1）

图1

教学采取这样的方式和手段，既可有效帮助学生懂得“算式中要先算乘法”的道理，又适时适机地渗透了“集合”与“假设”的数学思想。建构数学意义的教学贯穿于学生学习数学的全过程，必须依据教材的内容编排及特点，抓好起始、生长与发展的每一步。

二、思考问题全面化

笔者曾听到一位教师在一次作业评讲时，对这样一道选择题做出如下表述：“有2本同样的书，用下列两种方法包装（如图2），哪种方法最省包装纸？”

图2

教师给出了这样的指导方法：先假设一本书的长、宽、高各是18厘米、9厘米、2厘米，利用长方体表面积的计算方法分别算出两种包装方法所需纸的面积，再来比较大小。对此，一名学生仅凭观察就得出了问题的答案，理由是：如图，可看出一本书最大的面是上面和下面，按A种方法摆少了4个大面，按B种方法摆少了6个大面，减少的大面越多，包装纸就越省。对学生的迅速判断，教师给予了及时肯定并大加鼓励。

从一般的生活经验出发，学生的直观判断是对的，但图中未标明具体的数字，也没有规定长宽高的比例，作为教师就要有“数学化”的思想作全面考虑。实际上，生活中也有一些很厚的书，如学生字典等一类的工具书，也许这些书如上述摆法其结果不一定是（B）。

由图示可知：A种摆法，减少了4个大面、4个小面，B种摆法减少了6个大面。假设这本书的长、宽、高各是acm、bcm、ccm。

A种摆法减少的面积为：SA＝(4ab+4bc)cm2；

B种摆法减少的面积为：SB＝（6ab）cm2；

SA－SB=4bc－2ab=2b(2c－a）。

（1）当a＞ 2c时，SA＜SB。采用B种方法省包装纸。

（2）当a=2c时，SA=SB。采用A、B种方法所需包装纸一样。

（3）当a＜ 2c时，SA＞SB。采用A种方法包装省纸。

因此其答案有三种可能。倘若现在有6本同样的书或更多，分别像上述图示那样摆，结果呢？不言而喻。

这位学生为什么很快做出这样的直观判断？原因有三：其一，基本的生活经验告诉了他。其二，受教师一般假设的影响。这里教师注重了书本的一般特征，而忽视了其特殊性，另外，“长、宽、高各是18cm、9cm、2cm”的假设与图示的直观偏差甚远，也促进了学生的一般判断。第三，学生虽有生活经验和知识基础，但对问题还缺乏全面的思考，以致忽视了对“减少4个小面”的深层考虑。

显然，教师对这一问题的设计和解决的预设缺乏全面而深入的思考，导致了以“一般情况”来掩盖“特殊事实”的错误，于是对学生的判断只满足于经验思维。数学是一门严谨的学科，教师一定要有数学的眼光和头脑对问题的设计和解决进行全面审视、深度思考，以科学严谨的思想引导学生学会全面分析问题、正确解决问题；简单而疏忽的认识，既不利于夯实自己的学科功底，更不利于培养学生缜密的数学思维，相反还会制约或影响学生的后续学习。

三、抽象概括模型化

抽象概括是学习数学的一个重要过程，也是突出数学本质的重要特征，对于小学生来说，这个过程往往需要经历观察、联系、操作、思考、比较、推理、概括等一系列数学活动，学生只有在有指导的情况下主动参与了这样的体验性活动，才会最大可能获得从具体形象思维到抽象逻辑思维的过渡或发展。“建模”是抽象概括的主要方式，也是数学的重要思想，在帮助学生学会抽象概括的同时，引导学生学会用“模型”概括是数学本质化教学的重要策略。给数学配个“原型”其目的是为建构“模型”架设沟通的桥梁，同时也是帮助学生加强“原型”与“模型”的区别性认识。数学模型源于生活原型又高于生活原型，是对生活原型的“再创造”。比如，在小学生的初始认识中，总认为“点”是有大小的，“线”是有粗细的，这就是“生活原型”赋予的直观上的影响，这种生活经验干扰了学生对数学意义上“点”与“线”的认识与理解。其数学意义虽源于生活，却是对“生活原型”的规则化提炼。我们知道：“点”是“圆”的缩影，“线”是“面”的元素，假如，数学上的点与线有大小粗细之分，那么就自然困扰了图形形状与大小的数学科学研究。因此，加强数学与生活的联系和区别，关注已有知识的迁移和建构，展示和提炼“生活化”的“数学化”过程和意义，是帮助学生进行抽象概括的基本途径。比如，人教版六年级下册总复习中(第91页)“数学思考——找规律”一课：6个点可以连成多少条线段？8个点呢？（参见图3）

图3

复习时需要注意的是，不可单纯地就题解题，以训练的方式简单地给予，而应让学生更好地通过加强联系，以生活化的方式帮助学生思考数学、理解数学、应用数学，更好地促成“发现规律”的目标实现。教学时，教师可采取给其配个生活“原型”的组织方式——“握手交友”，以此将静止抽象的数学问题注入生动形象的生活气息。课堂的交流互动可这样引入：教师和一位同学、两位同学分别握手各握了几次？和三位、四位呢？如果教师要和全班同学一一握手共握多少次？假如教师和全班同学之间都要相互握手，共握多少次？（这里的握手人数就相当于“点数”，两人握手就相当于构成一条线段，相互握手的总次数就相当于线段的总条数）由少及多的亲切交往，由易而难的问题设计，既激起了学生的探究欲望又挑战了学生的数学思考。

为帮助学生探寻“增加点数、增加线段数与线段总条数”的变化规律，采取化难为易、由少到多的引导策略，教师坚持处于交流、点拨与指导中的“首席”，学生在这一过程中始终处于思考、交流与探究的主体地位。在学生发现了其中的变化规律后，教师指出“1+2+3+4+…+（n－1）”的结果是多少？假设用P表示线段总条数，n表示点数，那么P与n的关系怎样表示？这样的抽象概括与数学建模的问题设计，再一次提升了学生的思维层次，把教学推到了“数学化”与“再创造”的新平台。当“P=n（n－1）÷2”的模型概括“出炉”后，帮助学生更好地理解这一模型并将这一模型应用于新的情境之中，是教学不可忽视的重要环节。对此，教师就要追问：谁能联系刚才的握手情境来解释这个模型的具体意义？P表示握手总次数，n表示人数，那么（n－1）表示什么？（自己不可与自己握手，所以要减1）为什么要除以2？（我与你握手就等于你和我握手，两人只算一次）随后设计一道“足球循环赛”的真实问题，让学生自己尝试解决。这样组织活动，充分体现了“思考”与“建模”的本质特征，会收到较理想的教学效果。可见，整堂课围绕数学思考，运用“寻求联系——建立模型——解释并应用”的模式组织学生探究，既突出了学科教学特色，又满足了学生学数学的需要。

四、解决策略多样化

“倡导算法多样化，鼓励算法多样化”的课标精神同样昭示着解决问题策略的多样化。在教材的许多示例中，除了列举的解决方法之外，还会提出：还有别的方法吗？这就启示了多样化的解决途径。有了多样化才有优化的可能，多样化与优化构成了“数学化”的重要方面，也是数学本质化的具体体现。注重解决问题策略的多样化，不仅仅满足于多样化的形式而已，更为重要的意义在于通过多样化的形式引发学生更全、更深的数学思考，以期训练和发展学生的思维方式、思维品质。

为了考察师生在教与学的实践中，是否真正落实了多样化教学，尤其是解决问题的策略多样化，笔者在两次调研测试中分别设计了这样两道题：

1.在括号内填上适当的数，使计算简便且结果等于65。（所填的数0除外）

（）×6.5+65×（）

2.一个均匀滴水的水龙头用两个容器先后接水，甲容器从空滴到满用了25分钟，乙容器则用了40分钟。若两个容器的底面相同，甲容器高15cm，乙容器的高是多少cm？（参见图4）

图4

题1重在考查学生对“乘法分配律”及“积的变化规律”在具体情境中的灵活运用；题2主要检测学生对所掌握“两形体”知识的联系及运用知识综合解决实践问题的能力，由此获得教师指导学生学习的反馈信息。

题1是一道开放题，虽计算结果唯一，但要使计算简便，所填的两个数是不确定的，不确定的两个数又是相互依存、互为条件的。不难发现，要同时满足既简便又合理的条件，一是所填的两个数要满足于和为10或1，这样其答案就有“1、9，2、8，3、7，4、6与5、5或各自缩小10倍”相对应的十种可能；二是所填对应的两个数，其中一个与6.5或与65相乘必须有一个因数要扩大或缩小10倍。例如：

1×6.5+65×0.9=6.5×(1+9)=65

8×6.5+65×0.2=65×(0.8+0.2)=65

1×6.5+65×0.9=65×(0.1+0.9)=65

8×6.5+65×0.2=6.5×(8+2)=65

题2的综合性较强，是对学生仔细审题、沟通联系、抽象认识、探究方法等能力的综合挑战。从题目给出的条件可知，要求出乙容器的高度，主要策略有：

假设法：假设容器的底面积为10cm2，那么每分钟注入容器的水量为“1/3×10×15÷25=2”那么乙容器的高就是“40×2÷10=8cm”。

比例法：因为是均匀滴水，也就是说每分钟注入的水量不变，所以总量与时间成正比例；因底面相同，我们可以假定它为S。设乙容器的高是x cm,由此得到比例式：1/3S×15：25=S x：40，求得 x=8

方程法：设乙容器的高为x cm，根据每分钟注入的水量不变和底面相同可列出方程：1/3S×15÷25=S x÷40。由此求出x=8。

上面两题的测试结果令人遗憾，抽样统计表明：题1的正确率不到25%，题2的正确率不足18%。数字的背后反映了教师在教学中对学生思维能力及解决实际问题能力的培养存在很大的缺失，尤其在实施解决问题的策略多样化上是一个明显的短板，虽然试题设计有一定的难度，但从数学本质化教学的意义上说，加强改革的方向性认识和实践性探索是教师专业发展的必然要求。

五、组织方式活动化

这一点，笔者从一道六年级第二学期的期末测试题说起。试题的设计内容源于人教版六年级下册练习十九第 7题（第100页）：在长12.4cm、宽7.2cm的长方形纸中，剪半径是1cm的圆，最多能剪（）个？〔A、18 B、22 C、28〕。设计的意图就是考查学生积累的数学活动经验情况，同时也透视教师是否将关注数学活动真正落到实处。检测结果着实令人堪忧。学生大多数之所以选择答案A，是受“在一个长方形内截一个最大的圆，这个圆的直径就是长方形的宽”的经验影响，长12.4cm最多只能满足6个小圆的直径，宽7.2cm最多只能满足3个小圆的直径，由此得到18（个）；一部分学生选择答案 C，是以“(12.4×7.2)÷(3.14×1×1)=28（个）”思考方法来考虑的，却忽视了圆不能密铺的道理。对于此题，教科书上有明显的提示，教师教学用书里也给出了具体建议及正确答案。为什么教师却没有给予足够的重视呢？在大力倡导动手操作、合作探究的方式变革中，竟然出现如此指导不力的现象，一个基本的事实难以掩盖：课程教学理念说起来重要，做起来次要，巩固复习时就不要了，或者说，教师只忙于教教材、做习题、改作业的基本任务，而缺乏怎样有效利用教材资源提高学生的学习质量、培养学生的创新精神和实践能力。对于深化数学教学改革来说，这是一件必须高度重视、加强实践的事情。

小学数学教学是关于外显的操作活动与内隐的思维活动相统一的教学，两者如影相随且互为促进。美国教育家苏娜丹戴克说：“告诉我，我会忘记；做给我看，我会记住；让我参加，我就会完全理解。”可见，要真正认识某一事物的特征、本质，听觉容易忘记，视觉容易记住，体验与思考则容易理解。小学数学教材既充满着动手操作的思考又充满着思考的动手操作。假如教师在认真钻研教材的基础上，提高对这一情境可以“加密”的本质性认识（长方形的总面积与18个小圆的总面积相差约33cm2），到底还可以增加几个？面对这一挑战，教师要及时组织学生进行必要的动手操作、合作探究。在教师指导下定会得到如图5所示结果。