数学，留给儿童怎样的印记？<br/>——关于数学“样子”的叩问与应答

数学，留给儿童怎样的印记？
——关于数学“样子”的叩问与应答

2014-05-29黄红成

中小学教师培训 2014年12期

黄红成

（扬州市江都区实验小学江苏扬州 225200）

古文有云：形者，生之具也；物成生理谓之形。其意大抵指，形是事物的固有属性与结构生成。现实中，形的本义可以俗称为“样子”。那么，何为数学之“形”？数学是什么样子的呢？显然，不同的人从不同层面、不同视角可以给出不同的回答。而作为“传道、授业、解惑”的教师，对数学样子的把握与理解，更有着特殊而又重要的意义。

叩问篇：数学是什么样子的？

（一）数学“样子”的基本内涵

对数学的认识与理解，视角的不同与维度的差异可能得到不同的答案，但有些观点大家、学者不谋而合。

第一，数学是种模型。从数学内容上看，数学是模式的科学，数学可以看作是模型的综合。而数学模型有广义与狭义之分。广义上分析，数学中所有的基本概念和基本算法，都可以称为数学模型。狭义上理解，反映特定问题和特定具体事物系统的数学关系结构，才能谓之数学模型。可见，数学通常借助图形、符号、文字等方式呈现这些基本概念、基本算法和关系结构，显现数学的样子。

第二，数学是种关系。从数学结构上看，数与数之间、数与量之间、数量与数量之间的关系结构是数学研究的主要内容之一。对数量关系的理解和基本的数学运算能力，是数学赋予儿童数学学习的主要内容，也是人类智力的重要组成部分。对数与数之间大小的把握、数与量之间逻辑的认识、数量与数量之间结构的分析，是数学的重要组成。在数学学习中，对数学关系的分析与认识，是数学的重要标志。

上述声音，多为大家、学者从上位的角度予以的共识与解答。那么从儿童的视角来揣摩数学的模样又如何呢？

1.数学是把钥匙。从数学功用上看，数学是门工具性学科，广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学本身所蕴含的思想与方法，数学学习中积淀的意识与思维，都是解决问题的重要基础和手段。这些思想、意识、思维和方法，是儿童在数学生活中解决问题的主要钥匙。进言之，用数学方法解决数学问题，数学是解决问题的重要工具。

2.数学是股精神。从意识层面上看，数学作为一种文化现象，是人类文化的重要组成部分。数学知识的得出、数学结论的证明、数学公式的论证等，这些活动的背后无不隐藏着劳动者的勤劳、汗水与智慧。数学，不仅需要将古代劳动人民总结的成果传授给儿童，其在探索的过程中展现出来的锲而不舍的求索精神和不断追求精益求精的劳动智慧，也常常是儿童感慨良多且挥之不去的数学的样子。

需要说明的是，这些对数学样子的认识，也是数学应合宜地呈现给儿童的主要印象。

（二）感受数学“样子”的价值探析

感受数学，就是认识与理解数学；感受数学的样子，就是把握与体会数学的过程，是学生深刻理解数学内涵、把握数学实质、提升数学素养的过程。这即是说，感受数学的样子，不是浅尝辄止、浮光掠影的学习过程，而是由浅入深、由表及里地整体理解数学的过程。

1.建构数学模型，支撑数学理解

数学的样子，很多情况下集中表现在数学模型上。通过帮助儿童建立数学模型，从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号、图形和文字等表示数学问题中的数量关系和变化规律，可以促进儿童对问题的理解、对现象的认识，体会和理解数学与外部世界的联系，进而形成模型思想和促进儿童准确、深刻地理解数学。

2.感受数学联系，把握问题实质

事物与事物之间都客观地存在联系。数学亦如此！数量关系的分析过程，新旧知识的过渡过程，问题本质的理解过程，都是感受数学现象、数学知识和数学问题之间关联的过程。在这些现象、知识和问题之间建立联系，既能让儿童准确感受到数学问题间的联系，认识数学知识的属性和内涵，又能深刻地把握数学现象、知识和问题的本义与实质。

3.体会数学作用，积淀数学能力

数学是打开科学大门的钥匙（培根）。儿童对数学作用的感受通常是比较深刻的、强烈的、持久的，甚至是刻骨铭心的。数学学习中，儿童能够形成思考问题的意识和习惯，掌握分析问题的思想和方法，积淀解决问题的经验和能力；同时能够感受到数学本身所固有的魅力与神奇。

4.感悟数学精神，提升学习品格

数学作为人类文化的一部分，留下来的不仅有思想与方法、定理和公式，还有促人奋进的探索精神与充满劳动智慧的数学故事。作为人类思维的表达形式，数学也反映着人们积极进取的意志、缜密周详的推理及对完美境界的追求。用这些来感染、熏陶儿童，也是数学应该发挥的文化功能。

应答篇：数学，让儿童感受你的样子！

数学的样子，需要教者的认识与理解，更需要儿童去体会与感受。数学的样子，需要教者给儿童创造深刻体会和准确感受的路径，用儿童的方式来感受、观赏数学的样子；需要儿童怀揣体会的欲望与探索的力量，感受数学给儿童留下的印记。

（一）突出模型，给儿童留下数学印记

1.建构模型，让儿童思想烙上数学印记

数学模型是一种数学结构。数学学习就是建构模型、建立结构的过程。例如《乘法分配律》，其规律实质为一种关系结构，在特定的情境中，在没有其他关系或结构的影响下，表示乘法分配律的关系结构一般是相对稳定的。但是如果受乘法交换律之类的关系结构的影响，由于两个关系结构的节点数量和联结方式比较相似，所以学生很容易将乘法分配律的关系结构纳入到乘法交换律的结构中去，造成关系结构的错乱和混淆。笔者教学时，借助三个问题：（1）王大伯家有两块长方形菜地，第一块长10米，宽6米；第二块长8米，宽6米。两块菜地共有多少平方米？（2）教材中的例题。（略）（3）每袋大米30千克，上午卖出40袋,下午卖出45袋。一共卖出多少千克？利用“分别移动两个长方形合并成一个大长方形（如图1、图2）”的形式，让儿童体会到抽象的数学规律与直观的图形之间的关系，从而对乘法分配律留下了深刻印象。帮助学生建构数学模型的方式展开教学，学生借助直观的图形的演示，容易发现乘法分配律两边的特征；通过沟通知识间联系的形式建立节点间的关系，借助符号和图式等方式固化学生的认知结构，能长时间地储存在学生记忆中。

2.突出模型，让儿童理解数学问题

图1

图2

图3

图4

图5

借用模型让儿童感受数学的样子，有时需要彰显和突出建模教学。例如《认识小数》，笔者教学该课时，整个新知的探索部分始终围绕图形来帮助学生建立小数的意义（参见图3、图4、图5）。第一个图形是圆形表示1元，平均分成10份，告诉学生其中的1份是1角=1/10元，还可以写成0.1元；其中的2份是2角=2/10元，还可以写成0.2元。让学生从中再找出其他的钱数，初步体会分数与小数之间的关系。然后出示一个长方形表示1米，平均分成10份，让学生尝试说一说1分米、2分米等长度分别是几分之几米，用小数怎样表示。类似的将学生尺上的1分米抽象出平均分成10份的线段，让学生指一指从哪到哪是几厘米，是多少分米。接着出示一个平均分成10份的正方形，让学生从中寻找小数。最后让学生比较这几幅图中的相同点和不同点。因为有了用分数和小数表示图形中几份的探索，学生对一位小数的认识经历了由模糊到清醒的过程，所以在交流“像0.1、0.2、0.3……这样的小数表示什么？”时，学生异口同声道：“十分之几。”学生的表现，一方面可以看出是对一位小数意义的准确理解，另一方面也能够体会到学生对这些图形的印象非常深刻。所以，突出建模教学，帮助儿童构建数学模型和知识结构，可以加深学生对数学知识或问题的理解，进而留下清晰而深刻的印记。

（二）彰显关系，给儿童描绘数学印象

1.在关系的比较中，提高数学认识

比较是指对比同类事物的异同或高下，是研究问题的常用手段。在比较中可以突出问题的属性，凸显问题的本质。比如正比例和反比例是两个意义相对的函数概念，都表示了两个相关联量的特定关系。其函数概念的意义为：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系；而如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。教学时，不但需要根据教材中的教学素材让学生准确理解这两种函数概念的意义，而且也需要对这两种关系进行必要的比较。例如可以利用这两种函数的图像进行比较，直观地看出两者的差异。因为学生在学习正比例时，已经在画图和观察等活动中积累了丰富的正比例图像的表象，所以在学习反比例时，可以让学生猜测“反比例画出来是怎样的图形？”，然后出示一些表示正比例和反比例意义的图形让学生判断。另外，也可以关注反比例与正比例的转化，转化的过程充满了对比与辨析，是学生提高数学认知的过程。有了类似的对比活动，学生能够清晰地把握数学概念之间的关系，加深了数学概念的认识。

2.在关系的梳理中，加深数学印象

数学关系的分析与厘清，需要进行适当的梳理与沟通。在梳理与沟通中，让儿童感受数学的内在关联，深化儿童对相关联的数学知识的认识。例如平行四边形、三角形和梯形三个图形的面积计算公式，表面上看是三个不同的图形，有的是三边形，有的是四边形，教学时也是相互独立的课时。但这三个图形计算公式在推导上都采用了转化的思想方法，而且面积计算公式也存在内在的关联，需要帮助学生进行梳理与沟通。具体而言，就是在复习平面图形面积计算时，不妨引导学生思考“平行四边形和三角形能否想象成梯形”“这两个图形的面积能否用梯形的面积公式来进行计算？”经过探究，学生觉得平行四边形可以被看成上底和下底相等的梯形，三角形可以被看成上底为0的梯形，平行四边形和三角形的面积也可以用梯形公式进行计算。这样，既沟通了数学知识之间的联系并使之强化，又将学生思维的广度从梯形这一单个图形延伸到其他图形，实现了从整体上对三种图形面积的深刻认知，知识视野得到了拓宽，学习能力也得到了锻炼。

（三）获取钥匙，给儿童聚积数学力量

1.积累经验，蓄积解决问题的潜力

基本活动经验是《义务教育数学课程标准（2011年版）》首次提出的课程目标，是“四基”之一。教学中，帮助儿童积累丰富的数学活动经验，可以帮助儿童准确理解数学问题，并为其解决问题蓄积足够的潜力。例如《乘法》的教学，教材情境图中只有两组素材：（1）4群小鸡，每群都是3只；（2）3组小兔，每组2只。如果照本宣科，一方面教学素材显得有点单调（都是几个相同的数相加），不能突出几个相同数相加的算式的特点，另一方面手段也比较单一，不利于学生产生丰富的活动体验，难以为后继学习中利用乘法的意义来分析问题打下基础。为此，我们可以根据需要补充相关的学习素材。有了更多的学习素材，就有了分析和归类的机会，所以在加深儿童感受“几个几相加可以用乘法计算”的同时，又能够丰富学生的学习表象，能够准确把握乘法的意义及其作用。因为有了不同类的情况的出现，就有了感受和比较的环节，所以可以强化儿童对乘法意义的认识，丰富其活动经验，为提高其分析和辨别问题能力提供了可能。

2.感受智慧，积累解决问题的能力

数学学习中，儿童在获取知识、掌握方法的同时，也需要积累数学活动的经验，孕育解决问题的智慧。在一次大型教学观摩活动中，一位教师执教《升和毫升复习》的一个练习教学，给人以深思与回味。课中，教师拿出五个形状不同的无盖容器，让学生猜一猜：“这五个塑料盒子，哪个容量大？”“怎样才能知道谁的容量最大？”有的说，“老师，我知道，我量这个圆柱体的高和底面半径，再来求它的体积。”有的说“我可以量这个长方体的长、宽、高。”……一时间，小手如林。接着，教师顺势让每个小组都动手去实践自己的想法，学生非常认真地测量、记录和运算。但到集体汇报时却有了分歧，谁也说服不了谁，即将陷入僵局，教师不慌不忙地说：“为什么我们找不出容量最大的容器呢？难道没有其他的方法吗？”听了这话，学生愕然。此时，教者把A容器装满牛奶后，依次倒入了B、C、D、E容器中。原来，这五个容器的容量是一样大的！“为什么同样容量的容器我们却不能准确比较它们的大小呢？”“因为我们的测量不一定准确，会有误差。”“对呀！我只要求你们找出容量最大的盒子，并没有要你们准确地求出每个盒子的容积……”知识的简单堆积不等于数学智慧的形成，知识也只有在灵活运用中才能转化为智慧。促使学生灵活运用知识解决的问题才是有魅力的、有价值的，着眼于数学智慧迸发的育人方式，其意义才是深刻而深远的。

（四）体悟精神，给儿童蓄积数学能量

1.借助外力，帮助儿童补充数学能量

此处的外力是指儿童自身以外的因素对儿童产生的影响，例如数学史料中的数学“精神”。历史往往沉淀下许多值得流传的史实与值得推崇的价值观念。对此，数学教学不应停留于对史实的介绍和对史料的了解层面，还应该引导学生透过史实触摸到史实背后的价值和观念，使教学活动显现出一种更有教育意义的积极影响。例如《圆的周长》的教学，课中组织学生通过动手实践、讨论交流得出圆的周长与它直径的关系，并介绍圆周率的信息后，继续向学生介绍祖冲之研究圆周率的贡献——当时是世界上最先进的成就，在让学生受到爱国主义教育和体会民族自豪感的同时，还要让学生知道在当时落后的技术条件下，他在研究过程中如何运用“借助正多边形周长研究圆周长”的数学思想和智慧，和他不满足于既有结论，不断超越、执着奋进的探索精神等。这样教学，有了数学史料中的精神外力的推动和激励，学生的学习感受更丰富了，情感体验更强烈了，数学认识也更全面了，这正可以激发学生强烈的民族尊严感以及献身科学的求索精神。

2.驱动内力，帮助儿童酝酿数学能量

内力与上述的外力意义相对，是指儿童受数学精神的影响，实现认知共鸣和价值认同，而产生的数学学习需要与欲望。内力的获得与生发，需要儿童有“内在作用力”和自我认同。例如在探索《两位数乘两位数》时，学生创造出了如图6的书写形式。表面看这种书写形式不够简便，但是这种看似复杂的书写形式，与我国明代的“铺地锦”的形式道理一样（如图7），因此在教学时，笔者不但没有武断地否定这种算法，而且还采用了欣赏的方式：“这种算法看上去似乎有点复杂，可是却和我们古代数学家发明的名叫作“铺地锦”的算法道理相同，你真了不起！”然后再把“铺地锦”的算法介绍给学生。当学生发现他们的算法与其计算过程一样时，多数学生都发出了强烈的感叹，感叹他们的算法居然与古代数学家的算法道理相同，感叹道数学家能做到的事自己也可能做得到，从而实现了自我肯定和自我认同，成功的喜悦、意外的惊诧溢于言表。在这样的教学中，学生有了数学探索的欲望，有了攀登数学高峰的信心，有了克服困难的能量。

综上所述，数学教学需要让儿童全面地认识数学，深刻地感受数学，永恒地储存数学的印记！数学样子的内涵是多元的、丰富的，教学的途径也是多样的、丰富的。只有让儿童从不同的角度、不用的层面来认识数学，才能更准确地把握和感悟到数学的样子，数学才能鲜活起来，印象深刻起来，才能根植儿童的心中；才能全面展现出数学的工具价值与文化价值！▲