合并同类 构建体系

彭玉宏

德国数学家希伯特（David Hilbert）认为：“一个数学概念和现有的网络由更强或更多的联系联结着时，概念才是被彻底地理解了。”在教学中，我们可以把各类相似而又有着紧密联系的问题“合并同类项”，寻找新旧知识点的联系。我们可以纵向地“合并同类项”，把具有从属关系的概念或命题体系归结在一起，寻找它们之间的关联；也可以横向地“合并同类项”，寻找同一层面中的要素之间关联。这样，数学知识网络就丰富而立体，知识与方法进一步整合成一个完整的体系，有助于知识的贮存和提取。

一、数学现象的“合并同类项”，在课堂引入时有意想不到的效果

例如在《对数》新授课时这样引入：解加法方程3+x=5，有了减法运算；解乘法方程3·x=5，有了除法运算；解指数方程3x=5，于是有了对数运算。这样既回顾了数学运算的生成历程，又明确了对数与指数的关系，课堂引入得自然有趣而又紧扣主题。

二、把形式相似的问题“合并同类项”，学生能更好地构建知识网络，便于找到知识点之间的联系，促进记忆。

例如：（1）向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），a⊥b，则x1x2+y1y2=0；（2）直线l1∶A1x+B1y+C1=0，l2∶A2x+B2y+C2=0，l1⊥l2，则A1A2+B1B2=0；（3）以两点A（x1，y1）、B（x2，y2）连线为直径的圆的方程为：（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0。

这三个与垂直相关的命题的结论的形式上很相似，罗列在一起，能帮助学生构建垂直关系的命题体系。

三、把同一解题方法的题目“合并同类项”，即多题一解，便于知识点的提炼升华

1。同一问题情境的题目“合并同类项”

例如（1）求函数y=8x+121x2+2x+3的值域。（2）已知函数y=ax+b1x2+2x+3的值域为[-2，4]，求a，b的值。

这两道题都是用一元二次方程判别式得出关于y的不等式求出y的范围，但是第二题中含有了两个待定系数a、b，两题放在一起进行比较，让学生感受数学题从具体直观到复杂抽象的符号化过程，认识到数字就是符号，符号也相当于数字的辨证关系。

2。同一知识点不同的问题情境的题目“合并同类项”

例如（1）求动点P到两点A（-1，0）、B（1，0）距离之比为2的点的轨迹方程。（2）△ABC中，AB=2，边AC、BC长之比为2，求△ABC面积的最大值。（3）已知椭圆y2116+x2112=1的离心率为e，上焦点为F，若点F′与点F关于直线y=312对称，动点M满足MF=eMF′，是否存在一个定点A，使点M到点A的距离为定值？若存在，求出定点A的坐标。

第一题是问题的原型，点P的轨迹是一个圆，后面两题与第一题都是谈的同一个问题，但问题情境已经显得非常陌生。通过这三题的比较分析，让学生看到题目背景变化的痕迹，领会问题的实质。现在的高考题，有许多题目都伪装得比较深，绕来绕去的，绕得学生眼花缭乱，因此要在这方面多做归纳，让学生拨开云雾，透过现象看到问题实质。

四、同一数学思想方法的“合并同类项”，跨度可能比较大，这样能更好地培养学生联系地、全面地、运动地看问题的习惯

例如复习基本量法：分式运算113+115=1115（5+3）=8115，1115是基本量；平面向量的基本定理中向量基底是基本量；等差数列{an}问题的运算过程中，以首项a1和公差d为基本量，通项an、前n项和Sn都可以表示成首项a1和公差d的函数关系式；椭圆x21a2+y21b2=1（a>b>0）问题运算中以a，b为基本量；三角函数题中角度的变换以题目条件中的角为基本量。

列举以上这些运用基本量法的例子，帮助学生领会基本量法的实质作用：指定基本量，其他的量都用基本量的关系式表示，这样把问题简化成多项式的化简或者方程的运算，把问题都转化成代数运算，以便于驾轻就熟。

通过对问题的分门别类，重新整合，变多、乱、杂为整齐有序，构件比较完整的体系。可以看到，“合并同类项”方法的广泛运用，不仅仅对思考数学问题有很大的帮助，还有利于使学生养成在社会生活中处理问题时有序思维的习惯，对学生情感、道德、价值观的培养有着非常积极的意义。的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为23.（1） 求椭圆C的焦距；（2） 如果AF2=2F2B，求椭圆C的方程.

解（1）椭圆C的焦距为4。（过程略）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y1<0，y2>0，直线l的方程y=3（x-2），联立x21a2+y21b2=1，

y=2（x-2），得（3a2+b2）y2+43b2y-3b4=0，y1+y2=-43b213a2+b2①，y1y2=-3b413a2+b2②。因为AF2=2F2B，所以-y1=2y2 ③。由①②得y=-83b213a2+b2，y2=43b213a2+b2，代入②得3a2+b2=32。又因为c2=a2-b2=4，所以a2=9，b2=5，所以椭圆C的方程的方程为x219+y215=1。

点评设而不求法在圆锥曲线中有着很多的应用。向量的坐标法正好符合这一思路，所以遇到圆锥曲线中的向量问题，可以将向量写成坐标形式，则问题变得易于求解。