Weitzenböck公式的一点注记
2014-05-28殷炜栋
殷炜栋
(浙江科技学院 理学院,杭州310023)
1 引 言
在黎曼几何里,Weitzenböck公式有很广泛的应用。它的特殊形式
在证明Li-Yau梯度估计时起了非常重要的作用[1];最近它也被推广到了Finsler几何中去[2]。从上面公式可以看到曲率对调和形式的影响,而且由Hodge定理,又可以从调和形式得到流形整体的拓扑性质[3]。它在黎曼几何中的一般形式可以叙述成如下定理[4-5]:
定理1 如果ei是流形Mn上局部规范正交标架场,ei是其对偶标架场,i=1,2…n,ω∈Ωp(M)是M上的p次微分形式,那么
式(1)中:ΔH=dδ+δd是Hodge Laplacian算子是Rough Laplacian算子;ei·ej是Clifford乘积;[ei·ej,R(ei,ej)ω]=ei·ej·R(ei,ej)ω-R(ei,ej)ω·ei·ej是交换子。
2 主要结果
接下去将导出定理1在一般局部正交规范标架场中不带Clifford乘积的计算公式,这在一般的计算中更熟悉。于是有:
定理2 如果ei是流形Mn上局部规范正交标架场,ei是其对偶标架场,i=1,2…n,ω∈Ωp(M)是M上的p次微分形式,那么
备注:定理1用Clifford乘积的一个好处是,Weitzenöck公式可以进一步推广到Spin Geometry中去[6]。
在给出证明前,先约定使用的符号:g表示黎曼度量;R表示曲率算子,即
R(ei,ej)ek=Rmijkem,〈R(ei,ej)ek,el〉= 〈Rmijkem,el〉=Rmijkgml=Rijlk,Ril=Ricil=gjkRijlk。首先证明引理1。
引理1 ρω定义如前,那么
即可。利用Clifford乘积的定义[4]直接计算,有
这就完成了定理2的证明。
3 应 用
最后再看一下定理2的一个简单应用。如果有一个常曲率K>0的闭黎曼流形(紧致无边)(Mn,g),那么有
特别地,当{∂i}是规范正交标架时,有
应用上面的结论,有
所以当ω是调和形式时,有
所以重新得到如下结论:
定理3 如果(Mn,g)是n维常曲率K>0的闭流形(紧致无边),ω∈Ωp(M)是M 上的p次调和形式,其中p=1,2…n-1,那么ω≡0。
当然从上面的证明里面可以看到,当p=0或p=n时,上面的方法行不通。事实上,当然也存在非零的0次和n次调和形式。关于定理3更一般的结论可以参考文献[4]。
[1] Li P,Yau S T.Estimates of eigenvalues of a compact Riemannian manifold[C]∥Alan W,Robert O.Geometry of the Laplace Operator,Proceedings of Symposia in Pure Mathematics.Providence,Rhode Island:American Mathematical Society,1980,36:205-239.
[2] Ohta S,Sturm K T.Bochner-Weitzenböck formula and Li-Yau estimates on Finsler manifolds[J].Advances in Mathematics.2014,252:429-448.
[3] Wu H H.The Bochner Technique in Differential Geometry,Mathematical Reports:vol.3,part 2[M].London:Harwood Academic Publishers,1988.
[4] Petersen P.Riemannian Geometry[M].New York:Springer-Verlag,1998.
[5] 伍鸿熙,沈纯理,虞言林.黎曼几何初步[M].北京:北京大学出版社,2003.
[6] Lawson H B,Michelsohn M L.Spin Geometry[M].Princeton:Princeton University Press,1989.