建构观指导下的“小题大做”

李勇伟

建构观认为：“人的认识活动的本质是主体的主动建构的过程.”强调以学生为中心，认为学生是认知的主体，是知识意义的主动建构者，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用.那么，在数学解题教学中该如何发挥学生的主体性和教师的促进性作用呢？这是中学数学教学的重要问题之一.根据数学学科具有高度抽象和形式化的特点，结合建构主义学习理论，笔者体会到：在解题教学中加强过程教学、充分暴露思维过程，引导学生主动进行“知识重建”，积极开展协作学习，是达到内化知识、培养能力的重要举措.下面笔者结合课本中一道习题的教学，介绍一下自己的点滴做法.

习题求 cos20°·cos40°·cos80°的值.

1.学生板演暴露思维

学生中出现以下三种类似的解法：

解法一原式=（cos20°cos40°）cos80°

=112（cos60°+cos20°）cos80°

=112（112+cos20）cos80

=114cos80+112cos20°cos80°

=114cos80°+114（cos100°+cos60°）

=114cos80°-114cos80°+ 118=118.

解法二先将cos40°cos80°结合进行积化和差，下略.

解法三先将cos20°cos80°结合进行积化和差，下略.

2.组织讨论总结经验

大家知道，一个班级几十名学生，学生的个性各异，所以，教师需以一种平等、宽容、引导的心态来对待每一个学生，使学生的身心得以自由地表现和发展.这就要求教学中教师要允许学生发表各自不同的意见，即使学生的想法错了，也应保护和鼓励他们探索的积极性.因为民主的教育氛围是挖掘学生创新潜能的必要环境，而奇思妙想甚至错误的观点往往可能成为创新的催化剂.

为了使意义建构（是指对当前所学知识的意义进行建构）更加有效，教师应在可能的条件下组织协作学习，开展讨论与交流，并对协作学习过程进行引导，使之朝有利于意义建构的方向发展.引导的方法包括：提出适当的问题以引起学生的思考和讨论；在讨论中设法把问题一步步引向深入，以加深学生对所学内容的理解；启发诱导学生自己去发现规律、自己去纠正和补充错误的或片面的认识.

据此，引导学生对上面他们所板书的解法开展充分的讨论与交流，最后由学生总结出如下解题经验：（1）遇积化和差，遇和差化积，遇特殊值求其值；（2）判断是否需要“和积互化”的标准是什么呢？一般地，看转化后的角是否为特殊角或与题中某些角有联系的角，若是则行，否则一般不宜.这样，为今后解三角变形题积累了两条宝贵的经验.

3.协作学习探索新解

创设问题情境：“除上述解法之外，是否另有新解呢？”

建构主义认为，学习者与周围环境的交互作用，对于学习内容的理解（即对知识意义的建构）起着关键性的作用.这是建构主义的核心观念之一.学生们在教师的组织和引导下一起讨论和交流，共同建立起学习群体并成为其中的一员.在这样的群体中，共同批判地考察各种理论、观点和假说，进行协商和辩论，先内部协商（即和自身争辩到底哪一种观点正确），然后再相互协商（即对当前问题摆出各自的看法、论据及有关材料并对别人的观点作出分析和评论）.通过这样的协作学习环境，学习者群体（包括教师和每位学生）的思维与智慧就可以被整个群体所共享，即整个学习群体共同完成对所学知识的意义建构，而不是其中的某一位或某几位学生完成意义建构.

提出问题后，教师创设平等交流的氛围，先肯定学生敢思敢问的积极态度，再分析学生思维的合理部分，或组织全班学生讨论，让更多的学生思、问、议，让学生成为学习的真正的主人.根据三角变形的解题规律，引导学生进行如下“式的特征分析”：从式子的运算结构特征上看，是三角函数值的乘积；从角的特征上看，是三个角依次成倍递增；从三角函数名称上看，都是余弦.总结三方面的特征，会联想到什么呢？学生很快联想到二倍角公式：2sinαcosα=sin2α. 若分子、分母同乘以2sin20°， 结果会怎样？学生通过探索发现：分子中就会出现“链锁反应”，可反复逆用二倍角公式得到化简.如此，另辟蹊径，即得第四种新解.

解法四

原式=（2sin20°cos20°cos40°cos80°）/（2sin20°）

=（sin40°cos40°cos80°）/（2sin20°）

=（sin80°cos80°）/（4sin20°）

= （sin160°）/（8sin20°）

=（sin20°）/（8sin20°）=1/8.

4. 变题训练启发创新

建构观和教学实践告诉我们，变式训练是建构和优化学生知识结构，启发和培养学生创新意识的有效手段.

变式1求值： cos（2π/7） cos（4π/7） cos（6π/7） （改变角的大小）.

析与解 先用π-α 诱导公式变形，然后凑用倍角公式.

原式=-cosπ17cos2π17cos4π17 （ 具备引例“三特征” ）

=-2sinπ17cosπ17cos2π17cos4π1712sinπ17

=-sin2π17cos2π17cos4π1712sinπ17

=118.

变式2求值： cos2π17+cos4π17+cos6π17 （改乘为加）.

教师巡视发现：绝大多数学生利用“遇和差化积”进行变形，结果碰壁.想到同乘以2sin2π1712sin2π17进行积化和差，结果再次碰壁.建构主义提倡在教师指导下的、以学习者为中心的学习，也就是说，既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用，教师是意义建构的帮助者、促进者，而不是知识的传授者与灌输者；学生是信息加工的主体、是意义的主动建构者，而不是外部刺激的被动接受者和被灌输的对象.于是，此时老师点拔学生：再回头观察角的特征，发现角成等差排列，公差为2π17，原式乘上2sinπ1712sinπ17试试如何？结果，学生发现分子中利用积化和差公式进行拆项后出现部分相消而得解.

解原式

= 2sinπ17（cos2π17+cos4π17+cos6π17）12sinπ17

=sin3π17-sinπ17+sin5π17-sin3π17+sinπ-sin5π1712sinπ17

=-sinπ1712sinπ17=-112.

5. 引导反思建立模型

皮亚杰认为，学生是在与周围环境相互作用的过程中，逐步建构起关于外部世界的知识，从而使自身认知结构得到发展.学生与环境的相互作用涉及两个基本过程：“同化”与“顺应”.同化是指把外部环境中的有关信息吸收进来并结合到学生已有的认知结构中，即个体把外界刺激所提供的信息整合到自己原有认知结构内的过程；顺应是指外部环境发生变化，而原有认知结构无法同化新环境提供的信息时所引起的学生认知结构发生重组与改造的过程，即个体的认知结构因外部刺激的影响而发生改变的过程.可见，同化是认知结构数量的扩充，而顺应则是认知结构性质的改变.学生就是通过同化与顺应这两种形式来达到与周围环境的平衡：当学生能用现有认知结构去同化新信息时，他是处于一种平衡的认知状态；而当现有认知结构不能同化新信息时，平衡即被破坏，而修改或创造新认知结构的过程就是寻找新的平衡的过程.学生的认知结构就是通过同化与顺应过程逐步建构起来，并在“平衡——不平衡——新的平衡”的循环中得到不断的丰富、提高和发展.

因此， 数学的学习并不总是“做”出来的，不管教师设计多么好的活动，学习者“只有通过自己的理解力时，才能真正学好数学”.新的数学观念形成后，学习者就会试图用新的观念去重新认识已经积累起来的解题技巧、方法和规律，把它纳入刚刚建立起来的认知结构.这是一个反思的过程.

反思学习是智能发展的高层次表现.反思通俗地说就是指在完成一项任务后，回顾一下自己的智能活动过程，想一想自己的发现过程、解题过程，有何经验，有何教训，及时总结最佳学习策略.“反思”是建构学说在教学实践中的主要体现，它是对主体建构活动的再建构，即二重建构，唯有反思才能控制思维操作，才能促进理解，提高自己的元认知能力，从而促进数学观点的形成和发展，更好的进行建构活动，实现良好的循环.

为此，教师提问：从以上解题中你能否得出一般性的规律呢？引导学生通过反思可以得到如下模型及解法：

（1） 一般地，凡可转化成 cosα·cos 2α· cos4α·…· cos2n-1α（n∈N*） 型的题目，可尝试乘上2sinα12sinα，再反复逆用二倍角公式来解决.

解cosα·cos 2α· cos4α·…· cos2n-1α

=2sinα·cosα·cos2α·cos4α·…·cos2n-1α12sinα

=sin2α·cos2α·cos4α·…·cos2n-1α12sinα

=sin4α·cos4α·…·cos2n-1α12·2sinα=…=sin2nα12nsinα

（2）一般地，凡可转化成cosα+cos2α+cos3α+ … +cos （nα） （n∈N*）这种形式的题目，可先乘以2sinα1212sinα12，再利用积化和差公式拆项相消而得解.

解cosα+cos 2α+ cos3α+ … + cos （nα）

=112sinα12 [2sinα12cosα+2sinα12cos2α+…

+2sinα12cos（nα）]

=112sinα12[（sin3α12-sinα12）+（sin5α12-sin3α12）+…

+（sin（2n+1）α12-sin（2n-1）α12）]

=112sinα12[sin（2n+1）α12-sinα12]

=cosn+112α·sinn12α1sinα12.

至此，学生不但进一步理解所学内容及其内在之间的联系，而且经历了一次“再创造”的思维过程，充分领略到流畅的数学思维所带来的精神享受，更是让学生从中发现自我，培养自信、坚强、忍耐的品质，进而激发学生学习数学的兴趣，提高数学素养.