立足于平实，让思维灵动

商阿妮

著名数学教育家波利亚曾说过：在数学教学中首要任务就是加强解题训练；掌握数学就意味着善于解题.数学教学中需要通过解题来复习和巩固新知识，所以解题不仅指学生能将所学数学知识简单的应用到习题中去，并强调程序性的练习，还要通过数学的思考产生新的解题方法，主要是强调思维方法与过程.

在高考中直线与直线、直线与圆、直线与圆锥曲线相交问题占有非常重要的分量，往往需要求解出直线方程.如何求出直线方程要寻求解法，并要找出快速求出正解的方法，不同条件下解法也有不同.

《南方凤凰台》江苏版一轮配套检测与评估上有这么一道经典题目：

引例过点P（3，0）的直线l，被两条直线l1∶2x-y-2=0和l2∶x+y+3=0所截得的线段恰好被点P所平分，求直线l的方程.

已知直线上一点确定直线，一般可以再找直线上另一点来确定，或用此点和该直线的斜率来确定.

解法一对于确定直线l与l1或l2的一个交点有三种大同小异的求法，设l与l1、l2分别交于点A、B，以求得点A坐标为例：

法（1），可设l与l1交于点A（a，b），由点P平分所截得的线段AB，运用点的对称关系得到点B（6-a，-b），再将A、B两点坐标分别代入直线l1与l2方程中解出方程组的解，从而得到点A坐标（1113，1613）.

法（2），可以比（1）早代入，由l与l1的交点A在直线l1上，可以设A（x1，2x1-2），由于关于点P的对称点B为（6-x1，2-2x1）在直线l2上，得到A点坐标，运用代入法较晚即常说的转化代入法，即可得到直线方程.

法（3），利用两点分别在直线l1与l2上，可设A（x1，2x1-2）、B（x2，-x2，-3），然后运用线段AB中点P（3，0），运用中点坐标公式求得x1，进而得到A.

前三者都是确定另一点的做法，确定直线AP即所求直线，进而运用点斜式或两点式亦或斜截式得到直线l方程.

解法二由题意和图形可知直线l的斜率存在，可用点斜式表示设l方程为y=k（x-3），l分别与l1和l2联立并代入得到点A和点B横坐标用k表示的形式，由中点横坐标公式求得斜率k，即可得到直线l方程为8x-y-24=0.

一、有对应关系条件的题型求直线方程时可用“代入法”.

例1已知直线l：y=3x+3，求

（1）直线l关于点M（3，2）对称的直线l′的方程；

（2）直线l关于直线x+y+2=0对称的直线l′的方程.

解（1）设A′（x，y）是所求直线l′上任一点，

因为A′（x，y）关于M（3，2）的对称点A（6-x，4-y）在直线l上，

所以4-y=3（6-x）+3，即得Sn-2Sn-1+213=4（Sn-1-2Sn-2+213）

=…=4n-2（S2-2S1+213）

=3213×4n-2

=213×4n，

所以3Sn-6Sn-1+2=2×4n，n=2，3，…. ②

由2×②-3×①，

整理得

Sn=113×4n-1-2n+1+213，n=2，3，….

该式对n=1也成立，从而得

an=114（3Sn+2n+1-2），

即an=4n-2n，n=1，2，3，….

三、注重数学习题训练的质量，培养学生归纳、总结的能力

在高三数学的复习过程中，决定复习效率的关键是数学习题训练的质量，即在于数学习题的质量以及学生处理数学习题的水平.因此，在高三数学复习的过程中，数学习题的选择要注意一定的难度，不要让学生耗费精力在只有运用技巧才能解答的“偏题、怪题、奇题”上，而应该引导学生在解题的 “稳”、“实”上狠下功夫，提高数学解题的质量与效率.同时要注意强化习题训练的收效，要让学生在完成了一道数学题目之后做到“知其然并知其所以然”，对学生进行通性、通法的训练，这样才能保证学生高考得分的概率.教师一定要让学生意识到对数学习题进行归纳、总结、思考的收益远远大于忙碌的进行数学解题.对于一种类型的题目，运用同一种技巧解答的题目，学生要学会在解题的基础上进行总结，学会举一反三，融会贯通，这样才是数学解题的精髓所在.

四、结束语

总之，高三数学的复习具有难度大、时间紧的特点，因此迫切需要教师寻找出切合学生发展的复习模式，在有限的时间里提高高中数学复习的效果，让学生在严峻的高考中立于不败之地.这就需要高中数学教师在数学总复习中将数学基础知识系统化，让学生将基础知识弄懂、弄透彻，在此基础之上再有针对性的给学生布置练习题对知识加以巩固，最后让学生对数学习题进行总结、归纳.提升学生数学解题的效果，只有这样才能搞好高三数学的复习，让学生在数学高考复习中取得佳绩.所以直线l′的方程为3x-y-17=0.

（2）设A′（x，y）是所求直线l′上任一点，

因为A′（x，y）关于x+y+2=0的对称点A（-y-2，-x-2）在直线l上，

所以-x-2=3（-y-2）+3，

所以直线l′的方程为x-3y-1=0.

虽然解题时可以先求所求直线上的两点，但是在有对称关系等对应关系的此类题目中用代入法较快，往往先由关系进行转化再代入的解决方法更加快捷.

二、已知直线上一点的坐标时往往采用“斜参法”

已知直线上一点的坐标时往往利用斜率将直线表示为点斜式来解决，当然解题过程中需要先考虑斜率是否存在，以保证思维的严谨缜密.

例2已知圆C∶（x-1）2+（y-2）2=2，求过点P（2，-1）的圆C的切线方程.

分析先由图象可知（点在圆外）圆C的切线的斜率存在，然后设点斜式方程，进而运用（法1）“几何法”：d=r或者（法2）“代数法”：直线方程代入圆方程得到Δ=0，解之得到斜率为7或-1，最后代入得到切线方程.

例3若过点P（2，1）的直线l与抛物线y2=4x交于A，B两点，且OP=112（OA+OB），则直线l的方程是.

分析由题意知P为相交弦AB的中点，设A（x1，y1）、B（x2，y2）.

解法一由图形知l的斜率k存在，可设点斜式方程，代入抛物线方程化为x表示的方程后由韦达定理得x1+x2=4k2-2k+41k2，又由中点坐标公式得x1+x2=4k2-2k+41k2，等量代换后解得k=2，进而得到直线l的方程是2x-y-3=0.

解法二将A，B两点坐标分别代入抛物线方程，作差可得（y1-y2）（y1+y2）=4（x1-x2），又有y1+y2=2，可得y2-y11x2-x1=2，即直线l的斜率是2，进而得到直线l的方程.

解法二为直线与抛物线相交弦的中点相关条件得到直线方程的做法.

已知直线与圆锥曲线相交弦的中点求直线方程时多用“点差法”.

如果遇到直线与圆锥曲线相交线段或弦的中点相关问题用“点差法”明显会快捷，易算很多.

如南通市2013届高三第一次调研测试第19题

例4已知左焦点为F（-1，0）的椭圆过点E（1，2313）.过点P（1，1）分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD.设M，N分别为线段AB，CD的中点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若P为线段AB的中点，求k1；

（3）若k1+k2=1，求证直线AB恒过定点，并求出定点坐标.

此题第一问外两问实质都要求直线AB斜率或方程.

分析第一问由题知焦点在x轴上，定下椭圆标准方程形式x21a2+y21b2=1（a>b>0）.（法1）可用椭圆定义先求得a=3，进而得到b2=2.（法2）点E（1，2313）代入椭圆方程，又由c=1和a2=b2+c2得到a2和b2.得到椭圆标准方程为x213+y212=1.

（2）解设A（x1，y1），B（x2，y2），则

x2113+y2112=1， ①

x2213+y2212=1. ②

②-①，得（x2-x1）（x2+x1）13+（y2-y1）（y2+y1）12=0.

所以，k1=y2-y11x2-x1=-2（x2+x1）13（y2+y1）=-4xP16yP=-213.

（3）解依题设， k1≠k2.

设M（xM，yM），直线AB的方程为y-1=k1（x-1），即y=k1x+（1-k1），即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得

（2+3k21）x2+6k1k2x+3k22-6=0.

于是，xM=-3k1k212+3k21 ，yM=2k212+3k21.

同理，xN=-3k1k212+3k22，yN=2k112+3k22.

当k1·k2≠0时，直线MN的斜率k=yM-yN1xM-xN=4+6（k22+k2k1+k21）1-9k2k1（k2+k1）=10-6k2k11-9k2k1.

直线MN的方程为y-2k212+3k21=10-6k2k11-9k2k1（x--3k1k212+3k21），

即y=10-6k2k11-9k2k1x+（10-6k2k11-9k2k1·3k1k212+3k21+2k212+3k21），

亦即y=10-6k2k11-9k2k1x-213.

此时直线过定点（0，-213）.当k1·k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点（0，-213）.

综上，直线MN恒过定点，且坐标为（0，-213）.

虽然在第（2）问解决问题时也可以同（3）运用“斜参法”，但是运算相对繁杂很多.所以在解决问题时，要根据题意选择快捷的方法来解决.而后进行反思，选择适当的方法解决题目，或者选择自己熟悉又能快速求得正解的方法.

在数学教学中，解题教学的地位极其重要，教师对解题教学的正确引导不仅能帮助学生透过一个题目的表象认识其本质，而且有利于学生养成良好的思考习惯.要多角度、全方位地分析问题，寻找一题多解，可以帮助学生拓宽解题思路，增强知识联系，权衡解法优劣，进行比较、归纳、总结，快速联想到位并迅速建立自己的思路.在解题后反思同一道题目的多种解法，培养学生思维的广阔性，让学生在更高层次富有创造性地去学习、摸索、总结，有利于提高学生深层次思维的构建，会让学生的思维灵动起来，有助于学生数学知识的储备和数学思维的提升.

分析先由图象可知（点在圆外）圆C的切线的斜率存在，然后设点斜式方程，进而运用（法1）“几何法”：d=r或者（法2）“代数法”：直线方程代入圆方程得到Δ=0，解之得到斜率为7或-1，最后代入得到切线方程.

例3若过点P（2，1）的直线l与抛物线y2=4x交于A，B两点，且OP=112（OA+OB），则直线l的方程是.

分析由题意知P为相交弦AB的中点，设A（x1，y1）、B（x2，y2）.

解法一由图形知l的斜率k存在，可设点斜式方程，代入抛物线方程化为x表示的方程后由韦达定理得x1+x2=4k2-2k+41k2，又由中点坐标公式得x1+x2=4k2-2k+41k2，等量代换后解得k=2，进而得到直线l的方程是2x-y-3=0.

解法二将A，B两点坐标分别代入抛物线方程，作差可得（y1-y2）（y1+y2）=4（x1-x2），又有y1+y2=2，可得y2-y11x2-x1=2，即直线l的斜率是2，进而得到直线l的方程.

解法二为直线与抛物线相交弦的中点相关条件得到直线方程的做法.

已知直线与圆锥曲线相交弦的中点求直线方程时多用“点差法”.

如果遇到直线与圆锥曲线相交线段或弦的中点相关问题用“点差法”明显会快捷，易算很多.

如南通市2013届高三第一次调研测试第19题

例4已知左焦点为F（-1，0）的椭圆过点E（1，2313）.过点P（1，1）分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD.设M，N分别为线段AB，CD的中点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若P为线段AB的中点，求k1；

（3）若k1+k2=1，求证直线AB恒过定点，并求出定点坐标.

此题第一问外两问实质都要求直线AB斜率或方程.

分析第一问由题知焦点在x轴上，定下椭圆标准方程形式x21a2+y21b2=1（a>b>0）.（法1）可用椭圆定义先求得a=3，进而得到b2=2.（法2）点E（1，2313）代入椭圆方程，又由c=1和a2=b2+c2得到a2和b2.得到椭圆标准方程为x213+y212=1.

（2）解设A（x1，y1），B（x2，y2），则

x2113+y2112=1， ①

x2213+y2212=1. ②

②-①，得（x2-x1）（x2+x1）13+（y2-y1）（y2+y1）12=0.

所以，k1=y2-y11x2-x1=-2（x2+x1）13（y2+y1）=-4xP16yP=-213.

（3）解依题设， k1≠k2.

设M（xM，yM），直线AB的方程为y-1=k1（x-1），即y=k1x+（1-k1），即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得

（2+3k21）x2+6k1k2x+3k22-6=0.

于是，xM=-3k1k212+3k21 ，yM=2k212+3k21.

同理，xN=-3k1k212+3k22，yN=2k112+3k22.

当k1·k2≠0时，直线MN的斜率k=yM-yN1xM-xN=4+6（k22+k2k1+k21）1-9k2k1（k2+k1）=10-6k2k11-9k2k1.

直线MN的方程为y-2k212+3k21=10-6k2k11-9k2k1（x--3k1k212+3k21），

即y=10-6k2k11-9k2k1x+（10-6k2k11-9k2k1·3k1k212+3k21+2k212+3k21），

亦即y=10-6k2k11-9k2k1x-213.

此时直线过定点（0，-213）.当k1·k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点（0，-213）.

综上，直线MN恒过定点，且坐标为（0，-213）.

虽然在第（2）问解决问题时也可以同（3）运用“斜参法”，但是运算相对繁杂很多.所以在解决问题时，要根据题意选择快捷的方法来解决.而后进行反思，选择适当的方法解决题目，或者选择自己熟悉又能快速求得正解的方法.

在数学教学中，解题教学的地位极其重要，教师对解题教学的正确引导不仅能帮助学生透过一个题目的表象认识其本质，而且有利于学生养成良好的思考习惯.要多角度、全方位地分析问题，寻找一题多解，可以帮助学生拓宽解题思路，增强知识联系，权衡解法优劣，进行比较、归纳、总结，快速联想到位并迅速建立自己的思路.在解题后反思同一道题目的多种解法，培养学生思维的广阔性，让学生在更高层次富有创造性地去学习、摸索、总结，有利于提高学生深层次思维的构建，会让学生的思维灵动起来，有助于学生数学知识的储备和数学思维的提升.

分析先由图象可知（点在圆外）圆C的切线的斜率存在，然后设点斜式方程，进而运用（法1）“几何法”：d=r或者（法2）“代数法”：直线方程代入圆方程得到Δ=0，解之得到斜率为7或-1，最后代入得到切线方程.

例3若过点P（2，1）的直线l与抛物线y2=4x交于A，B两点，且OP=112（OA+OB），则直线l的方程是.

分析由题意知P为相交弦AB的中点，设A（x1，y1）、B（x2，y2）.

解法一由图形知l的斜率k存在，可设点斜式方程，代入抛物线方程化为x表示的方程后由韦达定理得x1+x2=4k2-2k+41k2，又由中点坐标公式得x1+x2=4k2-2k+41k2，等量代换后解得k=2，进而得到直线l的方程是2x-y-3=0.

解法二将A，B两点坐标分别代入抛物线方程，作差可得（y1-y2）（y1+y2）=4（x1-x2），又有y1+y2=2，可得y2-y11x2-x1=2，即直线l的斜率是2，进而得到直线l的方程.

解法二为直线与抛物线相交弦的中点相关条件得到直线方程的做法.

已知直线与圆锥曲线相交弦的中点求直线方程时多用“点差法”.

如果遇到直线与圆锥曲线相交线段或弦的中点相关问题用“点差法”明显会快捷，易算很多.

如南通市2013届高三第一次调研测试第19题

例4已知左焦点为F（-1，0）的椭圆过点E（1，2313）.过点P（1，1）分别作斜率为k1，k2的椭圆的动弦AB，CD.设M，N分别为线段AB，CD的中点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若P为线段AB的中点，求k1；

（3）若k1+k2=1，求证直线AB恒过定点，并求出定点坐标.

此题第一问外两问实质都要求直线AB斜率或方程.

分析第一问由题知焦点在x轴上，定下椭圆标准方程形式x21a2+y21b2=1（a>b>0）.（法1）可用椭圆定义先求得a=3，进而得到b2=2.（法2）点E（1，2313）代入椭圆方程，又由c=1和a2=b2+c2得到a2和b2.得到椭圆标准方程为x213+y212=1.

（2）解设A（x1，y1），B（x2，y2），则

x2113+y2112=1， ①

x2213+y2212=1. ②

②-①，得（x2-x1）（x2+x1）13+（y2-y1）（y2+y1）12=0.

所以，k1=y2-y11x2-x1=-2（x2+x1）13（y2+y1）=-4xP16yP=-213.

（3）解依题设， k1≠k2.

设M（xM，yM），直线AB的方程为y-1=k1（x-1），即y=k1x+（1-k1），即y=k1x+k2，代入椭圆方程并化简得

（2+3k21）x2+6k1k2x+3k22-6=0.

于是，xM=-3k1k212+3k21 ，yM=2k212+3k21.

同理，xN=-3k1k212+3k22，yN=2k112+3k22.

当k1·k2≠0时，直线MN的斜率k=yM-yN1xM-xN=4+6（k22+k2k1+k21）1-9k2k1（k2+k1）=10-6k2k11-9k2k1.

直线MN的方程为y-2k212+3k21=10-6k2k11-9k2k1（x--3k1k212+3k21），

即y=10-6k2k11-9k2k1x+（10-6k2k11-9k2k1·3k1k212+3k21+2k212+3k21），

亦即y=10-6k2k11-9k2k1x-213.

此时直线过定点（0，-213）.当k1·k2=0时，直线MN即为y轴，此时亦过点（0，-213）.

综上，直线MN恒过定点，且坐标为（0，-213）.

虽然在第（2）问解决问题时也可以同（3）运用“斜参法”，但是运算相对繁杂很多.所以在解决问题时，要根据题意选择快捷的方法来解决.而后进行反思，选择适当的方法解决题目，或者选择自己熟悉又能快速求得正解的方法.

在数学教学中，解题教学的地位极其重要，教师对解题教学的正确引导不仅能帮助学生透过一个题目的表象认识其本质，而且有利于学生养成良好的思考习惯.要多角度、全方位地分析问题，寻找一题多解，可以帮助学生拓宽解题思路，增强知识联系，权衡解法优劣，进行比较、归纳、总结，快速联想到位并迅速建立自己的思路.在解题后反思同一道题目的多种解法，培养学生思维的广阔性，让学生在更高层次富有创造性地去学习、摸索、总结，有利于提高学生深层次思维的构建，会让学生的思维灵动起来，有助于学生数学知识的储备和数学思维的提升.