浅淡数学解题中的逆向思维

2014-05-26詹光灿

博览群书·教育 2014年1期

詹光灿

摘要：在数学问题的解决中，有的问题直接寻找解决的方法比较困难，有时甚至无法找到，这就需要我们从间接的途径去解决问题。间接的思维方法就是从问题的侧面或反面对问题进行思考，从而使问题获得解决，本文就间接思维中几种常见的思维模式之一逆向思维的应用进行论述。

关键词：数学问题；逆向思维；补集；待定系数

逆向思维是相对于习惯思维的另一种思维，它指在解决问题的过程中，能主动改变思维方向去考虑问题，从已有思路的相反方向去考虑问题。逆向思维摆脱了固有的思维定式，这种“倒过来”思考的数学思维方法，对解决问题往往能起到突破性的效果。逆向思维表现为以下几种类型：

一、对定义、法则、公式，以及某些定理的逆向应用，创设问题情境

例1、设a>0，且a≠1，f（x）=求证：f（n）>n （ n ）

这是一道与自然数有关的命题，常规的思路是用数学归纳法证明，但证明过程冗长，十分繁难。若注意到f（n）中的（n）可逆用等比数列的求和公式，便使问题简明，快捷地得以解决。

在解答问题的过程中要善于抓住问题的特征，展开逆向联想，这是实现逆用公式的关键所在。是对等比数列的求和公式的逆用。

例2，已知△ABC的三个内角A，B，C满足acos2A+bsin A=1，

acos2B+bsinB=1，acos2c+bsinc=1，试判断三角形的形状。

由于数学学科的形式化特点，数学公式的繁多，我们在进行公式教学时，不要把记忆公式作为学习的最终目的，灵活使用、广泛联想、大胆变形才是教学中一个重要的教学任务。对定义、法则、公式，以及某些定理的逆向应用，常见的有加、减运算法则的互逆使用；乘、除运算法则的互逆使用；分子有理化和分母有理化的互逆思维，对数的底数与真数互换等。

二、逆向处理题设条件与结论，改变问题情景

逆向处理题设条件与结论，通常是从条件和结论的反面入手去思考，或对条件与结论进行否定，如补集法，反证法等；或假设结论已知，或已经存在，再进行探索，如同一法，待定系数法等。

1.补集法

例3、两个不同点P，Q在曲线y=x2移动，不管如何选择位置它们总不能关于直线y=m（x-3）对称，求m的取值范围

思路分析原命题不易正面求解，则可考虑反面求解。即先求曲线y=x2上关于直线y=m（x-3）有对称的相异两点时m的取值范围A，然后再求A在全集I=R上的补集，若m=0，曲线y=x2上没有关于y=0对称的两点；若m≠0，设与y=m（x-3）.垂直的直线L：y=-x+b，代入y = x2.得x2+x – b=0 ，據此L与抛物线有两个交点关于直线y=m（x-3）对称的先要条件为：

例：用0、1、2、3、4、5这六个数可以组成多少个没有重复数字的六位偶数。考虑末位数应安排0、2、4中任一个，则全集的情况共为，但当2或4有末位而0在首位时不适合，即应除去的补集情况共有种，故所求总数为-=312种

2.待定系数法

待定系数法的实质是方程的思想，这个方法将待定的未知数与已知数据统一在方程关系中，待定系数法常用于确定函数解析式，曲线方程，因式分解和复数的代数形式等。

例4，已知方程x4-10x3+36x2-52x+20=0有一根为3+i，解这个方程

此题根据实系数方程根共轭成对原理，方程必有另一根3-i

于是设x4-10x3+36x2-52x+20

=（x-3-i）（x-3+i）（x2+bx+c）

令x=0，可得c=2；令x=1，可得b=-4

所以x2+bx+c=x2-4x+2，解方和得x3-4=2

随着人们对待定系数法认识的深入，待管系数法在解决不等式问题，最值问题以及线性规划问题时，也获得了广泛的应用。

3.同一法

在证明某个问题时，如果直接证明比较困难，而所要证明的结论是唯一确定的，可用同一法间接证明，先设法构造一个数学对象，再证明所构造的对象确实具有题目给出的性质，又由于该数学对象唯一确定，可知所构造的对象与所要证明的对象实际上是同一的，从而证得命题。