联想引申应用

盖仕广　钱德春

著名美国数学家和数学教育家G·波利亚说：“好的题目和某种蘑菇有点相似之处：它们都成串生长.找到了一个以后，我们应该四处看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”下面这个命题的证明及其引申就是一个很好的体现.

这个命题成立吗？有何价值呢？本文拟通过命题的证明、引申与应用，谈谈一道好题是如何成串生长的.

1命题的证明

将反比例函数的解析式y=kx（k≠0）变形为xy=k（k≠0），两边取绝对值得：x·y=k（k≠0），其几何意义是：过双曲线上任一点分别向两坐标轴作垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形的面积恒等于k.用函数的观点描述就是：矩形的面积S是比例系数k的常数函数.我们称之为反比例函数的面积不变性，该性质简洁优美，应用广泛.

一般说，函数中的相关问题通常代数运算方法解决，而方法二则另辟蹊径，以独特的视角巧妙地将一次函数、二次函数、反比例函数图像及性质有机结合，通过直觉、联想和归纳得到了结论，不是靠机械的运算，而是依赖思维和策略.

2命题的引申

引申1在第一象限内，直线y=ax+b的图像与双曲线y=kx的图像相切时，切点是该直线被两坐标轴所截线段的中点.反过来，若双曲线经过一条直线被两坐标轴所截线段的中点，则该直线与双曲线仅有这一个交点，即双曲线与直线相切.

当然，结论及引申的应用远不止这些.在解题过程中，不能仅仅停留在“会”上，更重要的是研究题目的生成性、发展性、引申性，充分挖掘其价值，使貌似平凡的数学题变成“成串生长”的好题.

著名美国数学家和数学教育家G·波利亚说：“好的题目和某种蘑菇有点相似之处：它们都成串生长.找到了一个以后，我们应该四处看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”下面这个命题的证明及其引申就是一个很好的体现.

这个命题成立吗？有何价值呢？本文拟通过命题的证明、引申与应用，谈谈一道好题是如何成串生长的.

1命题的证明

将反比例函数的解析式y=kx（k≠0）变形为xy=k（k≠0），两边取绝对值得：x·y=k（k≠0），其几何意义是：过双曲线上任一点分别向两坐标轴作垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形的面积恒等于k.用函数的观点描述就是：矩形的面积S是比例系数k的常数函数.我们称之为反比例函数的面积不变性，该性质简洁优美，应用广泛.

一般说，函数中的相关问题通常代数运算方法解决，而方法二则另辟蹊径，以独特的视角巧妙地将一次函数、二次函数、反比例函数图像及性质有机结合，通过直觉、联想和归纳得到了结论，不是靠机械的运算，而是依赖思维和策略.

2命题的引申

引申1在第一象限内，直线y=ax+b的图像与双曲线y=kx的图像相切时，切点是该直线被两坐标轴所截线段的中点.反过来，若双曲线经过一条直线被两坐标轴所截线段的中点，则该直线与双曲线仅有这一个交点，即双曲线与直线相切.

当然，结论及引申的应用远不止这些.在解题过程中，不能仅仅停留在“会”上，更重要的是研究题目的生成性、发展性、引申性，充分挖掘其价值，使貌似平凡的数学题变成“成串生长”的好题.

著名美国数学家和数学教育家G·波利亚说：“好的题目和某种蘑菇有点相似之处：它们都成串生长.找到了一个以后，我们应该四处看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的.”下面这个命题的证明及其引申就是一个很好的体现.

这个命题成立吗？有何价值呢？本文拟通过命题的证明、引申与应用，谈谈一道好题是如何成串生长的.

1命题的证明

将反比例函数的解析式y=kx（k≠0）变形为xy=k（k≠0），两边取绝对值得：x·y=k（k≠0），其几何意义是：过双曲线上任一点分别向两坐标轴作垂线，两垂线与两坐标轴围成的矩形的面积恒等于k.用函数的观点描述就是：矩形的面积S是比例系数k的常数函数.我们称之为反比例函数的面积不变性，该性质简洁优美，应用广泛.

一般说，函数中的相关问题通常代数运算方法解决，而方法二则另辟蹊径，以独特的视角巧妙地将一次函数、二次函数、反比例函数图像及性质有机结合，通过直觉、联想和归纳得到了结论，不是靠机械的运算，而是依赖思维和策略.

2命题的引申

引申1在第一象限内，直线y=ax+b的图像与双曲线y=kx的图像相切时，切点是该直线被两坐标轴所截线段的中点.反过来，若双曲线经过一条直线被两坐标轴所截线段的中点，则该直线与双曲线仅有这一个交点，即双曲线与直线相切.

当然，结论及引申的应用远不止这些.在解题过程中，不能仅仅停留在“会”上，更重要的是研究题目的生成性、发展性、引申性，充分挖掘其价值，使貌似平凡的数学题变成“成串生长”的好题.