珍珠层复合堆叠材料中弹性波传播特性研究

黄 佳，尹 进，张 盛，陈飙松，张洪武

（大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室运载工程与力学学部工程力学系，大连 116024）

珍珠层复合堆叠材料中弹性波传播特性研究

黄 佳，尹 进，张 盛，陈飙松，张洪武

（大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室运载工程与力学学部工程力学系，大连 116024）

通过建立珍珠层复合堆叠材料的拉伸剪切链模型和二维有限元模型，利用多重多级子结构方法研究声子晶体材料带隙特性。结果表明，珍珠层材料是一种具有较低及较宽一阶带隙且多个高频平直带的Bragg型声子晶体，这意味着此材料会导致非常宽的频率衰减区出现，并且其结构与带隙产生机理均不同于局域共振型声子晶体，所以不会出现类Fano干涉现象，更利于实现低频减振的目的。传输特性计算验证了多重多级子结构带隙计算结果的正确性和有效性。进一步研究表明带隙特性主要取决于硬材料（“Brick”）的密度以及软材料（“Mortar”）的弹性模量，珍珠层材料的一阶带隙受到这两个材料参数的耦合作用，适当匹配两种材料参数值可以获得更大的相对带隙，也可以进行带隙调控，为设计新型减振隔振材料提供指导。

珍珠层；声子晶体；多重多级子结构；低频减振；带隙

大多数天然（或生物）材料都是由复杂的复合材料构成的，其成分多为较弱的材料。但经过十亿年的进化，由这些力学性能较弱的材料构成的复杂生物材料却往往具有出色的力学特性。这引起了很多材料学者和力学这极大的兴趣。Meyers等［1］描述了多种生物材料的特性、层级结构、多功能性以及自愈合自组织能力，主要力学特性以及材料结构和力学特性之间的关系，并对生物启发性材料和结构进行了探讨。Gao等［2］的研究表明纳米复合材料就是自然界中的一般机械结构，其矿物质粒子的纳米尺度使其具有最优的强度以及对于缺陷的最强的鲁棒性。广泛用于工程中的缺陷处应力集中的概念对纳米材料不再适用。贝壳主要成分是纳米复合材料，其具有出色的韧性，刚度特性以及缺陷不敏感等力学性能，因而称为近年来生物材料研究的一个热点。Jackson等［3－4］的研究证实海洋贝类的壳有很好的微观结构组织，其由交错排列的矿物质薄片以及将其粘结在一起的蛋白质层构成，矿物质薄片的长度尺寸一般在100～500nm之间。Tushtev等［5］分析发现珍珠层材料的有机层在复合材料变形过程中不可压缩的性质使整体复合材料具有很大的刚度，矿物质薄片则在材料发生剪切及横向拉伸时使整体具有很大的刚度。Lin等［6］通过力学拉伸和剪切试验测试了某种珍珠层材料层间界面的破坏，并得到三种破坏机制。Yao等［7］计算了珍珠层复合材料的应力状态并发现该类材料对裂纹缺陷导致的应力集中以及裂纹尺寸的影响有自抑制作用，并指出该特性是由其“Brick and Mortar（瓦砖加水泥）”结构以及瓦砖（矿物质）和水泥（蛋白质）相力学特性的结合导致的。然而珍珠层材料的振动特性却少有人问津。

周期性复合材料或结构可以阻挡某些频率的弹性波、声波或电磁波的传播，这种现象就称为带隙（Band gap）或禁带（Stop band）［8］。阻挡弹性波或声波传播的材料就称为声子晶体。该周期性复合材料或结构的最小单元称为单胞。声子晶体的这种带隙特性使得其在减振、降噪、声学器件等［9］领域都有着潜在的广阔应用前景。其中局域共振型声子晶体［10］实现了“小尺寸控制大波长”，为声子晶体在低频减振降噪领域的应用奠定了理论基础，但由于这种类型的声子晶体具有类Fano干涉现象［11－12］（响应谱有反对称共振峰），所以带隙内弹性波的衰减较小，而且带隙宽度一般较小。珍珠层材料具有一定的周期结构，但目前尚未有学者对其带隙特性进行研究。

鉴于此，本文建立珍珠层材料（Brick and Mortar）拉伸剪切链模型和有限元模型，并出于计算效率的考虑，借助一种高效的多重多级子结构方法［13－15］计算其带隙特性。由于声子晶体单胞的内部刚度阵不随波矢变化，所以通过多重多级子结构的方法将其凝聚到Bloch边界上会大大减小计算规模。同时进一步分析珍珠层材料的传输特性以及材料参数对带隙特性的影响。

1 珍珠层材料拉伸剪切链模型

关于Brick and Mortar珍珠层复合堆叠材料，研究者提出很多理论和本构模型来考查材料的应力分布。而本文主要关心这种材料波传播和带隙特性，采用一种拉伸剪切链模型［2］，并考虑材料的惯性因素，即Mortar主要发生剪切变形，由于模型具有周期性和对称性，可以采用Bloch理论在一个单胞内进行分析，如图1所示，单胞由两块bricks（被标记为＃1和＃2）中间夹着一层mortar构成。

假设mortar为弹性材料，剪切模量为GMO，bricks也是弹性材料，杨氏模量为EBR，材料密度为ρ，忽略

mortar的惯性效应。

图1 珍珠层材料的拉伸剪切链模型图Fig.1 The tension-shearmodel of nacreousmaterial

在频域上建立关于brick＃1和brick＃2的波动方程。

波矢可写成实部与虚部之和的形式，k＝kRe＋i klm。

模型的几何尺寸设定为：hMO＝5 mm，hBR＝10 mm，l＝30 mm。设定Brick部分材料为铝，Mortar部分材料为硅橡胶，材料参数分别为：EBR＝70 GPa，ρ＝2 700 kg/m3，GMD＝40 kPa。

对于任意给定的圆频率ω，当波矢虚部klm≠0时，ω都位于带隙的频率范围内；当波矢虚部klm＝0时，ω都位于通带的频率范围内。表征声子晶体能带结构的频散关系如图2（a）所示，其描述了波矢实部与频率之间的关系。带隙内的衰减特性如图2（b）所示，其描述了波矢虚部与频率之间的关系。同时，波矢虚部的绝对值越大，弹性波的衰减量越大。

图2 波矢与频率关系图Fig.2 Relations between wave vectors and frequencies

从能带结构图可以发现一些和常规声子晶体不同的有意思的现象，一维珍珠层堆叠材料模型会出现一个非常宽的带隙范围174 Hz～42 431.33 Hz，宽的程度几乎使所有频率范围都处于禁带内，从通带的放大图可以看出，这种模型的两个通带频率范围都较小，一个是0 Hz～173 Hz，另一个是42 431.34 Hz～42 431.55 Hz，这意味着一阶带隙的下边界会处在很低的频率位置。从波矢的虚部与频率的关系同样可以看出，这种模型几乎在所有频率范围都会使弹性波衰减，只在很小的通带频率范围内不衰减，而且在一阶带隙范围内，各个频率的衰减程度都很强，klml的最大可达到11.14，平均可达到9.933。二阶带隙范围内，各个频率的衰减程度会更强。这正是由于brick＃1的始端和brick＃2的末端自由，使得弹性波在珍珠层材料中产生一种特殊的拉伸剪切链运动，不同于在单一材料中的传播方式，而且这种运动的波长较小，更容易通过小尺寸来控制。

2 珍珠层材料带隙特性计算与分析

鉴于珍珠层复合堆叠材料具有优良的力学性能，并在宏观层面上能抑制应力集中效应，本文进一步研究弹性波在这种材料中的传播特性。考虑这种材料的二维频散关系，同样采用Brick and Mortar模型，几何模型尺寸如图3（a）所示，并用有限元法［16］进行计算，Brick和Mortar的材料参数选取如表1所示。

图3 珍珠层复合堆叠材料模型Fig.3 Themodel of stacking compositematerial like nacre

表1 珍珠层两相材料参数Tab.1 Two-phase parameters of nacre-likematerial

为了提高计算效率并减少内存用量，本文采用多重多级子结构方法［17－18］将模型剖分为四个基本子结构，如图3（b）所示，采用Matlab语言以及Core i7－2600 CPU＠3.40GHz计算环境，考查78个简约波矢点以及前20阶频率，整体有限元耗时22.8 s，内存用量8.42 MB，而多重多级子结构耗时14.4 s，内存用量5.13 MB，而且问题规模越大计算效率相对越高，为进一步研究材料参数对带隙的影响提供便利。针对子空间迭代法，其基本计算流程为：

（1）逆迭代策略

其中：上角标t为迭代次数；［K］为声子晶体单胞的刚度阵；｛y｝t为t时的惯性力向量；｛u＾｝t＋1为t＋1时的位移自由度向量。

通过子结构周游树技术逐层凝聚并累加，可得到顶层子结构（Bloch边界自由度）的等效静力平衡方程，

如果上述计算收敛，则迭代停止，否则继续计算方程（16）。在第一简约布里渊区的边界遍历简约波矢点即可得到能带结构。

考查这种材料的平面应力问题和平面应变问题，其中平面应力问题的厚度选取为1 cm。

平面应力问题和平面应变问题的带隙计算结果如图4所示，从结果可以看出，多重多级子结构具有和整体有限元相同的精度，对于平面应力问题，会出现非常宽的一阶带隙，且带隙的下界频率很低，并且还会出现频率更低的ΓX方向带隙（156.48 Hz～279.64 Hz），和剪切链模型的传递矩阵法计算结果一致，这正是由于边界和内部的空腔使得这种材料产生了拉伸剪切链运动而导致的，但对于平面应变问题，一阶带隙会变得很窄，带隙的下界频率也相比稍高一些，这说明这种复合堆叠材料的厚度对其一阶带隙的宽度和下界频率影响很大。但是两种模型的频散关系也有相似之处，即较高阶的频散曲线会出现多条平直带，从而出现多个较连续的带隙，这意味着这种材料会出现多个弹性波衰减区，并且这些频率区域相隔不远，甚至彼此连续，可以预见这会导致非常宽的频率衰减区出现。

另外，对于平面应力问题，其一阶带隙的结果也会得到非常有趣的结论，定义相对带隙的概念，

图4 珍珠层复合堆叠材料二维频散关系Fig.4 Two-dimensional dispersion relation of stacking compositematerial like nacre

其中：fupband为带隙上边界的频率，fdownband为带隙下边界的频率。

可以发现其相对带隙为0.486，这意味着一阶带隙不仅很宽，而且其中心频率还很低（中心频率为398.87 Hz），这么高的相对带隙，往往见于局域共振型声子晶体（经典局域共振型声子晶体［10］相对带隙为0.472 2），但考查其带隙中心频率的简约频率即可知道，这种材料并不是局域共振型声子晶体，而是传统Bragg散射型声子晶体，如果取Brick的纵波波速，简约频率为0.004 7，而取Mortar的纵波波速，简约频率为1.22，由于Brick较刚，而Mortar较柔，所以这种材料是通过Mortar的剪切运动传递弹性波的。

另外，传统的珍珠层复合材料的尺寸一般在纳米尺度，本文设计材料结构为厘米尺度，主要是为产生百赫兹左右的工程振动低频带隙，目的是为工程设计新型减震材料提供一种思路和参考，而且这种尺度材料有可能更容易制造加工和使用。

3 珍珠层材料传输特性分析

图5 珍珠层材料平面应力问题位移传输特性模型Fig.5 Displacement transmission characteristic model of nacre-likematerial in plane stress

进一步研究珍珠层复合堆叠材料的传输特性，对带隙结果进行验证和补充，采用Nastran有限元软件进行分析，采用5×8个单胞的有限周期结构。针对平面应力问题、平面应变问题以及有限厚度7 cm的三维有限元模型考查x方向（水平）以及y方向（垂直）的位移传输特性，如图5所示，即输出端位移响应除以输入端位移响应。通常响应曲线以对数形式描述。

从图6的传输特性曲线可以发现，对于平面应力问题，确实出现很宽频率的衰减区（水平方向高于193.3 Hz为衰减区，垂直方向高于306.7 Hz为衰减区），并且和带隙得到的结果一致（平面应力问题的一阶带隙范围为301.947 2 Hz～495.792 8 Hz），从306.7 Hz以后的高频段基本都为衰减区（水平方向的衰减区域还受方向带隙的影响），只有一些态密度较大的频率区域没有衰减，并且这种衰减并没有出现局域共振的类Fano干涉现象，而且此材料的晶格常数和经典局域共振型声子晶体［10］相差不多。平面应变问题的结果和有限厚度的三维模型相近，水平方向具有和平面应力问题相似的衰减区，但垂直方向的第一衰减区较窄，下界也较高，都和带隙得到的结果一致（平面应变问题的一阶带隙范围为522.92 Hz～626.098 Hz）。可以看出，这种材料不同于弹性波在单一材料中的传播方式，主要以mortar的剪切链运动为主，而这种运动的波长较小，更容易通过小尺寸来控制，这些都更有利于低频减振隔振，防噪的应用实现。

图6 珍珠层材料位移传输特性曲线Fig.6 Curves of displacement transmisson characteristic with nacre－likematerial

图7 珍珠层材料特征点响应云图Fig.7 Response cloud of feature pointswith nacre-likematerial

另外，100 Hz处为低频非衰减区，700 Hz处为衰减区域，980 Hz处为态密度较大的非衰减区，从图7的频率响应云图可以看出，弹性波在Mortar中的传播形态以及弹性波在带隙内被抑制的传播形态，也进一步验证了上节得出的结论。

4 材料参数对带隙特性的影响

针对珍珠层材料的平面应力问题，考查Brick and Mortar两相模型的四种材料参数对一阶带隙的影响，分别是Brick的弹性模量以及密度，Mortar的弹性模量和泊松比，参数的考查范围如表2所示。

表2 两相模型四种材料参数考查范围Tab.2 The range of parameters of fou r materialswith two-phasemodel

首先分别考查Brick的弹性模量以及Mortar的泊松比对一阶带隙的影响，结果如图8所示。

从带隙的计算结果可以发现，Brick的弹性模量对一阶带隙几乎没有影响，而随着Mortar的泊松比越大，一阶带隙也越窄，但是这种变化趋势是很微小的，也就是说这两组材料参数基本不对一阶带隙产生影响。

而后综合考查Brick的密度以及Mortar的弹性模量对一阶带隙的影响，结果如图9、图10所示。

从计算结果可以看出，Brick的密度以及Mortar的弹性模量对一阶带隙的影响较大，两组材料参数对带隙宽度的影响并不是单调的，会出现峰值，当Brick的密度为5 000 kg/m3，Mortar的弹性模量为40 MPa时，一阶带隙宽度最宽为4 377 Hz。而当Mortar的弹性模量很小时，一阶带隙的下边界都会很低，此时Brick密度的影响并不大。如果为了达到一阶带隙既宽又低的目的，可以考查相对带隙这个指标，从图10可以看出，当Brick的密度很大，而Mortar的弹性模量很小时，会达到最大的相对带隙。

图8 Brick弹性模量和Mortar泊松比对带隙的影响Fig.8 Affect on band gap of elastic modulus of Brick and Poisson’s ratio of Mortar

图9 Brick密度以及Mortar弹性模量对带隙的影响Fig.9 Affect on band gap of density of Brick and elastic modulus of Mortar

图10 Brick密度以及Mortar弹性模量对相对带隙的影响Fig.10 Affect on relative band gap of density of Brick and elastic modulus of Mortar

5 结 论

本文通过对带隙特性分析，传输特性分析以及材料参数对带隙特性影响的分析，可以得到以下结论：

（1）珍珠层复合堆叠材料是一种新型的Bragg型声子晶体，具有较宽较低频率的带隙，相对带隙较大。并且这种带隙内弹性波的衰减并没有出现局域共振的类Fano干涉现象，而且当此材料的晶格常数和经典局域共振型声子晶体相差不多时，也可以产生低频带隙，这是由于弹性波主要以mortar的剪切链运动为主，而这种运动的波长较小，更容易通过小尺寸来控制，这些都更有利于低频减振隔振，防噪的应用实现；

（2）珍珠层复合堆叠材料可以产生很宽的弹性波频率衰减区（超出一阶带隙频率范围），这和其丰富的带隙结构有关，其带隙结构较高阶的频散曲线会出现多条平直带，从而具有多个较连续的带隙，这种特性可以更好的用于新型隔振器件或者低通滤波器的设计，也可用于构造超宽频率范围内的无振动加工环境。

综上所述，珍珠层复合堆叠材料带隙特性主要取决于硬材料（Brick）的密度以及软材料（Mortar）的弹性模量，通过适当优化两种材料参数值可以对带隙宽度，带隙下边界以及相对带隙进行调控，从而能够根据不同功能和不同用途指导设计出新型功能材料。

［1］Meyers MA，Chen P Y，Lin A Y M.Biological materials：structure andmechanical properties［J］.Progress in Materials Science，2008，53：1－206.

［2］Gao H J，Ji B H，Jager I L，et al.Materials become insensitive to flaws at nanoscale：Lessons from nature［J］.Proceedings of the National Academy of the Sciences of the United States of America，2003，100（10）：5597－5600.

［3］Currey J D.Mechanical properties of mother of pearl in tension［J］.Proc.R.Soc.London，1977，B196：443－463.

［4］Jackson A P，Vincent J F V，Turner R M.The mechanical design of nacre［J］.Proc.R.Soc.London，1988，B234：415－440.

［5］Tushtev K，Murck M，Grathwohl G.On the nature of the stiffness of nacre［J］.Material Science and Engineering，2008，28：1164－1172.

［6］Lin A Y M，Meyers MA.Interfacial shear strength in abalone nacre［J］.Journal of Mechanical Behavior of Biomedical Materials，2009，2：607－612.

［7］Yao H M，Song Z G，Xu Z P，et al.Cracks fail to intensify stress in nacreous composites［J］.Composites Science and Technology，2013，81：24－29.

［8］郁殿龙.基于声子晶体理论的梁板类周期结构振动带隙特性研究［D］.长沙：国防科学技术大学，2006.

［9］温激鸿，王刚，郁殿龙，等.声子晶体振动带隙及减振特性研究［J］.中国科学E辑：技术科学，2007，37（9）：1126－1139.

WEN Ji-hong，WANG Gang，YU Dian-long，et al.Vibration attenuation and band gap characteristics of phononic crystals［J］.Science in China Series E：Technological Sciences，2007，37（9）：1126－1139.

［10］Lin Z Y，Zhang X X，Mao Y，et al.Locally resonant sonic materials［J］.Science，2000，289：1734－1736.

［11］Goffaux C J S，Lambin P.Comparison of the sound attenuation efficiency of locally resonantmaterials and elastic band-gap structures［J］.Physical Review B，2004，70：184302.

［12］Goffaux C J S，Yeyati A L，Lambin P，et al.Evidence of fano-like interference phenomena in locally resonantmaterials［J］.Physical Review Letters，2002，88：225502.

［13］钟万勰.一个多用途的结构分析程序JIGFEX（一）［J］.大连工学院学报，1977，17（3）：19－42.

ZHONG Wan-xie.A general-purpose program for structure analysis JIGFEX（Ⅰ）［J］.Journal of Dalian University of Technology，1977，17（3）：19－42.

［14］钟万勰.一个多用途的结构分析程序JIGFEX（二）［J］.大连工学院学报，1977，17（4）：14－35.

ZHONG Wan-xie.A general-purpose program for structure analysis JIGFEX（Ⅱ）［J］.Journal of Dalian University of Technology，1977，17（4）：14－35.

［15］Lu X，Lin JH，Zhong WX.Subspace iteration method in multi-level substructure systems［J］.Computers and Structures，1989，33（2）：459－462.

［16］Axmann W，Kuchment P.An Efficient finite elementmethod for computing spectra of photonic and acoustic band-gap materials：I［J］.Scalar Case.J.Comput.Phys，1999，150：468－481.

［17］喻永声，林家浩.超大型结构特征值问题求解的多重子结构子空间迭代［J］.工程力学，2003，20（6）：149－156.

YU Yong-sheng，LIN Jia-hao.Multi-level substructuring based subspace iteration in the eigenvalue extraction for very large-scale structures［J］.Engineering Mechanics，2003，20（6）：149－156.

［18］张盛，方杰，张洪武，等.基于多重多级动力子结构的Lanczos算法［J］.振动与冲击，2012，31（6）：26－30.

ZHANG Sheng，FANG Jie，ZHANG Hong-wu，et al.Lanczos algorithm based onmulti-level dynamic substructures［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31（6）：26－30.

Propagation properties of elastic waves in a stacking com positematerial like nacre

HUANG Jia，YIN Jin，ZHANG Sheng，CHEN Biao-song，ZHANG Hong-wu
（State Key Lab.of Structural Analysis for Industrical Equipment，Dalian Univ.of Tech.，Dalian 116024，China）

A tension-shear chain model and a 2D finite elementmodel of nacre，a kind of stacking composite material，were built up，and its band gap was computed based on a multi-level substructure scheme.The results showed that the nacre-likematerial is a kind of Bragg phononic crystal holding a relatively wide first order band gap in a lower frequency domain and several flat bands in a higher frequency domain，so this kind ofmaterial can lead to the vibration reduction in a wide frequency range；moreover，this kind of material is more efficient to realize the goal of vibration reduction at low frequencies，because it doesn't have Fano-like interference phenomena，they happen in local areas resonant phononic crystals for the mechanism of their band gaps.Furthermore，the transmission characteristics were computed to verify the results of band gap.The further study demonstrated that band gap characteristics are mainly influenced by the density of the hard mineral component（“Brick”）and the elastic modulus of the soft component（“Mortar”），the first order band gap of nacre-like material subjects to the coupling influence of the two material parameters；an appropriate match of the two material parameters can gain a larger relative band gap，the band gap is adjustable aswell.The nacre-likematerial provided a guide for the design of new vibration reduction materials.

nacre；phononic crystals；multi-level substructure；low-frequency vibration reduction；band gap

TH113；O328

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.24.015

国家自然科学基金（11232003，91315302）；国家基础性发展规划项目（2010CB832704）；国家高技术研究发展计划（2012AA050901）资助；中央高校基本科研业务费专项资金资助（DUT12ZD206）

2013－11－01 修改稿收到日期：2014－01－02

黄佳女，硕士生，1988年6月生

张盛男，博士，副教授，1976年1月生