Pareto分布在型Ⅱ受限望小型产品过程能力分析中的应用

王超

[摘 要] 针对望小型产品（或服务）的作业时间特性，使用Kane（1986）过程能力指标CU作为研究对象。在Pareto分布总体情形假定下，推导出型Ⅱ受限情形下CU的极大似然估计量，并且研究了其统计特征，最后讨论了CU统计推断问题。

[关键词] 望小型产品； 服务； 过程能力分析； Pareto分布； 型Ⅱ受限样本

doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2014 . 01. 051

[中图分类号] F273.2； F224.7 [文献标识码] A [文章编号] 1673 - 0194（2014）01- 0097- 02

1 简 介

过程能力分析是一种有效测量过程绩效及潜在能力的方法。工业生产领域，过程能力指数（PCIs）被用于评估产品质量是否达到需要标准。广泛使用的该类指数包含Cp，Cpk，Cpm和Cpmk等。这4类指标适用于具有双边规格型产品。除了双边规格型产品过程能力指标外，Montgomery（1985）和 Kane（1986）提出适用于单边规格特性产品的过程能力指标，如CL，CPL和CU，CPU，其中 CL和CPL为望大型（Larger-the-better）特征产品过程测度指标，而CU，CPU为望小型（Smaller-the-better）特征产品过程测度指标。就作业时间而言，其包含顾客等待服务时间、企业的作业时间等，由于作业时间越长顾客满意度越差，因此都具有越小越好的望小型品质特征，由此可知，该类产品的作业时间可以使用望小型过程能力指标来衡量。

2 过程能力指标和不合格率

2.1 Pareto分布总体下的过程能力指标

设某产品（或服务）时间X服从Ⅱ型Pareto分布，其分布函数及概率密度函数分别为

FX（x） = 1 - （x + 1）-θ （1）

f（x；θ） = θx-（θ + 1），x > 1，θ > 0 （2）

令Y = 1n（X），则Y的概率密度函数为指数分布

f（y；θ） = θe-θy，y > 0，θ > 0 （3）

Kane（1986）根据望小型品质特性提出过程能力指标CU，其定义如下：？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

CU = ■ （4）

式中，μ表示过程均值，σ表示过程标准差，U表示过程设定上限，如某银行规定，储蓄业务所需时间最多不超过10分钟。在Pareto分布情形下，本文使用产品或服务时间（X）的对数（Y）作为新的研究对象，由于Y服从指数分布，故其期望和方差分别为：

E（Y） = 1/θ，Var（Y） = 1/θ2 （5）

将式（5）带入式（4）得

CU = ■ = ■ = θU - 1 （6）

2.2 过程能力指标与不合格率之间的关系

不合格率（non-conformance rate）的界定为企业作业时间超过顾客对于企业作业时间的容忍上限（U）的概率，如果使用p表示不合格率，则在Pareto分布情形下，有

p = P（Y > U） = 1 - P（Y ≤ U） = e-θU = e■ （7）

由于？鄣p/？鄣CU = -e■ < 0，所以，不合格率是过程能力指标CU的递减函数。两者之间存在反向关系，CU越大，p越趋于0；CU越小， p越趋于1。可见，过程能力指标有越大越好的特征。

2.3 过程能力指标CU的极大似然估计

型Ⅱ截尾数据中，被截尾数量r事先被确定，如此，整个样本资料只包含前r个最小值。设X（1） < X（2） < … < X（r）为型Ⅱ截尾数据的样本观察值，则1n（X（1）） < （1nX（2）） < … < （1nX（r）），即Y（1） < Y（2） < … < Y（r）。根据Lawless（2003）知，服从指数分布的前r次序统计量联合概率密度函数为：

■■θe■e■■ （8）

因而，得出θ的极大似然估计量为：

■ =■，r ≤ n （9）

根据极大似然估计的不变性质，有：

■U =■ = ■U - 1 = ■ - 1？摇？摇 （10）

令W=■lnX（i） + （n - r）lnX（r），根据Lawless（2003）有：2θW ～ χ22r，所以

E（■U） = E■ - 1

= E■ - 1 = rUE■ - 1 = rU2θE■ - 1

= rU2θ■ - 1 = ■θU - 1？摇 ？摇？摇？摇？摇？摇 （11）

由于E■U≠CU，所以 ■U并非CU的无偏估计量，但可以看出，■E■U = CU，所以，■U是CU的渐近无偏估计量。

3 过程能力指标CU的区间估计

由于■U = ■ - 1 = ■ - 1，所以θW = ■， 即2θW = ■ ～ χ22r？摇 （12）

所以CU100（1 - α）的双侧置信区间为：

■ - 1，■ - 1 （13）

4 过程能力指标CU的统计检验

正如前面所分析的那样，一般而言，过程能力指标具有越大越好的性质。所以，在只有样本资料可以取得的情形下，我们作如下假设：

H0：CU ≤ c（过程能力指标不符合要求，即作业时间绩效不符合顾客要求）

H1：CU > c（过程能力指标符合要求，即作业时间绩效符合顾客要求）

本文使用CU的极大似然估计量■U进行检验，其拒绝区域可表示为■U > c0。给定显著性水平α，临界值c0可通过如下方式获得：

P■U > c0CU = c = α

？圯 P■ - 1 > c0θ = ■ = α

？圯 P2θW < ■θ = ■？摇 = α

？圯 P2θW < ■ = α （14）

由于2θW ～ χ22r，这相当于求解自由度为2r的卡方分布100α分位点，这个点我们使用符号χ2α，2r表示，这样就有

■ = χ2α，2r （15）

于是临界值

c0 = ■ - 1 （16）

此时，若 ■U > c0，则拒绝原假设，接受备择假设，认为作业时间绩效符合顾客要求。否则，不能拒绝原假设，认为作业时间绩效并不符合顾客要求。

5 结 论

工业生产领域中，过程能力分析常用于质量控制，有关过程能力指数的多数理论及应用文献，多以正态分布为基础。但多数分析已经表明，很多现象并不服从正态分布。本文的作用在于：其一，以望小型品质特征产品（或服务）为研究对象；其二，讨论了帕累托分布情形下过程能力指标的统计推断问题。另外在抽样方法上，使用更为常见的型Ⅱ截尾数据资料。对产品的生产者或者服务的提供者而言，使用这一新的程序检验产品（或服务）质量是否达到顾客的需求，进而对其生产过程进行有效控制。

主要参考文献

[1] D C Montgomery. Introduction to Statistical Quality Control[M]. New York，NY：John Wiley & Sons，1985.

[2] E Kane. Process Capability Indices[J]. Journal of Quality Technology，1986，18（1）：41-52.

[3] N L Johnson，S Kotz，and N Balakrishnan. Continuous Univariate Distributions，Vol.1[M]. 2nd Edition. New York，NY：John Wiley & Sons，1994.

[4] J F Lawless. Statistical Models and Methods for Lifetime Data[M]. 2nd Edition. New York，NY：John Wiley & Sons，2003.