“错解”是“沃土”，亦是“乐园”
2014-04-29刘亚平
摘 要：教师在教学中，不仅要帮助学生展示他们的思维过程，而且要向学生索要思维形成的缘由. 不但要让学生暴露成功的思维过程，还要暴露失败的思维过程. 暴露由失败走向成功的思维过程，讲一讲发生错误的心路历程，谈一谈取得成功的秘诀与心得，让学生在对与错这一矛盾体系中学会析错、纠错，汲取教训，开拓创新，觅取真知.
关键词：错解；课堂意外；教学资源
爱因斯坦说：“一个人在科学探索的道路上走过弯路，犯过错误，并不是坏事，更不是什么耻辱，要在实践中勇于承认和改正错误.” 我们在解题时，当然力求做到尽可能不犯错误，但当错误不期而至时，要学会善待和包容错误，同时要冷静思考，严谨推理，仔细分析这位“客人”拜访的时机与缘由，要挖掘产生错的根源，是知识与技能的缺陷，还是意志品质与心理方面的因素.
[?] “错解”是一种重要的教学资源
教材是经过教学实践“千锤百炼”、反复打磨出来的精品课程资源，是广大教育专家殚精竭虑的结晶，是教师实施新课程标准的重要依据和标尺. 通过积极、细心、缜密的备课，教师对授课的过程都有一个大致的步骤，对如何突出教学重点都有确定的应对策略，对如何突破教学难点都有明确的预设轨迹与预设目标，对某个知识点如何做到出新、出彩、出巧，也能基本做到运筹帷幄、运用自如.
然而在“以生为本”的课堂教学中，由于学生的视野开阔、思维活跃，认知结构参差不齐，课堂中难免有许多的“错解生成”，甚至发生教师想象不到的“课堂意外”. 如何全面监控学生的所有信息，尊重学生的全面思维与观点，捕捉现场生成性数学资源， 善待错解生成的“课堂意外”，拓展数学课堂教学深度，设法引发学生争辩，激活学生辨析思维，实现“课堂意外”的无痕应对，使“节外生枝”、“错解”成为教学成功的夺目亮点，让数学学习在“曲折”中走向“深刻”，这些都是教师设计教学的“可遇而不可求”的教学资源.
[?] “错解”是学生进步的阶梯
钱学森曾说：“正确的结果，是从大量错误中得出来的；没有大量错误作台阶，也就登不上最后正确结果的高座.” 恩格斯说过：“无论从哪方面学习，都不如从自己所犯的错误的后果中学习来得快.” 皮亚杰曾经说过：“学习是一个不断犯错误的过程，同时又是一个不断反思思考招致错误的缘由并逐渐消除错误的过程.” 布鲁纳说：“学生的错误是有价值的. 的确，错误从一个特定的角度揭示了学生掌握知识的过程，数学学习实际上是不断地提出假设、修正假设，使学生对数学的认知水平不断提升，并逐渐接近成熟的过程.” 由此可见，“错误”的教育价值在伟人心里都具有举足轻重的地位，而“错解”是学生解题过程中最常见的一种思维呈现形式，它是活跃学生思维的“润滑剂”，是引领学生奔向正确思维道路的“助推器”.
[?] 高效地实施“错解”的教学资源给教师提出了更高的要求
学会尊重学生，不仅仅是尊重学生的人格，尊重学生的一言一行，更要尊重学生的思维成果. 学生是课堂教学的主体，更是“教学资源”的重要构成和生成者. 他们在课堂教学活动中表现出来的学习兴趣、积极性、注意力、思维方式、合作能力，他们提出的问题、争论乃至错误的回答，都是教学过程中的必不可少的教学资源. 有时学生的错误在教师看来可能是稚嫩可笑的，但这位学生的错误可能代表了一部分学生的心声，让其说出来，甚至让其讲一讲发生错误的心路历程，有利于大家对错误的及时纠错、醒悟，避免重犯. 对于学生的知识性错误或技能性错误，教师要耐住心，要忍得住，舍得花时间并俯下身子聆听学生的心声，多鼓励学生亲自动脑想，亲自动手验证，适时引导学生找错、析错、戒错. 纠正错误急不得！教师不耐心的后果是“教师讲得多，导得多，学生错的仍然多”.
对于有意义的“意外错解”，教师要抓住契机，设计方案，营造探究氛围，使“意外错解”的教学价值最大化. 要做到这些，就需要教师具备深厚的文化底蕴、善变的教学机智、高尚的人格魅力、超强的驾驭课堂能力. 如果没有丰富的临场处理经验，没有深厚的数学文化素养，没有机智的应变能力，是不可能在瞬间内完成对“意外错解”的无痕对接的. 面对“意外错解”时，教师要本着务实的治学态度，会就是会，不会就是不会，不要忽悠学生，让学生知道教师是人，不是知识的“神”，这有利于培养学生实事求是的求学态度，更有利于培养学生踏踏实实做事，实实在在做人.
[?] 从鲜活的“错解”中提炼正确的解法
心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻.” 在数学解题教学中，碰到学生有偏差或错误的解答是最常见的事，教师不要马上更正或否定，而要乐于和勇于向学生提供一个自由、民主的空间，让学生在寓教于乐、寓学于乐的教学氛围中把思考问题的思维过程展现出来. 通过学生之间思维的碰撞，教师再循循善诱，因势利导，逐步引导学生自己感悟、醒悟错误的根源，从而不仅有助于学生找到正确的解法，而且有助于学会正确的解法是如何找到的.
1. 众多“错”中修正“错”
案例1 在一个长为6 cm的密封正方体中放一个半径为1 cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子中不能到达的空间的体积.
教师将学生的几个典型错误结果写在黑板上，让学生自由讨论，既探出错因，又培养学生的团队协作精神.
学生1：小球在盒子中不能到达的空间的体积为63-·π·13=216-π cm3，也就是正方体体积减去球的体积.
学生2：因为6>2，所以球与正方体不是内切关系，所以学生1的解法不正确.
教师：球与盒子的每个侧面相切时，切点组成的图形是边长为6 cm的正方形吗？
学生3：不是，组成边长为5 cm的正方形（如图1），从正方体中挖去4×4×6的长方体就可以了（如图2），所以所求体积为63-4×4×6=120 cm3. （似乎有理，引起了学生的思考）
学生4持有不同意见：因为正方体有三组对面，因此应从正方体中挖去三个4×4×6的长方体（不考虑长方体重复情况），所以所求体积为63-3×4×4×6+2×4×4×4=56 cm3（似乎更有理，引起了学生的深思）
学生5一针见血指出：学生4的解法有不妥之处，以正方体的棱为一条棱的1×1×6的正四棱柱空间内（如图3），小球可以占有部分体积. （切中问题要害处，引起一片喝彩声）
学生6：小球在1×1×6的正四棱柱空间中不能到达的空间体积为1×1×6-×（π×12）×6=6- cm3，也就是从1×1×6的正四棱柱中挖去底面积为（π×12） cm2，高为6 cm的柱体. （求知的热情达到高潮，赞同与反对声交织成一片）
学生7发表高见：在如图4所示1×1×6的正四棱柱中，两端的每个1×1×1的正方体中应该挖去的体积为（×π×13） cm3，即球体积的，而不是底面积为（π×12） cm2，高为1 cm的柱体的体积. （深邃的思维博得一片赞叹声）
老师：智慧蕴藏在群众之中！相信你能解决，但我想让更多的同学分享成就的喜悦.
学生8：在正方体的8个顶点处的单位正方体空间内，小球不能到达的空间的体积为8×
13-
×π×13
=8- cm3，除此以外，在以正方体的棱为一条棱的12个1×1×4的正四棱柱内，小球不能到达的空间的体积共为12×
1×1×4-（π×12）×4
=48-12π cm3，其他空间小球均能到达，故小球不能到达的空间的体积共为
8-π
+（48-12π）=56- cm3.
一个原本扑朔迷离的题目，通过多个“接力赛式”的“错解”分析，逐渐勾勒出它的“庐山真面目”. 学生在疑惑、彷徨中，亲身尝试了怎样修正错误思维的过程.
2. “连环错”中警示“错”
案例2 如图5，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，BC=3SA=3AB=3AD. 试问BC边上是否存在异于B，C的一点G，使二面角S-DG-A的大小为θ，且tanθ=？若存在，请指出G点的位置；若不存在，必须说明理由.
图5
学生知道“大胆猜想，小心求证”的解题策略，于是有学生给出如下的解答：设SA= AB=AD=1，则BC=3，那么当G点与B点重合时，即△ABD为等腰直角三角形时，取BD的中点E1，知∠SE1A为二面角S-DG-A的平面角，∠SE1A=θ，且AE1=，则在Rt△SAE1中，tanθ=，G点满足题设要求.
教师：遗憾且负责任地告诉你，错了！
学生（醒悟）：哎呀！忽视了题中“异于B，C的一点G”的条件了，所以结论应该是不存在满足条件的点G.
教师：错！还是错！
学生愕然了，错在哪里呢？
教师：为了使tanθ=，那么点A到直线DG的距离为，这一点没有错，很好！但要注意这里指的是“直线DG”，而不是线段，思维拓展些，视野开阔些.
图6
有学生终于开了“窍”：将底面ABCD单独抽取出来，得图6，在直角梯形ABCD的上方取点E2，使△ADE2是以E2为直角顶点的等腰直角三角形，则AE2=. 在图5中，∠SE2A=θ，且tanθ=，满足题设条件，这时∠BGD=∠ADE2=45°，BG=2AD=2GC，BG：GC=2：1. 终于将隐藏较深的点G挖了出来.
教师：我们感到的是意犹未尽，回味无穷！如果去掉题中“异于B，C”这个条件，则满足条件的点G有几个呢？
学生：有两个！
在解题中我们一定要认真审题，特别是对隐含条件的挖掘、关键条件的解读，略有不慎，就会使我们的解题轨迹“差之毫厘，谬以千里.” 教师的寥寥话语激荡着学生的心田，提高了学生防错的意识.
3. 多媒体动画演示“错”
案例3 如图7，圆O的半径为定长r，A是圆O外的一个定点，P是圆上的任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，试指出点Q的轨迹形状.
图7
在学生解题的过程中，教师找出具有特点的“错解”，并用实物投影仪将其过程展示出来.
因为QA=QP，所以QA-QO=OP=r 许多学生受给出图形的“定形”影响，忽视点P在圆上移动时对点Q的附带影响，误认为只有一支. 为此，教师用预先制定好的课件，让学生亲自操作与验证. 利用几何画板的动态演示的功能，把抽象的问题具体化、静止的问题动态化、复杂的问题简单化，帮助学生揭开谜团，从“形”收获了全面观察问题的重要性，认识到点Q的轨迹形状是以A，O为焦点的双曲线两支. 4. 演绎证明论证“错” 案例4 （苏教版·必修3·第104页·探究与拓展·第6题）将本节例3改为：如图8，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ABC内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM
图8
这时应视射线CM在∠ABC内是等可能分布的，在AB上截取AC′=AC，则∠ACC′=67.5°，故满足条件的概率为=.
虽然教材对第6题给出了答案和适当的解释，但仍有许多学生受本节例3的解题方法的影响，错误地认为点M在线段AB上分布是等可能的，即测度为线段；或者知道线段不能作为测度，但又说不清为什么. 像这样的疑难问题教师必须给出严谨的证明才能使学生彻底心服，彻底领悟.
图9
证明：设∠ACM′=M′CM=θ（0<θ<），所以=，即=. 因为CA≠CM，所以AM′≠MM′，故点M在线段AB上分布不是等可能的. 故线段不能作为测度.
教师对疑难问题进行严谨的论证，不仅有利于培养学生对凡“错”都要探个究竟的习惯，更有利于培养学生严谨的求知态度和科学的做事精神.
5. 列举特例验证“错”
案例5 （苏教版·选修2-3·第22页·例4）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，问抽出3件中至少有1件是不合格品的抽法有多少种？
此题可谓“屡败屡战”.因为总有学生“喜欢”给出如下错解：抽出3件中至少有1件是不合格品的抽法有CC=9702种. 与课本给出的解法相比学生，虽然知道此法错误，但仍“明知故犯”，这就需要教师引导学生列举特例来验证错. 第一种抽法：第一步抽取不合格品甲，第二步抽取不合格品乙与合格品丙；第二种抽法：第一步抽取不合格品乙，第二步抽取不合格品甲与合格品丙. 而这两种抽法为同一种抽法，故上述的解答中多重复计算CC种，故正确的抽法为：CC-CC=9604种.
通过列举特例验证错，显然比空洞抽象的说教更具说服力. 这是一种从具体到抽象、从特殊到一般、从简单到复杂的逆向思维的运用，简单易懂、形象直观，易于学生接受.
6. “出乎意外”未必“错”
案例6 在1，2，3，4，5，6这六个数中任取五个组成数字不重复的五位数，求所有五位数的和.
这是一道解答大题，教师原本准备的解法是：设所求和为S，则在所有的五位数中，1在万位的数有A个，同理1在千位、百位、十位、个位的数也分别有A个. 那么在S中含有A×（10000+1000+100+10+1）=11111A，同理，S中含有22222A、33333A、44444A、55555A、66666A，故S=（11111+22222+33333+44444+55555+66666）A=11111×（1+2+3+4+5+6）A=27999720.
这已是经过改进的比较简洁的解法，教者为此还很有些“沾沾自喜”，可有一位学生的解法却使教者与不少学生感到瞠目结舌：五位数共有A个，其中最小的是12345，最大的是65432，所以所求和为×A=27999720.
在一片哗然与质疑声中，这位学生却道不出所以然来，只是说“凭感觉而得！”若在过去，教者完全有充分的理由说：“没有道理，得数相同，纯属偶然，错！”但此时教者却清醒地认识到“偶然中定含有某种必然因素”. 经过师生的共同努力，终于揭开了“谜团”.
原来，这A个五位数虽然不能构成等差数列，但如果将它们按从小到大的次序排列，得a1，a2，a3，…，a718，a719，a720，具有类似于等差数列的性质a1+a720=a2+a719=a3+a718=…=77777，故得解.
这是创造性地将“倒序求和法”迁移至此的成果，若教师对此类暗藏玄机的“错误”态度冷漠、反映迟钝，那么学生的一个充满智慧的灵感将被扼杀在“摇篮”之中. 叶澜教授说：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景，而不是一切都必须遵循固定路线而没有激情的旅程.” 此案例不正是最好的佐证吗？
在解题教学过程中“错解”随时可能出现，只要教者本着“寻根溯源析错解，去伪存真觅真知”的探知原则，灵活运用“错解”对学生进行尝误教育，就可使“错解”变为“沃土”，成为“乐园”；可使学生的思维在“沃土”里健康成长，在“乐园”中突飞猛进.
