浅谈数学概念理解障碍的表现形式

王刚 陶煜瑾

摘 要：衡量学生创造力的其中一个重要标准就是问题解决能力的高低，而提高数学学习能力的其中一个突破口就是数学概念的理解. 研究数学概念理解的障碍，对于探讨提高学生的数学理解水平以及培养学生数学能力的途径有重要的现实意义. 本文旨在通过研究数学概念的理解障碍来试图寻找到障碍的表现形式，为促进学生概念理解的数学教学提供依据和建议.

关键词：数学概念；理解障碍；表现形式

数学知识的获得是一种过程，又可以解释为通过概念的方式来把握数学知识的一般规律与本质属性的一种过程. 而数学概念的学习是这一过程的基础，数学概念的理解又是数学概念学习的前提和基础. 现行高中数学教材中不断涌现的密集而又抽象的数学概念，给刚刚步入高中阶段的学生带来了沉重的理解负担.本文主要谈谈概念的理解障碍的表现形式.

[?] 概念的理解

概念是否被真正理解，密歇根州大学（Michigan Stata University）教授爱德华·史密斯（Edward L.smith）提出对科学中的概念理解的两条标准：

（1）概念是否被理解应表现在：学习者能用适当的方式来表示概念；能知道相关的概念，并能够将其联系起来，特别是能将学习者原有的概念与新理解的概念进行联系.

（2）概念是否被理解彻底的程度在于：学习者在学习与实际生活中能用已理解的概念来解决他所面对的问题.

以上概念理解的两条标准涉及个人的知识结构和个人的知识功能，它阐述了学习者应具备的两个状态：首先，通过概念的理解，学习者具备相应的能力来完成各种实际问题；其次，这些问题的解决是被认可的.

[?] 数学概念的理解障碍的表现形式

数学概念理解障碍的表现形式，在笔者看来就是学习者在学习数学概念时由于种种原因，不能顺利地把概念的本质抽取出来并加以概括、描述与应用，不能达到对概念的真正理解，即不能达到爱德华·史密斯（Edward L.smith）提出的对概念理解应该达到的两个标准.

1. 数学概念推测、想象障碍

这是一种比较低层次的理解障碍，在所谓的数学“学困生”中更加突出. 主要是指经过相当长的一段时间的接触，学生对于新概念、新的数学名词、短语等，还不能形成正确的表象，由此产生影响后续学习内容的理解的障碍. 数学概念推测、想象障碍包括两个方面：

其一，不了解数学概念基本属性及其所表示的数学对象. 这种概念理解障碍实质上是学生对概念的内涵缺乏真正的理解. 概念的内涵是特指“存在于某一类事物中的共同的本质的属性”. 在概念课中，学生对概念的产生、发展、变化的理解过程是建立在足够多且感知过的概念例证题上，如果学生没有能够理解其中的一个或多个例证中的特别属性，则无法形成概念中的特性，学生对这类概念的共同属性的把握程度就有所欠缺，从而无法抽象出概念的本质，即理解不了概念. 此时，无论教师给学生做多少习题，和让学生将概念背的如何熟练，都无法让学生彻底地掌握概念.

其二，对数学语言中的特别的符号语言及文字语言的理解存在障碍. 比如，在数学语言的运用中存在着大量逻辑语言和符号，如“或”、“且”、“非”、“当且仅当”等等，这些逻辑语言符号的使用，一方面增加了数学的严谨性，使数学知识构成一个严谨的逻辑体系，但同时也增加了数学的抽象性. 当一个词语或概念在数学语言中表达的意义与自然语言中表达的语义不同时，学生必须重新构建其数学意义，这就会让学生对数学概念的理解造成障碍. 如逻辑联接词“或”，数学含义与生活含义在学生个体的认知结构中是相互影响的，这种影响导致学生在理解逻辑“或”时产生了负迁移，学生在推测逻辑“或”的含义时就会受到生活中的“或”的影响，从而产生理解障碍.

2. 数学概念描述、表达障碍

华罗庚教授生前曾教育中学生在数学表达上要“想得清楚，说得明白，写得干净”. 从这一点来看，提高学生数学语言表达能力是提高数学能力的重要途径.数学概念描述、表达障碍是指在对数学概念进行筛选、贮存等加工及表达（口头或书面的表达）过程中产生了困难.

数学概念描述、表达障碍表现在：不能筛选出有关数学语言特征的信息，清楚或全面地表达自己对数学概念的理解. 数学概念描述、表达障碍分为口头表达障碍和书面表达障碍. 我们在教学过程中有这样的感觉，对上节所讲的数学概念，在下一节上课复习提问时，有的学生不能完整地、准确地回答上来，只能照搬教材中的定义，而不会用自己的语言进行解释，不能把所学知识内化后用自己的语言表述出来；考试中由于表达不规范、不清晰造成智力的严重浪费，有时甚至会出现词不达意、不设先用、思路混乱、审题不清、以图代证等错误.

通常数学概念描述、表达障碍有以下四种情形：第一种，知道含义但不能用自己的语言表达出来；第二种，含义不清晰，表达有错误；第三种，知道含义，但表达不够完整；第四种，含义明确，但在不同的数学语言中不能自由的转换.

数学概念的理解是建立在能把数学概念的本质抽象出来的基础上，数学概括能力的缺失是导致这类障碍产生的根本原因. 数学概括能力需要平时的不断积累，需要教师平常在课堂上的不断引导，这说明我们的教学方式有待改进.

3. 数学概念比较、识别障碍

数学学科对前后知识的联系要求很高，前面所学的知识一般是后续内容的铺垫与基础，低年级所学的知识一般是高年级所学知识的特例，高年级所学是低年级所学的推广. 所谓比较、识别障碍，是指学生在学习新概念的时候不能有意识地与前面与此相关的概念建构实质性的联系. 从培养学生的数学素养、数学兴趣的角度来看，我们应该对学生理解性的学习机制的探索给予重视，正如卡彭特所说：“数学学习是一种理解性的学习，它的重要特征是具备生成性，如果学生学会理解性的概念知识时，学生就能使用这些知识去生成新的知识，去学习新的技能，能够解决碰到的新问题. 如果学生的知识不是通过理解而得来的，而是通过机械模仿暂时获得的，这些知识在碰到新问题和新情境时会一无是处. 国际上数学教育改革的一个重要切入点就是改善当前教育图景，以适应未来发展的理解性学习及其教学设计研究. 因此，选取其中的一个方面进行研究，对整个理论的建立有一定的辅助作用.

[?] 概念的正确理解

对数学概念的正确理解，关键在于能否使学习者在心中已有的认知基础上建立起相对于新概念而言的恰当的心理表征，所谓数学概念的心理表征，就是“与所学概念直接相联系的整体性质的认知结构，包括相应的心智图象、对概念性质的认识和有关过程的记忆等，是所学概念在头脑中的投射或者说是由于与新概念的接触之后而引起的综合反应，简单地说，就是概念的心理对应物”. 不同的学习个体由于已有的知识经验、学习状态的不同，即学习基础的差异，对概念学习各因素建构方式的有差别，导致对当前学习的数学概念的理解会产生不同的心理反应，相对应的心理表征是个性化的，特别是这个概念即使经过学习者的长期建构，也会在每个人的心中建立起不同的心理表征. 在这里不难看出，学习者在接受（主动建构）新概念的过程（课堂学习）及一段时间（课后复习或阶段性复习）或很长时间以后，这个心理表征一直是发展变化的，这是一个动态过程. 学习者在学习新的数学概念时所建立起的心理表征往往会夹杂着大量与概念本质无关的东西，教师的作用就是使学生去掉或修正这些无关物，引导学生探索发现概念的本质，由于概念的本质特征及表达形式在数学界是公认的，它所确定的内涵相对于一个时期是基本稳定的.

从这个理论来看，教师要帮助学生依靠自己的知识和经验在学习过程中去主动建构起相对于严格准确的数学概念而言的恰当的心理表征，使得个性化的心理表征所反映出的内容接近于此数学概念的本质. 学生对一个概念的理解需要对有关概念的学习经历进行多次必要的反思与整合，才能形成相对稳定的、整体性的形式定义与具体事例，特别是与其解决问题的经验相结合的认识.

[?] 结语

要给学生一杯水，教师就得有一桶水，把握数学概念教学的先决条件是教师对数学概念的认识程度. 数学概念的教学需要教师对概念有全面系统的认识，即在主观上应再澄清对概念认识的阶梯. 所谓再澄清对概念认识的阶梯，是指从整个数学学科教学的角度看待每个概念个体，不是局限于个别年级、个别学科认识某个概念. 这个角度是指要认识概念从开始涉及目前所教授的全过程，从概念体系的角度而不是从就事论事的孤立角度把握个别概念. 教师是概念教学的主要传递者，课堂是学生学习数学概念的主要环境，学生的概念理解水平直接受到教师的教学方式、方法的影响. 教师应该首先对数学概念有一个正确的理解，为学生学习概念起到一个引导和示范作用，但光这一点还远远不够，教师应该进一步了解影响学生理解概念的因素，理解概念存在的障碍，在教学中采取针对性的措施，摒弃旧的教学观念和改进原有教学方法，丰富课堂教学方式，从而更有效地实施数学概念教学.