谈平面向量数量积教学过程中的缺失与对策

摘 要：向量是“数”与“形”的统一体，其有关内容已经成为高考必考的重要知识之一，其中平面向量的数量积更是历届高考数学考查热点，但是从学生的答卷来看，每年的得分率并不理想. 本文通过分析一次期末考试中学生的答卷情况，反思我们在平面向量数量积的新授课教学和复习课教学过程中的缺失，并提出了相应改进设想.

关键词：平面向量；数量积；反思；缺失；对策

[?] 卷面陈述

2012—2013学年苏州市高一期末调研测试（数学）第16题：已知a，b，c是△ABC的内角A，B，C的对边，其中c>b，若a=4，cosA=-，D为BC边上一点，且·=0，·=，求：（1）

；（2）b，c.

此题年级均分7.66分（包括两个实验班，两个重点班），从笔者带的两个普通班的情况来看，有三分之一的学生完全没思路，得0分；四分之一的学生只写出了两个公式，⊥和·=

·

·cos∠BAD=，接下去便没有思路了，得1分或2分；余下的学生有的只做对了第二问，少数几个学生做全对. 总的来看，大部分学生都卡在了第一问.

[?] 试题分析与解答

此题第1问实际上考查数量积的几何意义，a·b=

a

·

b

·cosθ，其中

b

·cosθ是b在a方向上的射影. 由题⊥，故·=

·

·cos∠BAD=

2=，即可得

，非常基础的一个知识点！

此外，·=（+）·=

2+·=

2亦可求解，也是非常简单的一个转化！

[?] 考后反思

一个概念性的考点，这种答卷实在出乎笔者的意料，但这种普遍性的知识点缺陷让笔者不得不反思自己的教学过程. 下面就平面向量数量积的新授课和复习课过程中可能出现的不足之处分析如下，并提出相应改进.

1. 问题分析

（1）新授课教学

问题：概念的生成过程引导不到位，导致了学生对向量数量积的理解仅停留在记忆层面. 新授课中，由于时间关系，在“功”的引例之后，笔者直接给出了数量积的公式. 整个过程都是笔者在讲，学生在听，没有给学生时间让他们自己经历理解、归纳，并抽象出概念的过程. 所以时间一长，在他们头脑中留下来的仅仅只有一串抽象的符号.

（2）复习课教学

问题1：期末综合复习阶段没有专题复习，一上来就是综合试卷，这种粗放型的复习方式导致了学生粗放型的知识体系，很多知识只“知其然，却不知其所以然”. 比如向量数量积定义，绝大部分学生只知道其公式形式，却不知道这个公式的来龙去脉，从而导致了这道题的解题障碍.

问题2：试卷讲评不到位，太功利，为了解题而解题.在综合卷中我们做过这样一道题：已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为，设O为△ABC外心，当BC=时，求·的值. 学生的解答如下：先由已知得到另外两边的长分别为1，4，此时所有学生都没问题. 接下来，部分学生空着，不知道怎么用外心这个条件，另外部分学生直接由外心的特点入手，过O作BC的中垂线OD，其中D为垂线与BC的交点（如图1），则·=（+）·=·+·=·=（+）（-）=（

2-

2）=或-，没有其他解法.

讲评试卷时，笔者只讲了学生的这种解答，认为既然部分学生能够想到，那么这种方法应该是学生更容易接受的方法，由于课堂时间关系，就没有继续延伸讲下去. 所以，虽然当时这道题学生会做了，但并没有真正掌握这一类题究竟是要考查哪个知识点，下次遇到同样的题型应该从什么角度入手. 因此，在期末考试时，条件稍微变换了一下形式，绝大部分学生就无从下手了.

2. 问题改进设想

（1）新授课

①概念新授：注重概念生成，重视学生参与

数学概念是用数学观点认识事物的思想精华，具有高度抽象性，短时间内很难理解，所以数学概念的教学要让学生参与概念的形成过程，多给学生提供充分地概括本质特征的机会. 《高中数学教学参考书 必修4》阐述的教育目标：“通过物理中‘功等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会向量数量积与投影间的关系.” 高一学生的抽象概括能力比较弱，所以我们可以通过精心设计问题串，引导学生逐步准确清晰地表述出概念. 如本次课数量积的概念，我们可以设计问题串如下：

教师：初中我们已经学习了功的概念，请大家回顾功的计算公式并回答下面三个图中力F对物体所做的功是多少？

学生1：功的公式为W=F·S·cosθ，其中θ为F，s的夹角大小，所以上述三个图中力F对物体所做的功W分别为F·S，0和F·S·cosθ.

设计意图：通过力F的分解，体会转化的思想，并回顾射影的概念.

教师：从物理角度看，功W是数量，力F和位移S都是矢量，θ为两矢量的夹角大小，那么，从数学的角度看，他们分别是什么呢？

学生2：从数学角度看，功W是实数，力F和位移S都是向量，θ为两向量夹角的大小.

设计意图：引入两向量夹角的概念.

教师：功的公式W=F·S·cosθ表示的物理意义是矢量力F在矢量位移S方向上所做的功，那么从抽象的式的角度看呢？

学生3：从公式本身的角度看，力F在位移S方向上所做的功实际上是力F在位移S方向上的分力F·cosθ与位移S的乘积.

设计意图：为数量积的几何意义做铺垫.

教师：如果我们把力F和位移S换成常用向量a，b，功W看做是这两个向量的运算结果，记作a·b，读作a点乘b，那么，你能用自己的语言表述这个公式吗？并试着从几何的角度解释这个公式？

学生4：这个公式可表述为a·b=

a

·

b

·cosθ，其中θ为向量a，b的夹角大小. 它的几何意义是a在b方向上的射影

a

·cosθ与b的大小的乘积.

设计意图：引导学生自己抽象出数量积公式，并从几何角度理解这个公式，赋予这串符号内涵.

创设好的问题情境，把学生的积极性调动起来，尤其是概念课，如何让学生自己发现、总结、归纳、理解一个新的概念显得尤为重要. 当学生对自己的“成果”有了了解之后，再进行教学效率会更好，学生掌握的也会更牢固，也就不会出现这次期末考试中这种“知其然，却不知其所以然”的现象了.

②当堂巩固：注重数形结合，重视分析转化

向量具有代数和几何的“双重身份”，它是“数”与“形”的统一体. 所以我们在教学中应该注重“数”与“形”的转化，借助“形”来理解“式”的几何意义，通过“式”来归纳“形”的本质特征. 在归纳出向量数量积的公式和几何意义后，我们还可以通过一些典型的练习来加深概念的理解与掌握.

练习1 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为______，·的最大值为______. （答案：1，1）

解析：如图3，由数量积的几何意义知，当点E在AB上运动时，在上的投影为

CB

，所以·=

CB

2=1为定值；在上的投影为

DF

，所以当点E运动到B点的位置时，·取得最大值

DC

2=1.

[D][A][B][C][E][F]

图3

练习2 在正△ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则·=_________（答案：）

解析：如图4，过点D作DE⊥AB于E，则在方向上的投影为

AE

，所以·=

AB

·

AE

，由题意得BE=·BD=，所以AE=3-=，·=.

[E][A][B][C][D]

图4

练习3 在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则·=________（答案：-16）

解析：（向量几何意义揭示问题本质）由题意，不难看出点A在以M为圆心，半径为3的圆上，∠BAC总为钝角，过点C向BA作垂线CD，如图5，在方向上的投影为-

AD

，所以·=-

AB

·

AD

，作Rt△BCD的外接圆，显然半径为5，于是联想到圆中的相交弦定理，作出AM所在大圆的直径EF，显然由相交弦定理易得·=·=（5-3）·（5+3）=16，所以·=-

AB

·

AD

=-16.

[A][B][C][D][M][E][F]

图5

（2）复习课

①复习策略：夯实基础，方能游刃有余

任何高楼大厦的巍然耸立，都源于其深深的根基. 学习也一样，只有扎扎实实掌握了基础知识、基本技能，才能灵活运用已有的知识解决一个个障碍，也才能站在一定的高度丰富、完善自己的知识体系. 对于这种综合性较强、内容涉猎较全面的阶段检测，需要系统全面的专题复习，巩固加强基础的知识和基本的技能. 而且向量在高一阶段相对比较独立，平时学习和练习中很少涉及，所以学生更加觉得陌生，甚至有这样一种奇怪的现象：高一的学生一学年下来，最害怕的不是数列，不是函数，而是向量，因此，在做大量综合试卷训练之前，有必要系统地复习、回顾基础知识和基本技能.

②试卷讲评：举一反三，方能加深理解

解题的目的不仅仅是为了解决这一道题，而是通过这一道题巩固相关的基础知识和基本技能，并且从这一道题的解法中归纳、提炼同一类型的题目的分析方法和解决方法，提高综合运用已有知识的能力. 如上题，我们可以适度延展挖掘.

教师：既然大家想到了外心的特点，过O作BC的中垂线，那可不可以作AB或AC的中垂线呢？我们为什么直接选择了作BC的中垂线，而不是AB或AC的呢？如果作AB或AC的中垂线，这道题可以解决吗？

分析1：上述解答实际上是选择了，作为此平面内的一组基底，这样如果作AB或AC的中垂线，也可以用同样的方法实现转化. 若作AB的中垂线OE交AB于E，AC的中垂线OF交AC于F，（如图6）则·=（+）·（-）=·-·+·-·=·-·+

-++

·=（

2-

2）.

[C][E][F][O][A][B]

图6

点评：此法实际上是利用平面向量基本定理，把平面中的所有未知向量都用一组已知的基底表示出来，那么不管最终要求的是什么，都转化为两个已知基底之间的运算，这样这个问题就解决了.此法实际上运用了转化的思想.

分析2：此题求的是数量积，而数量积的物理背景是力做功，是形的特征的抽象化，所以可以回归到形的角度来考虑. 若作AB的中垂线OE交AB于E，作AC的中垂线OF交AC于F，则·=·（-）=·-·=

·

-

·

=（

2-

2）.

点评：（1）此法是从数量积运算的本质特征入手，将抽象的式转化为直观的形，借助图形特征帮我们解题.

（2）既然从AB，AC角度能够用数量积的几何意义解决，那么从BC角度应该也可以解决. 过A作AM⊥BC交BC与M，则在方向上的投影即，所以·=

·

·cos〈，〉=

·

，而由题三角形的三边已知，可求出DM，这样便可以求出来.

[C][D][O][A][B][M]

图7

非常自然的一个延伸挖掘，如果当时把这些问题弄清楚了，笔者相信，学生不仅对外心这个条件的利用有了更深的体会，也会对向量数量积的内涵和外延有更深的理解. 那么在遇到期末考试这道题时，就能很快发现考查的是向量数量积的几何意义，这道题也就迎刃而解了.

[?] 反思后记

“平面向量数量积”是高考的重点与难点，但是学生做相关的综合题得分率却很低. 其实，“学生是教师的一面镜子”，学生的表现折射出的是教师的教学. 所以面对学生的解题障碍，我们要多从教学的角度分析、反思、改进，这样才能避免简单重复劳动，取得教与学的双丰收.