重视审题教学 提高教学效益

摘 要：不少学生做题时对一些数学题目出现“懂而不会”的现象，这种问题教师可以从审题教学入手，让学生会利用各种信息来进行审题，明白数学题目中各种条件如何应用，从而改变学生这种现状.

关键词：审题教学；教学效益；阅读教学

在数学教学中，经常发现以下情况：不少学生在数学课上认真听讲，自己感觉听会了，但到自己做题时往往无从下手，特别是一些条件比较多的大题，常常一片空白， 问他们原因时，学生说“太难，看不懂题目”，可是经教师一点拨，又觉得很容易；在考试中，也有相当一部分学生会失去一些本不该失去的分数，他们一般都解释为“粗心”. 其实，经过调查研究和分析发现，根本原因不是“问题太难”，也不是“粗心”，而恰恰在于学生审题能力差.

审题是解题的开端，深入细致的审题是成功解题的必要前提. 著名数学教育家波利亚说，“最糟糕的情况就是学生没有弄清问题就进行演算和作图.” 为此，波利亚总结出一张“怎样解题表”，将解题的过程分为四个阶段. 其中第一步“弄清问题”就是我们常说的审题. 审题就是多角度的观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向. 因此，数学教师在教学过程中应该加强审题的教学，培养学生审题能力. 这对于学生克服数学学习的困难、开通数学思维的大门具有重要的现实意义.

在数学教学中，教师通过分析题设与所求或结论之间的数学关系——逻辑关系、数量关系、空间位置关系等方面入手，使学生掌握审题方法，从而提高学生分析问题、解决问题的能力.

在教学过程中，可以从以下几个方面进行教学.

[?] 重视学生的数学阅读教学

在做数学题时，首先要阅读题目，此时要仔细阅读. 可以小声读或默读，这是一个数学信息内化的过程，它能解决学生漏看、错看等问题. 例如，平时学习中成绩较好的学生，拿到一道题目，不管是难是易，都会怀着轻松的心情去小声读或默读，特别是遇到一道陌生的题目，会更加兴奋，逐字逐句研究，把做出一道难题看成一种快乐；而基础较差的学生则不然，看见难题有畏惧感，脑中“我做不出”的意念缠住了他们的思维，这时可通过阅读的方法寻找一些灵感解决问题. 因此，教学时要让学生仔细阅读，认真思考，弄清含义，为正确解题创造条件.

例1 求过曲线y=x3-2x上的点（1，-1）的切线方程.

学生的解答：因为y′=3x2-2，所以k= y′

x=1=3×12-2=1，所以切线方程为x-y-2=0.

学生：老师，这道题目错在哪？

教师：在读这道题时你发现了什么？

学生：发现（1，-1）在函数上.

教师：还有什么发现？

学生：没有.

教师：那么，如果把题目变为：求曲线y=x3-2x在点（1，-1）处的切线方程. 你看看这两道题目有什么区别？

学生：原题目与变式后的题目有两区不一样：一是“过”变为“在”，二是多了个“处”字.

教师：这两道题目是不是同一个题目？

学生：不是. 在读题目时没注意这些字.

教师：那你能说说它们的区别吗？

学生：过曲线上的点（1，-1）的切线与曲线的切点可能是（1，-1），也可能不是（1，-1）. 我把（1，-1）当成了切点. 读题目时，以后要注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同. 虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点.

[?] 重视学生在数学题目中寻找关键的语句、符号和挖掘隐含条件的教学

审题的过程其实就是通过弄清解题过程，建立比较清晰的数学情景的过程. 因此，审题时只关注具体数据的条件，而忽视叙述性语言是不行的. 叙述性语言中的一些关键语句和数学符号对题目描述的数学情景起到决定因素. 因此，在审题教学中，教师应让学生具备敏锐的洞察力和判断力，学会定位关键的语句和符号，正确解读其含义.

例2 已知a=（2，1），b=（λ，1），λ∈R，a与b的夹角为θ. 若θ为锐角，则λ的取值范围是__________.

笔者会要求学生读题后，圈出关键语句“若θ为锐角”，从而减少因审题不清而做错题目的可能. 坚持这种教学，久而久之，学生在读题时能抓住重点，理解题目的意思，就不容易出错了.

关键词可以帮助我们准确形成清晰的数学思维，然而要想把文字语言转化为数学符号语言，还要教会学生对隐含条件的挖掘. 有些数学题的已知条件是直接给出的，而有的则是隐藏在文字的叙述中，这就使得教学时必须教会学生审题.

例3 已知0≤α<β<γ<2π，且sinα+sinβ+sinγ=0，cosα+cosβ+cosγ=0，则β-α=________.

学生：β-α=或β-α=.

学生：老师，这道题目错在哪？

教师：那你能写出你解这道题的过程吗？

学生：

sinα+sinβ=-sinγ，①

cosα+cosβ=-cosγ，②

①2+②2，得cos（β-α）=-，转化条件0<β-α<2π，β-α=或β-α=.

教师：条件0≤α<β<γ<2π中的α<β<γ这个关系你是怎么处理的？

学生：只用α<β<2π就可以了，发现γ多余.

教师：题目的条件不变，求γ-α.

学生：同样的方法得到γ-α=或γ-α=.

教师：如果用上0≤α<β<γ<2π，你会发现什么？

学生：由0≤α<β<γ<2π得到β-α<γ-α，γ-α=，而β-α=.

教师：你注意到题目中的式子具有明显的轮换特征吗？这是题目中的隐含条件.

在数学教学中教师要时刻注意提醒学生，有些知识在题目中没有明说，只有通过分析才能得出，因此要让学生在做题时仔细读题，认真理解，善于挖掘隐含条件，深刻审题，这样才能提高解题的准确性.

[?] 重视学生由图形抓特点，由图表、数据找规律教学

在不少数学试题中，问题的条件往往以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题教学时，学生要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊的关系、数值的特点、变化的趋势. 抓住图形的特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解考题的关键. 题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向. 在审题教学时，教师要让学生学会通过认真观察分析图表、数据的特征和规律，从而找到解决问题的思路和方法.

例4 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°. 如图1所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动，若=x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是_________.

[C][A][B][O]

图1

观察方向1 向量，，均为单位向量（注意三向量的关系）?=x+y（将向量关系转化为数关系）?2=（x+y）2=x2+y2-xy=1（化为关于x+y的不等式）?（x+y）2=1+3xy≤1+3

2（要关注等号成立的条件）?x+y≤2.

观察方向2 从图形上看，设∠AOC=α的大小影响x+y的大小（将向量关系转化为α与x+y的关系）?

·

=x2

+y

·，

·

=y2

+x

·，?即cosα

=x-，

cos（120°-α）

=-+y（构造x+y关于α的函数）?x+y=2[cosα+cos（120°-α）] （三角函数化简）?x+y=2sin（α+30°）≤2.

观察方向3 观察图形，圆弧AB具有对称性，可能在边界，在边界则有两种可能?若与重合或与重合：x+y=1， 从图形特征看，C可为圆弧AB的中点?若C为圆弧AB的中点，则x=y=1，x+y的最大值应为2.

从上面三种审题角度看，认真审图，抓住图形特征，解题快又准，所以观察方向3值得考虑.

由图形抓特点，由图表、数据找规律的教学就是对题目中出现的数学情景、数学模型画一些必要的草图和变化的过程的教学. 草画图形，搞清数学过程，还原数学模型，找出题目的关键之处，这是解题中很重要的一环，是解题的突破口，也是数学教学重点. 这样才能使学生在做数学题时必须认真审题，根据题中告诉的各已知量的数量关系充分想象、分析、判断，画出草图以展示完整的过程图景，使数学问题更加简单.

[?] 重视学生由结论会转换，结构定方案教学

数学问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误，因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的. 审视结论的教学，就是在结论的启发下，教会学生探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律，让学生善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向. 由于数学问题中的条件和结论很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的，在审题教学时，让学生感觉到在这些问题的数式结构中隐含着某种特殊关系，认真审视题目中结论的结构特征，对题目中的结论进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案.

例5 锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. 若+=6cosC，则+的值是________.

观察方向1 观察条件+=6cosC（数式中既有边又有角，应统一）?

+=6×（将条件转化为简洁形式）?a2+b2=c2.

观察结论所求：+（考虑到△ABC中的正、余弦定理，切化弦是必经之路）?+=·（角化边、用条件）?+=·=·=4.

观察方向2 观察条件+=6cosC（关注数式的特征）?边a，b具有轮换性，观察所求结论+，角A，B具有轮换性（从数式的特征考虑）?当A=B，即a=b时，应满足题意cosC=（完全转化成三角函数运算）?tan2==，即tan=，tanC==2，tanA=tanB==，+=4.

由结论会转换，结构定方案教学就是让学生充分挖掘大脑中所有储存的知识信息，准确思考、全面思考、快速思考，分析出解题的思路和方法的教学. 要知道，解题时每个人都会遇到关卡，切忌一遇到困难就自乱阵脚，否则越做越紧张，效果可想而知. 对于考查基本知识和基本技能的题目，它们不会太难，可以比较顺利地解决，但这时切忌掉以轻心，洋洋自得，因为这些题看似简单，但可能潜藏着小小的陷阱，一不留神就会掉下去，到头来却不知道为什么错了. 遇到从来没有碰到过的题型或一时无从下手的难题，千万不要认定自己一定做不出来. 这时可采取一些巧妙的办法，例如，不妨先闭上眼睛，深呼吸几下，然后再集中全部精力攻克这道题等等. 最不可取的是，遇到一道难题，看了几眼，做不下去，就看下一道；写了几行又做不下去，再做前一道；刚有了思路，却又放弃，去想下一道；反反复复，两道题一道也做不出来，可时间却又所剩无几，又担心前面的题目会做错，又转而检查前面的题目，结果两大题没完成，前面的答案又不能保证万无一失，那考试的结果可想而知. 遇到难题，不必吓得不敢下手，从简单的方面考虑，将可以想到的步骤一步步清楚地写下来，或许会“柳暗花明又一村”，即使得不到最终答案，也会获得步骤分. 实在做不出来，也不要勉强自己，影响全卷的答题，因为谁也不能保证完成每一道题.其实，考试成绩不理想的原因不在于做不出难题，而在于做不对你会做的题目，这儿计算错误，那儿题目看错，导致到处失分.

总之，科学的审题是每个学生所必备的，教师应引起足够的重视. 只有在教学每个环节中适时进行有效的审题教育，培养学生良好的审题习惯，才能大大提高学生解决数学问题的能力，提高教学质量.