高中生在导数问题解决中的困难调查与对策研究
2014-04-29吴沛东卢焱尧彭杰
吴沛东 卢焱尧 彭杰
摘 要：导数知识在人们的生活和学习中占据着举足轻重的地位，导数的教学定位以及如何进行导数的教与学成为数学教育工作者研究的一个重要课题. 本文采用问卷调查法，其目的在于对高中生在解决导数问题过程中遇到的困难进行调查与量化分析，并针对导数概念及应用部分所出现的学习困难和错误提出了自己的看法，制定了相应的教学策略，以期提高学生的学习效果.
关键词：高中生；导数；问题解决；学习困难；教学对策
微积分是近代数学发展的基础. 微积分的创立，开启了科学的新纪元，加强与加深了数学在实际中的应用，被誉为“人类精神的最高胜利”，它极大地推动了数学自身的发展. 可以说，它是继欧氏几何后数学中最大的一个创造. 它为研究变量和函数提供了重要的方法和手段，有了微积分，人类才有能力把握运动和过程. 微积分工具性应用很强，难以掌握，高中生应当怎样学，如何根据高中生的认知特点控制微积分教学的要求和难度，一直是国内外教育界研究的热点问题.在国内高中开设微积分的必要性，已有多篇文章阐述.教育部2003年4月颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《标准》）对于微积分部分的教育价值作出全新定位， 以逾越极限的形式来讲微积分，引起了很大的反响，褒贬不一. 有赞成者，如“极限思想是微积分思想的基础，引入直观描述极限作为导数定义的铺垫，有利于学生理解和掌握微积分思想，……所谓直观描述极限，即在生成导数概念过程中遭遇极限时，给出一般函数的描述性定义，并用具体函数予以解释.” “淡化概念与注重建构……《课标》中微积分内容是以瞬时速度——变化率——导数——导数应用为设计主线，其实这样的设计是有一定道理的.” 也有一些反对的言论，如“微积分中的重要概念都是用极限定义的，导数也不例外，……与其若隐若现、马马虎虎，倒不如充分尊重学生的认知基础，把函数极限的知识提出来，置于第一节.” “应遵循学生的认知规律，了解学生的思维状况，有的放矢地讲解极限. 学生的认知发展应该是从语言描述建立概念表象开始，然后再到图表、图象、代数式子等，最后上升到ε-N语言方法.” “……无极限的导数模式，并不是创新，而是倒退”，等等.
新课标实施已经十年了，各省份不同版本的高中教材，均以逾越极限的形式引入导数. 那么，此时高中生在导数问题解决中的困难到底处于什么状态？学生对新课标教材中微积分的认知状况及适应程度如何？这值得我们进一步关注和研究. 基于此，本文对贵州省2010年进入新课改后，首批高三应届毕业生及高二新生微积分的掌握情况作具体的调查和探讨，希望对微积分教学及课程编写有所启示.
[?] 调查研究概况
（一）调查研究目的
本调查旨在了解学生观点下的高中导数的定位，找出新课程下学生学习导数的困难根源，明晰当前高中导数教学中存在的一些问题，以期对当前课程的修订、改革提供有价值的参考性建议，帮助高中数学教师分析、反思、完善自己的教学行为.
（二）调查研究方法
本次调研主要采用问卷调查法. 问卷包含单选题、多选题、排序题、简答题，全部数据统计和处理用Excel软件辅助分析.
（三）调查研究样本
本次调研对象是贵阳市六所省级示范性高中学生，共进行四次调查.
问卷S1：2012年11月中旬，对象是贵阳市第二中学的105名高三应届毕业生，其中整班发放的是理科实验班，共计49人，按小组随机发放的是文科，共计A班28人，理科A班，共计28人. 实发放问卷105份，收回有效问卷101份.
问卷S2：2012年11月下旬，对象是贵阳市第五中学、贵阳市第六中学、贵阳市第八中学的140名高三应届毕业生，按小组随机发放，文科实验班两个班56人，理科A班两个班42人，理科B班两个班42人. 实发放问卷140份，收回有效问卷132份.
问卷S3：2012年12月中旬，对象是贵阳市清华中学、贵阳市实验三中的154名高三应届毕业生，按小组随机发放，理科实验班两个班42人，文科B班两个班56人，理科B班两个班56人. 实发放问卷154份，收回有效问卷147份.
问卷S4：2013年3月中旬，对象是贵阳市第二中学的高二学生，按小组随机发放，理科实验班一个班21人，文科实验班两个班42人，理科A班两个班42人，文科A班两个班42人，理科B班两个班42人，文科B班两个班42人. 实发放问卷231份，收回有效问卷219份.
（四）调查研究内容
笔者参考往届硕博毕业论文有关“导数问题”调查问卷，参加并听取了贵阳市第二中学高二、高三数学组“导数问题”研讨会，亲自访谈贵阳市第二中学有二十年以上教龄的高三一线教师，以及笔者在“导数问题解决”方面的施教心得，整理而得本文研究内容. 为了便于了解学生具体情况，科类、班类、成绩层次分别细化为：学习类别（ ）A. 文科，B. 理科；班级类别（ ）A. 实验班，B. A班，C. B班；你目前的成绩状况（ ）A. 优，B. 良，C. 暂时落后.
调查问卷设计以学生为主视角，依据《普通高中数学课程标准》的“四基”标准：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，考查他们了解、理解、掌握、应用、记忆、分析情况及对教师讲授该模块的建议和意见. 开放性题目较多，问题涉及基本概念及公式、导数应用、导数人文思想、自我反思与评价等.
[?] 调查结果分析
针对上述研究的主要问题，现在笔者对调查结果做出统计、分析，具体情况如下：
（一）学生对导数概念的理解
加强概念教学是学好数学的基础，是理解数学知识，掌握定理、公式、法则和数学思想的前提，同时也是提高解题能力的关键. 高中新课程人教版《数学》选修1—1第三章第一节导数概念教学重点为：理解导数的概念和理解导数的内涵. 无限逼近的极限思想是建立导数概念的基本思想，让学生经历概念的生成过程，体验“逼近”的数学思想，欣赏数学的“运动变化美”，使学生在理解上不至于突兀陡然. 这也是逾越极限形式进行导数教学的有效手段，学生对此理解情况如何呢？
1. 学生对导数概念式含义的理解
问卷第5题：请描述下列式子代表的含义——
（1）对于△x→0，你的理解是（ ），具体情况如图1. 整理学生们的回答，有以下几种：A无限趋近，B不理解，C是x=0，D是学生未填写的比例.
（2）对于，你认为是（ ），具体情况如图2. 整理学生们的回答，分别有：A平均值或（割线）斜率或平均变化率，B不理解，C求极限或指定区间函数分布，D是学生未填写的比例.
（3）对于，你的理解是（ ），具体情况如图3. 整理学生们的回答，分别有：A求极限或求导或（切线）斜率或瞬时变化率，B不理解，C是学生未填写的比例.
29%][B
11%][A
60%]
34%][A 36%][其他
13%][D 10%][E
3%]
2. 学生对导数概念“数”含义的辨别
问卷第4题：在t=2附近，平均速度趋近于确定值-13.1，这个常数-13.1就可作为该运动员在2秒时的速度. 你认为（ ），具体选择如图4，其中A正确，B不正确，C不确定，D不知道，E是学生未填写的比例.
3. 学生对导数几何意义及物理意义的认识
问卷第10题：你理解导数的几何意义吗？请填写真实选项（ ），具体选择如图5，其中A理解，B不理解，C模棱两可，D不知道.
问卷第11题：下列物理量与函数导数最接近的是（ ），具体选择如图6. A平均速度，B瞬时速度，C加速度，D速度.
从调查结果可知，教材原封不动的导数概念，对于省城高中生来说，至少四成学生对其理解不容乐观. 尤其是从抽象到具体、由“形”到“数”的相互转化过程，有近三分之二的学生在认知、理解、记忆方面产生诸多障碍！
（二）导数应用及基本技能的掌握
与对导数概念的理解相比，导数的应用是对学生综合素养的全面考查，本部分从范围、方法与技能、出错率排序及主观题方面入手，做具体量化分析.
1. 学生对导数应用范围的认识
问卷第11题：你认为利用导数，可以很便捷地研究函数（曲线）的（ ）（本题目为多项选择），具体选择如图7. 其中，A切线方程和法线方程，B奇偶性和周期，C单调性和比较大小，D极值、最值和恒成立问题，E零点问题，F作函数的大致图象.
本题评判标准：B选项错误，其余项都正确；对于正确项，不论选几项都视为对，若在正确项中选择B，则视为错. 从调查数据看，有七成学生知道导数应用的领域，但真正掌握导数应用范围的学生仅占9%. 新课改的亮点是强调素质教育和数学实用价值！教学不单单让学生明白怎样解题，更重要的是从宏观上强化他们理解某一模块的用途及功能，这是学生创造性学以致用的前提.
2. 对利用导数研究函数相关问题的考查
问卷第21题：利用导数研究函数的相关问题中，你常犯的错误是________（请按出错频率高低排序：写字母序号），具体选择如图8. 其中，A复合函数求导要求，B研究函数单调性时，忽略原函数定义域，C求解函数极最值时，忽视一阶导函数不存在或无意义的点，D导数运算中积、商求导法则记错，E底数不为e的指数函数、对数函数的求导，F是学生未填写的比例.
80%
60%
40%
20%
0%][23%][A B C D E F][18%][18%][20%][17%][8%][24%][19%][26%][20%][1%][15%][28%][23%][30%][19%][26%][24%][12%][15%][25%][14%][8%][16%][16%][24%][3%][3%][3%][2%][次低][错频低][适中][次高][错频高][错频高]
图8 导数相关问题的考查
从出错调查看，有半数学生在研究函数单调性及极值、最值时，因某些条件掌握不熟练而习惯性出错；复合函数求导要求不明确，积、商求导法则记错，底数不为e的指、对函数导错的学生分别占四分之一. 这说明学生在解决综合题型及解题技巧方面相当薄弱.
3. 由主观题看导数解题困难
问卷第27题：关于导数学习，你还有什么困难或问题？对其统计、分析结果如图9. 整理学生们的回答，有以下几种： A证明恒成立问题或字母常数的取值范围及分类讨论及忽略隐含条件，B复合函数求导或函数单调性，C导数几何意义的理解和函数应用（尤其导数大题的二三问）及最优化问题，D导数方面问题多，一知半解，E求函数极值、最值和比较函数值大小及函数不等式证明，F导数概念理解或公式运用，G复杂函数求导，H极限概念理解及导数定义求导.
20%][B
16%][D 13%][F 9%][其他
18%][A 24%][E 9%][G 7%][H 2%]
图9 由主观题看导数解题困难
从主观题回答看，近七成学生在导数综合应用方面存在不同程度的困难；五分之一的学生对基本概念理解及公式掌握产生困惑；八分之一的学生对导数问题一知半解. 这说明强化基本知识及导数应用方面是教学的重中之重.
（三）导数相关人文思想的了解
人文思想是数学教学的重要内容，它为学生人文素质的培养提供了条件. 构建科学人文教学观即以科学为基础和手段，以人文为价值和目的，对形成健康个性、健全人格与人文素质，是十分迫切和必要的.
问卷第8题：最能体现导数基本思想的本质是（ ），具体选择如图10. 其中，A导数就是对事物变化快慢的一种描述，B是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具，C蕴涵着丰富的运动辩证、对立统一的思想方法，D用静态的量的关系去描述动态的极限过程.
图10 导数人文思想的了解（1）
图11 导数人文思想的了解（2）
问卷第13题：“微积分（导数是其中的一部分）是现代科学的基石！”这句话你认为（ ），具体选择如图11. 其中，A完全正确，B有点夸张，C还未感受到，D不这样认为. E是学生未选的比例.
从调查数据看，不低于三分之二的学生对导数相关人文思想的了解处于含糊状态，说明现实教学中对该部分知识不够重视.
（四）对导数学习的反思/评价与建议
正确引导学生反思、评价、归因是认识不足，从而进行重点学习的保障，也是教师基本素养之一，它有助于凝聚班级正气，达成共识，形成高效学习的氛围.
问卷第9题：导数是微积分中最基本的概念之一；微积分是大学一年级的一门必修课程. 学习完《导数》这一章的内容后，你对将来继续学习微积分的知识有信心吗（ ），具体选择如图12. 其中，A估计会很难，没有信心，B有一定难度，但是有信心，C难度不大，比较有信心，D不难，很有信心，E是学生未选的比例.
40%
20%
0%][A B C D E][21%][61%][7%][7%][4%]
图12 导数学习的反思/评价
45%][A 7%][F 40%][E 5%]
图13 对导数学习的建议
问卷第28题：在导数授课方面，你有什么好的建议或意见向教师分享吗？其统计、分析结果如图13. 归纳学生们回答：A导数基础知识讲解，B多练习和综合习题讲解具体化，C导数运用及数形结合及总结题型讲方法，D公式推导过程及记忆技巧，E分层复习及师生互动及多媒体运用，F是学生未选的比例.
从调查结果看，有四分之一的学生对导数学习缺乏信心；半数学生还是期待讲解导数基础知识、综合题型及方法等.这反映巩固基础、强化应用，为学生塑造导数学习信心，仍然是教学主旋律.
[?] 调查结论
通过本次调研，了解到省示范性高中生在导数问题解决中具体困难的量化水平，反映出当前高中导数教学中确实存在着一些不容忽视的问题.
（一）学生对导数基础知识掌握不容乐观. 比如，对导数概念理解、导数公式生成的认识、导数现实意义的把握等.
（二）导数应用及基本技能的掌握不够扎实. 从检测结果看，学生对导数应用的宏观认知不到位、导数运算公式混淆及习惯性出错直接影响解题正确性，以至于在解综合题型及解题技巧方面表现相当薄弱.
（三）导数相关人文思想的了解相对滞后.
（四）学生对导数学习的信心不够高涨. 信心源于实力，导数作为过渡课程，学生普遍认为难度较大，究其原因，关键在于对导数基础知识、综合题型及方法等掌握不牢固.
由于本次调查的学生是省示范高中文理科生，推测对于在师资力量短缺的欠发达地区，上述问题会更严重.
[?] 教学对策与建议
对于高中微积分的定位，不但要结合课改几进几出的教训和借鉴国外编排及教学模式，还应当兼顾我国高中生的认知特点、地区差异等，确确实实让微积分初步起到承前启后的桥梁角色，承前是对基础数学的提升与浓缩，学生领略从有限到无限、从常量到变量、从近似到精确、从量变到质变的变化过程；启后是为高中生进一步学习做好铺垫，开阔视野，丰富思维内涵. 笔者个人认为，解决高中生学习导数困难应从以下三方面考虑.
（一）教材、课标方面
1. 以均衡分班为抓手，重视均衡教育及循序渐进的分层过程
均衡分班是指教学硬件环境、师资配备、学生综合能力分布合理化、均衡化.消除了班际歧视及沟通障碍，有利于良性竞争氛围的形成，是推进均衡教育的前提. 同时，这对于国家级教材、课标的实施具有更广泛的普适性和认同感.
微积分中的重要概念都是用极限定义的，导数也不例外. 但是，新课标逾越极限形式引入导数，部分教师针对该模块相当困惑，学生回归习题又遇到抽象的极限符号. 林群、张景中、宋宝和等十多年来一直致力于舍弃极限引入导数的研究，尤其是林群的初等函数微积分，从切题思想上完全回避极限又不失严谨性，内容独立，自成体系. 它与新课标接近，同时为微积分的后续学习留有余地，体现知识的“和而不同”精神，实践证明，它符合高中生的认知特点. 由此可见，对于文科生，可尝试“林群模式”认识导数；对于理科生，可适度讲解极限，在严谨性与直观性问题的处理上，从学生对概念的理解出发，把握极限的形式化和严格化的深度.
2. 融入丰富的导数人文理念，多方面展现导数基础知识
教材应针对高中导数课程的具体内容，渗透“导数文化元素”，实现“数学文化”的教学目标.比如，以隐性方式呈现微积分发生、发展及学术争鸣的过程，使学生了解人类从数学的角度认识客观世界的过程，促进学生科学观的形成.
长期以来，由于对高中微积分定位不明晰，数学教师种种迷惑及自身问题，存在形式化倾向过于严重、理论色彩较浓而实际应用不足、教学手段和模式单一等问题. 比如，美国的微积分教学强调发展学生思维，重视概念理解，形成“4项原则”（The Rule of Four）的微积分概念教学模式，即图象、数值、符号、语言四种形式描述概念、公式和命题等，具有现实性，值得借鉴与推广.
3. 倡导开放题型，导数考核形式多样化
导数以函数为基础，但新课程中呈现函数多用列表法，图象法用得较少. 研究函数离不开图象，有的学生要借助于图象来理解导数，是否补充函数的图象，数形结合，增强学生认知的渠道？对于抽象的极限思想、导数概念，是否尝试用自然的描述性语言，也包括形式化的数学语言去概括、解释？比如，美国杜克大学的CALC（Calculus as a Laboratory Course）项目从一开始就强调书面报告或口头表达，帮助学生概念学习，便于教师观察和测试，成效斐然. 国内高中教育过于看重分数和升学率，评价方式不科学，评价标准较单一的现象相当严重，这种打破“一刀切”的评判标准无疑给我们良好的借鉴与启示.
（二）教师方面
1. 针对导数概念理解困惑，以多媒体技术作为导数教学的重要手段，强化概念生成过程
建构主义学习理论认为，学习不是一个被动的接受过程，而是一个主动的建构过程. 导数教学的极限思想（无限逼近、化曲为直）、数形结合思想等与多媒体技术嫁接，让学生身临其境，感受和体会切割线的运动过程，有条件的学校可让学生走进微机室，近距离“做”数学，重在探索数学现象，发现数学规律，相信学生们会收到意想不到的效果与灵感. 比如，美国普杜大学的“教学ACE循环模式”，其中A代表Activity，C代表Cooperation，E代表Exercise，每个教学单元都以学生上机活动为开端，在实验过程中，鼓励学生通过执行计算机任务，自己发现最重要的数学结论，这些任务都经过教师的精心设计，以促进学生数学概念的思维建构. 这在转变教师“主导”地位方面，有借鉴价值.
2. 从学生导数应用及建议方面看，重视同课异构教学，帮助学生构建概念体系
同课异构教学是国内建构主义代言人何克抗教授界定并积极倡导的一种教育理念，在有效地激发活泼课堂方面，具有现实意义. 导数教学也不例外，有关导数（微积分）应用，从小处讲，可求斜率、极（最）值、函数图象，解决函数单调性、恒成立问题、零点问题、面体积；从大处讲，能处理边际效用、需求收入弹性、规模报酬等金融经济问题，预测地震潮汐、人口变化、环境污染等人文社会领域，检测天体运转、航海航天、元素衰变等宏观微观世界. 理应澄清微积分的价值，大尺度地刻画其应用性，切实把“微积分是现代科学之基石”的功课向学生渗透扎实、讲述明白，从不同生活侧面诠释微积分在诸多领域应用的重要性.
实践证明，形成概念体系的知识结构，更便于学生记忆和掌握. 概念体系隐没在内容之中，分析者要通过自己的整理使之明朗化，帮助学生构建思维导图或概念群，促使学生认知结构的建立. 对于该模块，比如，和、差导→积、商导→幂、指导→复合函数导→复杂函数导；函数极最值或单调性或斜率→求导→比较大小→恒成立→不等式证明，等等，这样更容易增进课堂教学的趣味性.
3. “还原”并“解读”导数教材，注入生活元素，为学生“再创造”提供平台
注重与学生的经验结合在一起，使新知识、新概念的形成建立在学生现实生活的基础上，选择内容应切实反映学生生活经验，努力体现时代特点. 由于导数的工具性作用很强，教师不定期地搜集和整理贴近生活与概念、公式相关的泛化或发散型的辨析题、开放题等发放给学生，让他们自行猜想、讨论、鉴别与评价.旨在发现与感悟，而不仅仅是做对.
4. 充实和提高教师专业素养，尤其是导数相关知识方面
教师应当在课程观念、专业知识结构方面狠下工夫，尤其对于导数应用性及衔接性较强的科目，不再仅仅局限于“一桶水”与“一杯水”的关系. 讲明白是前提，针对该模块如何挖掘深层次内涵，打破形式化又不失严谨性，贴近生活开展导数教学等等，需要教师首先落实到自身知识储备上，才能肩负起导数教学的新的挑战.
（三）学生方面
导数作为初等数学之上的上层建筑部分，针对该模块的学习，教师应引导学生做如下的预习与温故：
首先，了解导数的文化价值及应用领域，从整体上把握它的“脉络”；
其次，了解微积分发明、发展及学术争鸣的历史，从细微处培养心向，树立信心；
再次，导数比较抽象，应借助多种渠道认识它，避免背概念套公式，倡导“做”、“用”，在“做”中强化记忆，在“用”中发现差距，提升驾驭知识，解决问题的能力；
最后，加强交流、讨论、反思、查阅与求证活动.
导数是高考文（理）科生必须正视的独立考点. 本调研针对学生具体疑问做出量化分析，在教材、教师、学生三方面，提出一些参考性的教学对策及建议. 新课标的导数教学研究在学术界和教育界并未完全达成共识，有人认为是急于求成，有人认为是水到渠成，其实如何把导数的工具性应用价值的理念自然地呈现到学生面前才是硬道理. 但是笔者在实际阅卷中看到，导数应用部分还是局限于“纯粹”数学问题，理论性、技巧性较强，而贴近生活的实用性不足. 如何把高考的选拔性与导数应用价值衔接起来，走出导数教、学、考误区，在吸取导数几进几出的教训和借鉴国外微积分成熟的教学经验的同时，探索适合中国特色的教育教学模式，依然是一项高校、一线教师、教育者共同肩负的不断革新、发展、完善的复杂工程.
