数学新课程标准下合情推理能力的培养

张兴明

【摘要】 合情推理能力是创造性思维能力的重要组成部分，数学教师应充分重视合情推理能力的培养，引导学生从多个角度形成推理能力，着重从数与代数、平面与空间、统计与概率方面来培养，从而培养和提升学生的创造性思维能力.

【关键词】 类比猜想；合情推理；推理能力

数学对发展推理能力的作用，人们早已认同并深信不疑.但是，长期以来数学教学注重采用“模式化”的教学发展学生的演绎推理能力，而忽视了合情推理，许多科学结论的发现却往往发端于对事物的观察、比较、归纳、类比、猜想……即通过合情推理得出猜想，然后再通过演绎推理证明猜想正确或错误.如哥德巴赫猜想、费尔马大定理、四色问题等的发现.其他学科的一些重大发现也是科学家通过合情推理、提出猜想、假说和假设，再经过演绎推理或实验得到的.如牛顿通过苹果落地而产生灵感，经过合情推理，提出万有引力的猜想，后来通过库仑的扭秤实验证实.海王星的发现更是合情推理的典范.

因而关注合情推理能力的培养有助于发展学生的创新精神.数学教学中学生合情推理能力的培养，可以通过空间与图形、数与代数、概率与统计、实践与综合应用等教学活动来培养.

一、在数与代数的领域中着重培养归纳推理能力

归纳推理的一般步骤是：先通过观察个别事物发现某些相同的性质，然后从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别事物越多，越具有代表性，那么推广的结论也就更可靠.

1.从数的运算到代数运算中培养归纳推理能力

“数与代数”中，计算要依据一定的规则——公式、法则、运算律等，因而计算中用推理即算理；用符号表示数量关系时，需要对数量之间的关系或变化的规律进行探索、分析、归纳和概括，即从具体的数开始，发现隐含在量与量之间的关系，并将这个关系用代数式、方程、不等式或函数表达式表示出来.在这个过程中，归纳推理显得格外重要.

例1 （1）计算并观察下列每组算式：

①9×9=8×10=②7×7=6×8=③13×13=12×14=

（2）已知25×25=625，那么24×26= .

（3）从上述过程，你发现了什么规律？你能用语言叙述这个规律吗？你能用代数式表示这个规律吗？

（4）你能证明自己得到的规律吗？

通过设计这样的教学过程，使学生从对具体算式的观察比较中，通过归纳推理提出猜想，进而用数学符号来表达：a×a=b，则（a-1）×（a+1）=b-1，然后用多项式乘法法则来证明猜想的正确性.

2.从数列通项公式的求法中培养特殊到一般的归纳推理

数列通项公式的求法中我们可以先根据关系写出数列的前n项，然后通过对这n项的观察、分析，发现它们的共性，从而大胆猜想出一般归律，即通项公式，再用完全归纳法加以证明，在这过程中着重体现了特殊到一般的归纳推理.

例2 在数列an，bn中，a1=2，b1=4，且an，bn ，an+1成等差数列，bn ，an+1，bn+1成等比数列，求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论.

解 由条件得2bn=an+ an+1，a2n+1=bn bn+1

由此可得a2=6，b2=9，a3=12，b3=16，a4=20，b4=25.

通过观察分析：a1=2=1×（1+1），a2=6=2×（2+1），a3=12=3×（3+1），b1=4=（1+1）2，b2=9=（2+1）2，b3=4=（3+1）2.

所以，由上面归纳可猜测：an=n×（n+1） bn=（n+1）2.然后再用数学归纳法证明猜测的正确性.

二、在平面与空间的领域中着重培养类比推理能力

类比推理就是先找出两类事物之间的相似性或一致性，然后用一类事物的性质推测另一类事物的性质得出一个明确的结论.类比的基础是观察，类比的关键是联想.由于类比是研究两类事物或两个问题的相似性为其推理基础的，而两类相似事物间可能存在某些差异性，故由类比联想所得的结论，有时是正确的，有时是不正确的.虽然类比的结论还需证明，但它却为我们指出了目标，提供了线索，建立了联系，使思维有了方向，有利于我们彻底解决问题.因此，类比不但具有或然性，更具有创造性，是数学发现的重要途径.

空间与平面的类比是一种降维或升维类比.即将空间图形的性质、结论与相应的平面图形的性质、结论进行类比，我们可以发现空间与平面相应图形的许多相似性质.

平面到空间的类比：平面到空间的类比是一种升维类比，长度类比为面积，面积类比为体积，点类比为线，线类比为面，面类比为空间.

空间到平面的类比：空间与平面的类比是一种降维类比.即将空间图形的性质、结论与相应的平面图形的性质、结论进行类比，我们可以发现空间与平面相应图形的许多相似性质.

三、在现实生活的统计与概率中着重培养统计推理

人们在日常生活中经常需要作出判断和推理，尤其是在进行统计工作和分析概率性（可行性）等问题时，都要进行统计推理，统计中的推理是合情推理，是一种是否可行性的推理，与其他推理不同的是，由统计推理得到的结论无法用演绎推理的方法去检验，只有靠生活实践来加以证实.

例如：为筹备毕业联欢晚会，准备什么样的节目才能最受欢迎？首先应由学生对全班同学喜欢什么样的节目进行调查，然后把调查所得到的结果整理成数据，并进行比较，再根据处理后的数据作出决策，确定应该准备什么节目.这个过程是合情推理，其结果只能使绝大多数同学满意.

许多游戏活动也隐含着推理的要求.所以，要进一步拓宽发展学生推理能力的渠道，使学生感受到生活、活动中有“学习”，养成善于观察、勤于思考的习惯.