找准化归方向探寻转化角度

张建葵　杨祖华

1.考题再现

（2013年高考文科数学安徽卷第18题）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°.已知PB=PD=2，PA=6.

（Ⅰ）证明：PC⊥BD；

（Ⅱ）若E为PA的中点，求三棱锥P-BCE的体积.

2.问题分析

本题第（Ⅱ）问是求三棱锥体积问题，求简单几何体的体积问题关键是能够将题设的特殊条件进行合理转化，求解出底面积和高，进而得出几何体的体积.高考考查的重点就在于找高，对文科生来讲解决这一问的难点也在于找高，其关键是选择易寻求高的底面，利用线面垂直的判定找高.而第（Ⅰ）问的证明为第（Ⅱ）问找高做了很好的铺垫，教师在引导学生找准此问化归方向的同时，鼓励学生大胆探寻此问转化的角度，充分发挥化归转化思想解决立几的作用，进而得出此问的解决方法.

3.解法研究

思路一利用等积法转化顶点求体积，由第（Ⅰ）问知BD⊥面PAC，所以由点P转化为点B求体积.

解法一（等积转化法）

由（Ⅰ）知BD⊥面PAC，

所以BO是点B到面PEC的距离.

∵AB=AD=CB=CD=2，∠BAD=60°，

∴BD=2BO=2，AC=2AO=23.

又∵PB=PD=2，

∴PO=3，又PA=6，

∴PO2+AO2=PA2.即PO⊥AC.

∴S△PAC=12PO·AC=12×3×23=3.

∴S△PEC=12S△PAC=32.

∴VP-BCE=VB-PEC=13·S△PEC·BO=13×32×1=12.

思路二利用等高法转化顶点求体积，有条件知E为PA的中点，则点P，A到平面BCE的距离相等，从而由点P转化为点A求体积，再利用等积法转化，由点A转化为点E求体积.

解法二（等高转化法）

由条件得：

S△ABC=S△ABD

=12BD·AO=12×2×3=3，PO=3，

∴VP-BCE=VA-BCE

=VE-ABC=13·S△ABC·12PO=13×3×12×3=12.

思路三利用割补法转化求体积，由第（Ⅰ）问知PO⊥面ABC，所以三棱锥P-BCE的体积转化为三棱锥P-ABC的体积减去三棱锥E-ABC的体积.

解法三（割补转化法）

由条件得：