不定积分I=∫1[]（a+b玸in玿）琻玠玿（a，b≠0）解法和探讨

朱萍萍　李双东

【基金项目】安徽大学江淮学院院级教研项目，编号2013JY0002.

【摘要】不定积分的计算方法与技巧是高等数学中的重要内容之一，针对一道三角函数有理分式不定积分习题，进行分类讨论，研究该问题在特殊和一般情形下的积分技巧与方法，给出

相应的积分公式，并举例加以说明.

【关键词】高等数学；不定积分；三角函数；分类讨论

【中图类分号】O13【文献标识码】A

引言

在多年高等数学教学中发现，三角函数有理分式不定积分的计算方法和技巧是

学生比较难掌握的内容之一，主要是因为三角函数有理分式的积分计算方法与技巧

丰富多彩，学生面对问题时经常不知道具体用什么方法，所以不断分类总结有理分

式不定积分的方法是必要的.本文针对一道例题对其进行分类讨论给出两种情形

下解决相应类型积分的问题.

该题如下：计算不定积分I=∫1[]（a+bsinx）ndx（a，b≠0）.

1.问题探讨

对上述问题，须得分类讨论两种情形分别计算积分，这也充分体现了积分的计算

技巧.

情形一n=1时，该积分形式为I=∫1[]a+bsinxdx（a，b≠0）

.令tanx[]2=t，sinx=2t[]1+t2，则原式I=∫1[]a+b2t[]1+t2·2[]1+t2dt=1[]a∫2[]t+b[]a2+a2-b2[]a2dt.

（Ⅰ）若a2-b2=0，则上式转化为I=1[]a∫2[]t+b[]a2dt=-2[]at+b+C=-2[]atanx[]2+b+C.（1）