初中数学教学中数形结合思想的价值体现

吴峰

【摘要】 数学源于生活，其研究对象为数量、空间，抽象、逻辑是数学的本质特征. 将数学问题中数量的关系转为图形信息与数量间的关系，此为初中数学教学中常用思维策略，把抽象同形象的思维结合，对图形处理 ，实现抽象与具象的转化，化难为易. 形中觅数，数上构形，但它们并非彼此独立的. 我们要培养学生逐步建立数形结合思想，以提高解决问题的能力. 作者据多年的数学教学经验，谈谈初中数学教学中数形结合思想的价值体现问题.

【关键词】 数形结合；解题；教学；直观

一、数形结合思想的价值体现

1. 提高解题能力

对于数形结合思想的运用而言，其教学目的在于将相对抽象的数学知识与图形相结合，实现形象思维与抽象思维的转换，使数学问题得到简化，使数学解题的灵活性增加. 如在解决初中数学中的代数问题时，以图形作为辅助解题手段，能有效启发学生的形象思维，使学生找到解决问题的最优方法；在处理几何问题时，以代数知识为解题依据，同样也能使解题的难度降低. 对于初中数学教材内容而言，“数”的表现形式多为不等式、函数、实数等内容，“形”所表示的内容主要包括角、三角形、多边形、抛物线、圆等内容. 二次函数作为初中数学教学的重要内容，也是数形结合思想的价值体现之一. 因此，在二次函数等相关内容的教学过程中，老师重视借助数形结合思想来开展教学工作，以此使得学生的形象、抽象思维得以转化，使学生的灵活解题能力得到提升.

2. 提升教学效率

数形结合思想作为一种非常重要的教学方式，对提升初中数学教学效率发挥着非常重要的作用. 在初中数学教学过程中，教师应传授给学生“借数解形”与“借形助数”的思考方法，由此引导学生真正地掌握复杂数学问题的解决方法，令教学的效率亦能得以真正的提升. 在与数形结合相关的开放性习题的解题过程中，已知信息常常含有答案不是单独的因子. 这对老师来说，在问题的讲解过程里，须重视与学生已经学习过的知识点相结合，凭借数形结合的思维模式由不相同的角度对题进行分析思考，以此提升学生们的发散思维能力. 譬如在解答行程的相关问题时，老师须据已知信息，引导学生一步一步将线段图画出来，且据图形将所对应的方程式列出来，以此使学生的解题能力得到提升，改善课堂的教学效率.

二、数形结合思想的引入、展开与升华

在中学阶段的数学教学过程中，引入数轴即是数形结合的一个良好开头，整数都有各自的确切位置，且令相反数与绝对值等概念得以具体化，也使有理数的大小比较更明晰，到学无理数后便得出实数同数轴上的点为一一对应关系，既渗透了一一对应的思想，又为今后的函数学习奠定了一定的基础，而利用数轴表示一元一次不等式和一元一次不等式组的解集，则更能体现出数形结合的优越性.

列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系列方程，要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图. 这里隐含着数形结合的思想方法，例如：教材中的行程问题、追击问题、劳动力调配问题、工程问题、浓度问题，教学中教师必须渗透数形结合的思想方法，依据题意画出相应的示意图，才能帮助学生迅速找到等量关系列出方程，从而突破难点 .

数形结合思想在函数这一章得以升华，第一次让学生真正觉得数与形的不可分离，体现的一个重要方面是函数的图像. 函数的图像是平面上满足函数关系式的所有点的集合，由函数的图像来研究函数的特征，就更具体、更直观、更明了. 一方面，利用函数图像来研究函数的特征，另一方面，一个图形也反应了量与量之间的相互变化的关系. 在“解直角三角形”一章中，从三角函数概念的引入到推导三角形的解法和应用，无一不体现了数形结合的思想方法. 在解直角三角形的问题时，常借助图形的直观性确定已知元素、未知元素，并发现其关系，使问题得到顺利解决，这是对数形结合思想的一种升华 .

三、数形结合思想的具体应用

在初中代数的“统计初步”这一章中，一组数据反映在坐标平面上就是一群离散点. 研究一组数据的集中趋势（平均数、众数与中位数），相当于考察这群离散点的分布状态，而研究一组数据的波动大小（方差、标准差），就相当于考察坐标平面上这群离散点的分布规律. 这里融入了数形结合的思想方法，教学中老师如果注意到了这一数形结合思想方法，可令学生对平均数、众数、中位数、方差、标准差等概念加深理解. 应用数形结合的思想方法可以解二元一次方程，充分把方程、 函数及图像结合起来，使得二元一次方程的解可以用图像法解，而且用数形结合的方法可以使学生对二元一次方程的解有一个很好地理解. 在有关圆的一章内容中，数形结合思想的应用比较多，譬如借助数量关系来解决图形的问题，尤其突出的是点、直线、圆同圆的位置关系 .

在初中阶段，数形结合思想主要体现在数轴的应用、二元一次方程的图像解法、函数、统计初步、三角函数和圆等，它们的教学体现了数形结合思想的引入、展开和升华. 下面我就初中数学中如何应用数形结合的思想方法，以例题的形式谈谈个人的体会.

1. 提高问题分析与解决的能力

在数形结合思想的具体应用过程中，应让学生了解到，对于数形结合思想的应用就是找准数与形的契合点，针对具体问题的属性，巧妙地将数与形结合起来，这也是解决初中数学问题的关键所在.

分析 对于初中生来说，还未接触到等比数列，若让他们直接计算，难度会比较大. 在该问题的解决过程中便可以引入数形结合思想，并设计出如图1所示的图. 将边长为1的正方形进行逐次平分，能分别得出每项值，于是可以得出1减去2的n次方分之一的差.

由这个例子可以看出，在初中数学教学过程中对数形结合思想的运用能使问题变得非常形象、直观，解题思路也会变得非常清晰. 同时，对于数形结合解题思想的运用能有效提升学生的学习积极性，从而强化学生数学学习的自主参与与自主探究.

2. 拓展数形结合的教学空间

数形结合思想作为一种非常重要的数学思想，在初中数学解题过程中发挥着非常重要的作用. 在日常的学习过程中，学生已经对图形有了一定的认识，而教师便可以利用学生的这些基础知识来将数学学习中的知识与生活中的形与数联系起来，在具体教学过程中运用数形结合思想，以达到拓展数学教学空间的目的.

例2 解二元一次方程组：x - y = 1，2x + y = 2.

解答此题，可以运用函数图像的方法，由第一个方程可知函数图像y = x - 1，由第二个方程可以得到其图像y = -2x + 2（如图2 ）.

这个步骤使得求方程组的解的问题被转化为求两直线交点值，点P（1，0） 即为解.

针对此问题来说，数形结合思想在以教材知识点作切入点进行渗透有着充分的体现，且有效地转化了数形结合的问题，有效地提升了学生的认识层面，由此对学生的数学思维空间给予极大地拓展，也使初中阶段的数学教学过程不再枯燥. 3. 数形结合攻破教学难点

上面已提及，针对初中阶段的数学课程来说，二次函数乃是重难点. 此部分的内容，于教学的过程里，须对引入数形结合思想给予重视，由此使得题目的难度有所降低，使学生的学习效率亦有所提高.

例3 已知方程x2 - 2px + 10 = 0存在两个实数根，一个实数根大于1，另一个实数根小于1，请求p的取值范围.

分析 据一元二次方程与二次函数的关系可以知到，函数的两个解其实也就是方程（如图 3）同x轴的交点横坐标. 因为其中一个实数根大于1，另一个实数根是小于1的，由此可得一元二次方程同x轴的相交点，一个是在1的左边，而另一个是在1的右边，而且函数的开口是向上的. 故此，当n为1的时候，y小于0，也就是说12 - 2p + 10 < 0， 可得到p > 5.5.

此题是不等式与方程相关的问题，要解答此类问题就须对数形结合思想重视，由此达到抽象、形象思维二者有机结合的目的，以揭示隐藏于问题内部所含的信息，这样让问题更加明晰简单，解题过程得以优化，另外也让学生们相应地发展了自身的数学思维.

四、结束语

任何事物都有数形两方面，数、形结合存在于生活的各方面，它直接源于对数学本质的认识，也就是数学研究对象是来源于现实世界的形式与数量间的关系. 既然如此，数形结合的思想也就自然成为了研究事物的一种重要的数学思想，而且可以凭借数形结合这一数学思想方法去解决更多在理论中及现实生活里的问题. 故此，此思想在数学与其他各门学科中有着很广泛的运用. 针对初中数学来说，能不能持之以恒地遵循此思想即是数学教学是否成熟的评判关键原则. 除此之外，数形结合思想的学习与渗透，也令学生为日后的继续深入学习做好了充分的准备工作. 数形结合思想乃是一种很重要的数学学习思想，对于初中阶段的数学教学工作起着很重要的作用. 经过对此思想的适度应用，就得以达成数与形二者的优势互补，如此使得颇多复杂性问题变得明了清晰. 在日后的初中阶段数学教学过程中，应该给予此教学方法进行持续地完善、创新等工作，以此达到对学生的综合数学素养提升的目的.

【参考文献】

[1]唐道国.巧用数形结合思想解高考题[J].高中生，2009（10）.

[2]张连延.谈数形结合思想在解题过程中的巧用[J].教育革新，2007（10）.