浅谈数学归纳法的本质

艾华升

摘 要：数学归纳法的理解和运用，历来是高中数学教学的一个难点，各种不同的教学设计，在具体实施的过程中，都存在这样那样的困惑，究其原因，是我们对数学归纳法的本质理解存在偏差. 数学归纳法的本质是抽象概括. 在这样一种认识的基础上，数学归纳法将不再存在理解困难的问题.

关键词：数学归纳法；理解；表征；数学史；抽象概括；教学设计

E.Fischbein和I.Engel在《理解数学归纳法原理的心理困难》一文指出：即使学生掌握了运用数学归纳法证明数学问题，仍有可能对数学归纳法的原理不理解. 具体来说说，也就是对“假设当n=k时，命题成立”的理由不明白. 该文的发表，引起了数学教育界对数学归纳法教学的关注.

陈雪梅、王梅在《关注教学法表征的数学归纳法教学设计》一文中，对该教学内容与教学目标进行了详细的分析，并试图解决学生在数学归纳法学习中的理解困难；王科、汪晓勤在《基于NPM视角和DNR系统的数学归纳法教学设计》一文中，重构数学归纳法的历史演化过程，让学生经历这一过程，以达到让学生理解数学归纳法本质的目的.

笔者在教学实践中发现，按照《关注教学法表征的数学归纳法教学设计》、《基于NPM视角和DNR系统的数学归纳法教学设计》的教学设计实施教学，面临着很多困惑.为了让学生更好地理解数学归纳法，关键是教师要理解到：数学归纳法本质的思维形式不是归纳，而是抽象概括.

《关注教学法表征的数学归纳法教学设计》的教学设计评析

下面引用《关注教学法表征的数学归纳法教学设计》的教学设计：

问题1：我们前面学习了数列，已知数列{an}的第1项a1=1，且an+1=，n∈N+，请大家思考，an的通项公式是什么？

问题2：an=？你是怎样发现这个规律的？

评析：在实际教学中，如果提出上面两个问题，学生会很快回答：因为an+1=，n∈N+，所以=+1. 因为数列是以1为首项，以1为公比的等差数列，所以=n，得an=.

至此，预定教学过程无法进行下去.

再看《关注教学法表征的数学归纳法教学设计》中另一段教学设计：

问题4：刚才我们根据几个特例得出猜想，你如何证明a2=？如何证明a3=？如何证明a4=？它们有类似的过程吗？如果要验证a9=是否成立，你怎么做呢？

预设：

第一步，a1=1成立；

第二步，把a1=1代入a2=，得a2=，命题对n=2成立；

第三步，把a2=代入a3=，得a3=，命题对n=3成立；

第四步，把a3=代入a4=，得a4=，命题对n=4成立；

…

第九步，把a8=代入a9=，得a9=，命题对n=9成立.

问题5：在上述验证过程中，你认为相同或类似的结构是什么？

问题6：你能否尝试描述这些规律呢？

问题7：怎样证明命题an=（n∈N+）对所有自然数都成立呢？

预设：

第一步，当n=1时，命题成立；

第二步，对任意自然数k，如果当n=k时命题成立，一定可以推出n=k+1时命题成立.

评析：笔者观察到，学生在求a9的过程中，都是依次先求a5，a6，a7，a8的，没有人敢跳过求a5，a6，a7，而这直接设a8=.

通过上述分析，学生能明白“如果当n=k时命题成立，一定可以推出n=k+1时命题成立”，但应用到证题过程中，他们还是不能理解“假设n=k时命题成立”的理由，因为这是没证明的.

《基于NPM视角和DNR系统的数学归纳法教学设计》的教学设计评析

《基于NPM视角和DNR系统的数学归纳法教学设计》的教学设计按照2课时来安排，首先列举了识别假币问题、L型棋盘覆盖问题、设置梵天塔问题、证明斐波纳契数列中的整除问题、平面被直线分割问题. 作者设置这些问题的目的，是“吸引学生兴趣，激发学习动机，使学生在解决问题的过程中产生智力需求”.

不知道作者的意思是让教师一道一道分析上面的问题，先行解决这些问题，还是仅仅介绍一下这几个问题. 如果是先行解决这些问题，这其中用到的数学归纳法，教师怎样教给学生的呢？如果仅仅是介绍这些问题，学生可能真的兴趣浓厚，但课堂上学生的思维总停留在这几个问题的欣赏上，无助于学生理解和掌握数学归纳法.

《基于NPM视角和DNR系统的数学归纳法教学设计》列举了三道题给学生练习：

10. 证明：当n≥1时，3（n3+2n）.

11. 证明：当自然数n≥4时，2n

12. 证明：当自然数n≥1时，+++…+=.

评析：把上面的第12题交给学生，不会有人用数学归纳法证明，因为用裂项相抵法解答很简单. 解答第10题、第11题正是要用到本课新学的数学归纳法.然而，作者是怎样以这两题为出发点教给学生数学归纳法的？文中不见阐述. 不至于说弄懂了数学归纳法的历史演变，或者说对数学归纳法有了兴趣就自然而然地掌握了数学归纳法吧！

抽象概括是数学归纳法的本质

新课的引入例太易或太难都是不可取的， 《关注教学法表征的数学归纳法教学设计》的引入例不需要数学归纳法就能求解，不可取；《基于NPM视角和DNR系统的数学归纳法教学设计》的引入例（识别假币问题或整除问题）因太难同样不可取.提出问题后，接着是探究解决问题的办法，在探究的过程中要达到揭示知识本质的目的. 下面是本人的一个教学设计.

题1 已知n∈N+且2≤n≤6，求证：12+22+…+n2=.

课堂上大多数学生的做法是：

当n=2时，左边=12+22=5，右边==5. 因为左边=右边，所以等式成立；

当n=3时，左边=12+22+32=14，右边==14. 因为左边=右边，所以等式成立；

当n=4时，左边=12+22+32+42=30，右边==30. 因为左边=右边，所以等式成立；

当n=5时，左边=12+22+32+42+52=55，右边==55. 因为左边=右边，所以等式成立；

当n=6时，左边=12+22+32+42+52+62=91，右边==91. 因为左边=右边，所以等式成立.

设计意图：让学生体会到，有关自然数的命题，原本是要依据自然数取不同的值，一式一式证明的.

题2？摇 已知n∈N+且7≤n≤30，求证：12+22+…+n2=.

笔者请科代表分配任务，全班合作完成上述公式的证明.

学生甲证明n=10时等式成立，他写道：

左边=12+22+…+102=285+102=385，右边==385.

教师：“你这里用到了12+22+…+92=285，你计算过吗？”

学生：“我没有计算，但同学乙计算过了”.

设计意图：明确证明过的结论是可以运用的，体现了小组合作在课堂教学中的作用.

接着教师指出：“其实，你是在已知‘n=9时，等式成立的前提下，证明了‘n=10时，等式也成立. 同学们都是这样想的吗？”

教师发现，学生都是这样做的.

问题3：已知n∈N+且1≤n≤30，求证12+22+…+n2=.

当教师提出这个问题后，学生感叹：刚才全班同学做过的，现在叫我一个完成，是不是太为难人了！

我们知道，运用归纳法得到的结论是不可靠的. 例如，数列{an}中，an=（n2-5n+5）2. 计算得知，a1=a2=a3=a4=1，但并不能得出an=1（n∈N*），因而也无意用归纳法得到什么结论. 但是，我们还是希望从全班学生的“工作”中，抽象概括出一般性的“工作方法”. 慢慢地，学生领悟到：除了证“n取较小的正整数时，等式成立”外，后面的等式可以用“已知n=k时等式成立的前提下，通过证明n=k+1时等式也成立”来概括. 按学生的说法，在认定班上已有同学证明了12+22+…+k2=的基础上，笔者进一步推导：12+22+…+k2+（k+1）2=+（k+1）2==，这就完成了证明.

设计意图：让学生经历从特殊到一般的思维过程，学会运用“抽象概括”这一思维形式. 抽象概括正是数学归纳法的本质.

到此，教师可以顺势推出下题，完成数学归纳法的形式化表述.

问题4：已知n∈N+，求证：12+22+…+n2=.

设计意图：让学生掌握数学归纳法证等式的格式及用词.

为帮助学生更好地掌握数学归纳法证明等式，可以安排下面两道练习让学生尝试解答.

练习1？摇 用数学归纳法证明：当n∈N*时，1×4+2×7+…+n（3n+1）=n（n+1）2.

练习2 用数学归纳法证明：当n∈N*时，-1+3-5+…+（-1）n（2n-1）=（-1）nn.

设计意图：体验新知应用，提高解决问题的能力，突破等式变形难点.

小专题教学法

本人承担广东省教育科研第十二五规划课题《高中数学小专题教学法》. 我们认为，一节课应该是一个专题，一切教学活动要围绕这个专题来进行.作为数学归纳法的起始课，第一课时的教学目的一是理解数学归纳法原理；二是掌握数学归纳法的形式化表达. 情境的引入要为实现教学目的服务，情境不但要引起学生对新知识的兴趣，更重要的是促进学生对数学问题的理解. 这就是本文以“已知n∈N+且2≤n≤6，求证：12+22+…+n2=”作为新授课引入例的原因. 对数学史的过度渲染，无助于学生对数学归纳法的理解，客观上还分散学生对数学问题本身的关注.这些知识只能作为课外讲座的素材.

我们也注意到，很多的教学设计安排了整除问题、几何问题及不等式的数学归纳法证明. 无疑，新旧知识的结合有利于知识的同化，但是作为新授课的第一课时，新、旧知识的跨度不能过大. 否则，这些知识会喧宾夺主，影响学生对新识的关注和理解，而前述练习1和练习2就有利于学生理解数学归纳法，有利于学生掌握数学归纳法的表达形式的.