平面图形中的最短路径

胡健

【摘要】 “两点之间，线段最短”；“直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短”. 解题时可先考察点或线段的特殊位置和极端位置，从而确定最小值的具体数值，再进行一般情形下的推理论证. 在解题中充分利用图形的翻折变换、平移变换和旋转变换，化曲为直，使分散的条件加以集中，为性质的运用创造条件，从而达到解决问题的目的.

【关键词】 距离；最短距离；对称点；特殊图形；化曲为直

在初中数学课本中，我们学过了两个最短距离的公理. 一是两点之间，线段最短；另一个是直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短. 所谓最短路径是指当平面图形的某些几何元素（如点或线段），在一定条件下运动时，与此相关的某些几何量（如线段长、周长）的大小在某个范围内有规律地变化，而这个变化会存在最小值.

解决这类题的基本方法是：先考察点或线段的特殊位置和极端位置，从而确定最小值的具体数值，再进行一般情形下的推理论证. 下面，我们就以具体的例子来说明解决这类题的方法与规律.

例1 在直角梯形ABCD中，∠ABC = 90°，AD∥BC，AD = 4，AB = 5，BC = 6，点P是AB上一个动点. 当PC + PD的和最小时，PB的长为（ ）.

A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3

分析 此题首先要确定P点的位置，可以延长CB（或DA）至一倍，即CB = BM，再连接MD交AB于P（大家可以思考一下P点的正确性与合理性——可运用两点之间，线段最短这一性质）. 我们可以通过△MPB∽△DPA，从而求出PB的长. 故选D.

总结 已知两定点与一直线，欲在直线上取一点，使该点到两定点的距离和最小. 这题可分两类：一类是当两点在该直线的两侧时，可连接这两点，则连线与该直线的交点，即是所要求的点，根据是两点之间，线段最短. 当两点在该直线的同侧时，可先找任一定点关于该直线的对称点，再连接对称点与另一定点，其连接线与该直线的交点就是要求的点. 同样，我们也可以用上述依据加以说明.

例2 如图2，△ABC中，AB = AC = 13，BC = 10，AD是BC边上的中线，F为AD上的动点，E为AC边上的动点，则CF + EF的最小值为_______.

分析 显然，这一题需要确定两个动点E和F，那么，怎样确定这两个点呢？我们可以过点B作BE⊥AC交AD于F，从而确定了E和F点（大家可以用从直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短来加以说明）. 此时，CF + EF = BE，用S△ABC = AD·BC = BE·AC构造方程，求出BE = ，即CF + EF的最小值为 .

总结 本题可理解为特殊图形的最短距离问题，看似两个动点难以把握，但我们只要考虑其特殊的位置，就不难想到这条特殊的线了. 此题中，点C到AD上任意一点O的距离总是等于B点到点O的距离，而O到AC的最短距离是点O到AC的垂线段的长度，当这两线段成一条线段时，便是最短的距离了，从而得出BE就是最短的距离.

例3 如图3，已知平面直角坐标系中，A（2，-3），B（4，-1）.

（1）若C，D是x轴上的两个动点，且D（a，0），CD = 3，当四边形ABCD的周长最短时，求a的值.

（2）设M，N分别为x轴、y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）和N（0，n），使得四边形ABMN的周长最短？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.

分析 （1）如图3，过A点作x轴的平行线，并截取AA1 = 3，画A1关于x轴的对称点A2，连接A2B交x轴于点C，再在x轴上截取CD = 3，可得周长最短的四边形ABCD（大家也可以利用两点之间，线段最短，来证明最短周长的正确性）. 由题意可知，A2（5，3），设A2B的直线解析式为y=k2x + b2，将A2（5，3），B（4，-1）代入，得5k2 + b2 = 3，4k2 + b2 = -1，解之得k2 = 4，b2 = -17，即y = 4x - 17，当y = 0时，x = ，a = - 3 = .

（2）如图4，我们可以先分别找出A，B关于y轴和x轴的对称点A1和B1，再连接A1B1，分别交x轴和y轴于M与N，此时，四边形ABMN的周长是最短的（同样，可以用两点之间，线段最短来加以证明）. 设A1B1的直线解析式为y = k3x + b3，将A1（-2，-3），B1（4，1）代入，得4k3 + b3 = 1，-2k3 + b3 = -3，解得k3 = ，b3 = - ，即y = x - .

当x = 0时，y = - ，当y = 0时，x = .

所以，m，n的值分别为 ，- .

总结 此题的两个问题分别是两种最短距离的问题，第一小题是在直线上取一条定线段使得两端点与直线同侧的两定点构成的四边形周长最短，这类题可转化为求这个四边形的一组变化对边的和的最小值，可通过平行四边形的对边相等进行线段的平移，再利用对称性，找出变化两边和的最小值，从而得周长最小的四边形；第二小题是在角的两条边上各找一点，使得其与该角内的两个定点所构成的四边形的周长最小. 此题的思路是如何使变化的三条边的和最小，我们只需要将变化的三条边能组成一条线段，便可利用“两点之间线段最短”得出结论.

总之，在解题中充分利用图形的翻折变换、平移变换和旋转变换，化曲为直，使分散的条件加以集中，为性质的运用创造条件，从而达到解决问题的目的.