分数应用题教学中数学思想方法的渗透

段轶

数学思想方法是数学的精髓和灵魂，它作为数学学科的“一般原理”，在数学学习中是至关重要的。《数学课程标准》在总体目标中提出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想和必要的应用技能”。

分数应用题教学是小学数学的一个重要组成部分，对学生数学思想方法的获得和掌握具有重要的意义。在分数应用题教学中，我结合有关内容，向学生渗透对应、转化、假设、代数等数学思想方法，以帮助学生获得充分的可持续的发展。

一、对应思想

对应思想在分数应用题中体现得尤为明显。分数应用题的对应主要表现为是“量”与“率”的对应和“图”与“式”的对应等。分数应用题中，每一个数量对于一个确定的标准（单位“1”的量）而言，都有一个对应的分率（即相对数量），每一个分率都对应一个具体的数量。量率对应，寻找对应关系，某种程度上就成了解答分数应用题的关键。教学中通常可以通过“一题多问”、“一题多变”等方式，促使学生寻找对应关系，渗透对应思想。

1、一题多问

例1：某工程队三天修完一条1200米长的路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，_____________________？

①第一天修了多少米？

②第二天修了多少米？

③第三天修了多少米？

④第一天比第二天多修了多少米？

⑤前两天共修了多少米？

⑥后两天修了多少米？

⑦第三天比第二天多修了多少米？

……

一题多问，是根据相同的条件解答不同的问题；反过来，也可以根据不同的条件解答同样的问题。

2、一题多变

例2：某工程队三天修完一条路，第一天修了全长的，第二天修了全长的，_______________________，这条路全长多少米？

①第一天修了400米；

②第二天修了300米；

③第三天修了500米；

④第一天比第二天多修了100米；

⑤前两天共修了700米；

⑥后两天修了800米；

⑦第三天比第二天多修了200米；

……

像这样经常的进行“一题多问”、“一题多变”的训练，学生在解答分数应用题的过程中，积极主动地“以量找率”或“以率找量”，以不变（量率对应）应万变，领悟并体味其不变的对应关系。通过这样的练习，便于学生掌握解题规律，在实践中感悟并逐步形成对应的思想方法。

二、假设思想

对于稍复杂的分数应用题，应用“假设法”可以化繁为简，化难为易，在解决问题的过程中，让学生逐步领悟假设的思想方法。

例3：一项工程，甲独做20天完成，乙独做30天完成，两人合作，甲中途因故请假了5天，前后共用了多少天完成任務？

分析与解：如果甲不请假，那么同样的时间，两人合作完成的工作总量是（1+ ×5），因此，完成任务的天数为：（1+ ×5）÷（ + ）=15（天）。

例4：一根电线第一次截去 少5米，第二次截去 多2米，还剩53米，这根电线原长多少米？

分析与解：假设第一次多截5米，即正好截去全长的；第二次少截2米，即正好截去全长的；那么剩下的长度为（53-5+2）米，正好是全长的（1- - ）。因此，这根电线原长为（53-5+2）÷（1- - ）=120（米）。

例5：某校有学生600人，在“冬季三项”锻炼中，全校有 的女生和 的男生获得“优秀”等级，获得“优秀”等级的学生共有134人，这个学校的男、女生各多少人？

分析与解：如果获得“优秀”等级的男、生人数，都是各自总人数的，则获得“优秀”等级的男、女生的总人数应是全校总人数的，有（600× ）人，这比实际获得“优秀”等级的人数少了（134-600× ）人。原因在于，我们把获得 “优秀”等级的女生人数少算了（ - ）。因此，这个学校的女生人数是：（134-600× ）÷（ - ）=280（人），男生人数是：600-（134-600× ）÷（ - ）=320（人）。

三、化归思想

“化归”是常用的一种数学思想方法，把异分母分数转化成同分母分数再加减，把分数除法转化为分数乘法来计算，把平行四边形割拼成长方形计算其面积……分数应用题中的化归，主要是题型的转化和分率的转化，也即单位“1”的变换和数量关系的变换。

1、单位“1”的统一和变换

例6：一本书第一天读了全书的，第二天读了余下的，第二天比第一天多读了30页，这本书共多少页？

分析与解：第一天读了全书的，第二天读了余下的，即相当下全书的（1- ）的，因此，第二天读的页数是全书的（1- ）× 。全书的总页数是：30÷[（1- ）× - ]=360（页）。

例7：一个车间男职工占总人数的，因支援另一车间，调走男职工33人，这时男职工占全车间总人数的，这个车间现有女职工多少人？

分析与解：因男职工的调动，使车间的总人数与男职工人数均发生变化，而女职工人数不变。因此，可以把女职工人数作为单位“1”，调动前男职工人数占女职工人数的，调动后男职工人数占女职工人数的，调走的男职工33人，相当于女职工人数的（ - ）。女职工人数为：33÷（ - ）=33× =105（人）。

2、题型的转换

例8：某种商品现价120元，比原价降低了，原价多少元？

分析与解：一般解法：120÷（1- ）=150（元）。

还可以沟通新旧知识的联系，挖掘数量关系，变换题型：

（1）根据“比原价降低了”，可知原价平均分成了5份，降低了1份，现价是（5-1）份，因此，原价是：120÷（5-1）×5=150（元）。

（2）根据“比原价降低了”，可知原价平均分成了5份，降低了1份，原价是现价的，因此转化数量关系，根据“原价是现价的”，可以这样解答：120× =150（元）。

这里，（1）是在平均分的基础上，把分数应用题转化为归一应用题；（2）是通过数量关系的转换，把分数除法应用题转化为分数乘法应用题。

四、代数思想

分数乘、除法应用题，特别是稍复杂的分数乘、除法应用题，数量之间的关系比较复杂，利用代数方法，把未知当已知，可简化数量之间的关系，常能化难为易。在教学过程中，教师要有意识地引导学生，自觉利用代数方法解答分数应用题，在解决问题的过程中，巩固代数方法，体会、感悟并逐步形成代数思想。

例9：甲、乙两班共有学生90人，甲班人数的 与乙班人数的 相等，甲、乙两班各有学生多少人？

分析与解：这道题的数量关系不十分明了，甲、乙两班之间及各班与两班总数之间的关系不十分明确，适合于用代数方法解答。

解：设甲班有学生x人，乙班有（90-x）人。

例10：學校食堂原有一批大米，吃去 后，又买来220千克，这时库存大米比原来多了 ，原来库存大米多少千克？

分析与解：根据：原有的千克数-吃去的千克数+又买来的千克数=现有的千克数

解：设原来库存大米x千克。

数学思想方法作为一种重要的程序性知识，只有在实际的操作、运用的过程中才能逐步地领悟、把握。因此在分数应用题教学中，数学思想方法的渗透：一要创设问题情境、精心设计练习，进行针对性的训练。包括进行一些联想、转化、改编、根据关键句画线段图、根据线段图列式等基本训练。让学生在熟练掌握各种解题方法的基础上，逐步领悟其中蕴含的数学思想方法。二要注重过程，引导反思。既要注重解题的结果，更要注重对解题过程中所使用的方法、策略的回顾与反思，从具体的解决问题的过程中，领悟到其内在统摄全局的数学思想方法。三要善于总结，提炼升华。教师要善于引导学生，从已有的生活和数学活动的经验出发，从众多不同的具体的解决问题的过程中，发掘其方法、策略上的共同之处，善于广泛联系，异中求同，感悟其中共同的数学思想方法，实现从具体到一般、从现象到本质，从感性到理性的升华。