直线、平面垂直的判定与性质

郑灿基

重点难点

本部分内容包括线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定与性质.

重点：（1）理解线面垂直的定义，掌握线面垂直的判定定理和性质定理，掌握面面垂直的判定定理和性质定理;（2）能运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.

难点：掌握线线垂直、线面垂直和面面垂直这三种垂直关系的相互转化.

方法突破

一、一种关系——垂直问题的转化关系

垂直关系证明的基本思想是转化，即由线线垂直得线面垂直（线面垂直的判定定理），由线面垂直得面面垂直（面面垂直的判定定理），而由面面垂直得线面垂直（面面垂直的性质定理），由线面垂直得线线垂直（线面垂直的定义）. 垂直关系的证明就是在这些性质定理和判定定理的使用中，将各种垂直关系不断进行转化.在处理实际问题的过程中，我们常常需要先从题设条件入手，明确已有的垂直关系，再从结论分析待证的垂直条件，从而搭建起已知与未知之间的“桥梁”.

二、三类证法

1. 证明线线垂直的方法

（1）定义：两条直线所成的角为90°.

（2）平面幾何中证明线线垂直的方法：如勾股定理、三角形全等、直线斜率的乘积为-1等.

（3）线面垂直的性质：a⊥α，b α a⊥b.

（4）线面垂直的性质：a⊥α，b∥α a⊥b.

2. 证明线面垂直的方法

（1）定义：a与α内任何直线都垂直 a⊥α.

（2）线面垂直的判定定理1：m，n α，m∩n=A，l⊥m，l⊥n l⊥α.

（3）线面垂直的判定定理2：a∥b，a⊥α b⊥α.

（4）面面平行的性质：α∥β，a⊥α a⊥β.

（5）面面垂直的性质：α⊥β，α∩β=l，a α，a⊥l a⊥β.

3. 证明面面垂直的方法

（1）定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角.

（2）面面垂直的判定定理：a α，a⊥β α⊥β.

典例精讲

例1  （2014年高考浙江卷）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（    ）

A. 若m⊥n，n∥α，则m⊥α

B. 若m∥β，β⊥α，则m⊥α

C. 若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α

D. 若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

思索  本题考查线线、线面和面面之间的位置关系. 解答此类问题，首先要对概念认识清楚、对定理理解透彻;其次要具备较强的空间想象能力，能通过对题设条件的分析想象出所研究的线线、线面、面面之间的位置关系，从而做出正确的判断和简单的论证.

破解  对于A、B、D，m与平面α都可能有平行、相交或m在平面α内三种情况;对于C，若m⊥β，n⊥β，则m∥n，而n⊥α，所以m⊥α. 故选C.

本题也可以构造正方体ABCD-A1B1C1D1，对于A，根据已知条件取平面ABCD为α，直线A1D1为m，直线A1B1为n，但是m∥α，所以A错. 对于B，根据已知条件取平面ABCD为α，平面ADD1A1为β，直线BC为m，但是m α，所以B错. 对于D，根据已知条件取平面ABCD为α，平面ADD1A1为β，直线A1D1为m，直线A1B1为n，但是m∥α，所以D错. 故答案为C.

例2  如图1，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：

（1）PA⊥底面ABCD;

（2）平面BEF⊥平面PCD.

图1

思索  （1）面面垂直的性质是用来推证线面垂直的重要依据，其核心是其中一个面内的直线与交线垂直. 本题中由平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD以及PA⊥AD可推出PA⊥底面ABCD.

（2）证明面面垂直，应先转化为证明线面垂直，再把证明线面垂直转化为证明线线垂直. 若由已知条件所得的其他线面垂直的结论，常常利用其性质辅助证明线线垂直.如第（1）问的结论就对第（2）问的证明起辅助作用.

破解  （1）因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PA 平面PAD且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.

（2）因为AB⊥AD，而且易知四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由（1）知PA⊥平面ABCD， 所以PA⊥CD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD. 因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF，所以CD⊥EF. 又BE⊥CD，BE∩EF=E，所以CD⊥平面BEF. 又CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.

例3  如图2，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点，DF= AB，PH为△PAD中AD上的高.

（1）证明：PH⊥平面ABCD;

（2）若PH=1，AD= ，FC=1，求三棱锥E-BCF的体积;

（3）证明：EF⊥平面PAB.

图2

图3

思索  （1）线面垂直的证明，实质是由线线垂直推证得来，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直. 推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件. 三角形底边的高、等腰三角形底边的中线、勾股定理等都是寻找线线垂直的有力工具. 甚至有时，当证明线面垂直不易利用条件时，可试将线段沿特殊路径平移至特殊位置，这时可能和已知条件更接近. 例如第（3）问，若直接证明思维受阻，则可以考虑利用已知条件平移直线EF.

（2）对于垂直与体积结合的问题，在求体积时，常常根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积，解题时应充分利用已经得到的结论，可以快速找到突破口.

破解  （1）因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD. 因为AB⊥平面PAD，PH 平面PAD，所以PH⊥AB. 又AD∩AB=A，所以PH⊥平面ABCD.

（2）如图3，连结BH. 取BH的中点G，连结EG. 因为E是PB的中点，所以EG∥PH，且EG= PH= . 因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD. 因为AB⊥平面PAD，AD 平面PAD，所以AB⊥AD，所以底面ABCD为直角梯形，所以V = ·S△BCF·EG= · ·FC·AD·EG= .

（3）如图3，取PA的中点M，连结MD，ME. 因为E是PB的中点，所以ME∥AB，ME= AB. 又因为DF∥AB，DF= AB，所以ME∥DF且ME=DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD. 因为PD=AD，所以MD⊥PA. 因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB. 因为PA∩AB=A，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.

变式练习

1. （2014年高考广东卷）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是（    ）

A. l1⊥l4 B. l1∥l4

C. l1与l4既不垂直也不平行

D. l1与l4的位置关系不确定

2. （2013年浙江高考）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列结论正确的是（    ）

A. 若m∥α，n∥α，则m∥n

B. 若m∥α，m∥β，则α∥β

C. 若m∥n，m⊥α，则n⊥α

D. 若m∥α，α⊥β，则m⊥β

3. 如图4，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是PB，PC上的点，AE⊥PB，AF⊥PC，给出下列结论：①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC. 其中正确结论的序号是________.

图4

4. （2014年高考江苏卷改编）如图5，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点. 已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5.

（1）求证：DE⊥平面ABC.

（2）若BC⊥AB，求证：平面PAB⊥平面PBC

5. （2014年高考重庆卷）如图6，在四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD= ，M為BC上一点，且BM= .

（1）证明：BC⊥平面POM;

（2）若MP⊥AP，求四棱锥P-ABMO的体积.

图6

参考答案：

1. D  2. C  3. ①②③

4. （1）因为D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，PA=6，BC=8，所以DE∥PA，DE= PA=3，EF= BC=4. 又因为DF=5，所以DF2=DE2+EF2，所以DE⊥EF. 又PA⊥AC，DE∥PA，所以DE⊥AC. 因为AC∩EF=E，所以DE⊥平面ABC.

（2）因为DE⊥平面ABC，DE∥PA，所以PA⊥平面ABC. 因为BC 平面ABC，所以PA⊥BC. 又BC⊥AB，AB∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，因为BC 平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.

5. （1）因为四边形ABCD为菱形，O为菱形的中心，连结OB，则AO⊥OB. 因为∠BAD= ，所以OB=ABsin∠OAB=2sin =1. 又因为BM= ，且∠OBM= . 在△OBM中，OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM=1+ -2·1· ·cos = . 所以OB2=OM2+BM2，故OM⊥BM. 又PO⊥底面ABCD，BC 底面ABCD，所以PO⊥BC. 因为OM∩PO=O，所以BC⊥平面POM.

（2）由（1）可得，OA=ABcos∠OAB=2cos = . 设PO=a，由PO⊥底面ABCD知，△POA为直角三角形，故PA2=PO2+OA2=a2+3. 又△POM也是直角三角形，故PM2=PO2+OM2=a2+ . 连结AM，在△ABM中，AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM=4+ -2·2· ·cos = . 由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则PA2+PM2=AM2，即a2+3+a2+ = ，解得a=± . 所以PO= . 此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB= AO·OB+ BM·OM= . 所以四棱锥P-ABMO的体积V= S四边形ABMO·PO= · · = .