运用数形结合思想解数学题的作用初探

张育辉

想要提高数学成绩就要对数学中解题方法掌握清楚，而数形结合的思维方式在中学数学解题中经常用到，下面就数形结合对中学数学解题的作用具体描述。

一、数形结合的内涵

数与形是数学中两个最古老，也是最基本的研究对象，由于“数”和“形”是一种对应，它们在一定条件下可以相互转化，将数与形的这种关系称为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数无形时少直觉，形少数时难人微；数形结合百般好，隔家分离万事休；切莫忘，几何代数统一体，永远联系莫分离。”“数”与“形”是事物的两种特性，数形结合作为一种数学思维方式，它的作用就是将不具体的数学语言，与具体直观的图像语言结合起来。通过图像的直观明了来帮助纯代数的运算，或者是将纯代数运算的结果反映图像的特性，这就是我们常说的“以形助数”或“以数解形”。通过数形结合的方式，可以将化繁为简，化抽象为具体，用最简单有效的方式来解决问题，达到优化解题思路的目的。仔细观察这些年的中高考试卷不难发现，数学这门学科中数形结合的思维方式是贯穿了整个初高中教学过程的。适当运用数形结合的思维方式能给考生节约不少考试时间，省事省力有效的方法可起到事半功倍的效果。

二、数形结合的运用

中学数学中的知识点大致可以分为；纯粹的代数知识（方程式、不等式、函数等）；纯碎的几何知识（平面几何、立体几何、多面体几何）；还有将代数与图像结合的数形结合的知识（解析几何）。

数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，以下几个数学问题在解题过程中运用了数形结合的思想：

1. 解决集合问题。在集合运算中，若碰到较抽象的集合问题常常借助于数轴、Venn图等解题方式，来解决集合中交集、并集、补集的运算，若能从直观图形上获取信息，那么就能减少解题时间，使运算更加简便。

2. 解决函数问题。函数中运用图像进行运算辅佐的情况很常见，也可以说数形结合的思维方式是解决函数问题的主要途径。比如：二次函数、抛物线、投篮时篮球的运动轨迹等。函数的运算结果可以赋予图形特性，图形的直观明了也可以辅助函数的运算，这是数形结合的有利体现。

3. 解决方程与不等式的问题。在解决复杂的不等式问题时，可以将方程的两个有效根看作是两个特殊点，它们在图形上是图像和坐标轴的两个交点。在解决不等式的问题时，首先理清思路，画出相应的函数图像，找到函数图像中几个“特殊点”，再分析特殊点的含义，区间范围，找到解题的方向。

4. 解決三角函数问题。“方程”与“函数”是代数的两大方面，而三角函数又是函数的其中一种特殊函数。三角函数最常见的问题就是确定其单调区间，或者是将两个三角函数在同个单调区间相比。这种问题通常也是借助于单位圆或者三角函数图像来辅助解题，直观的图像有时可以直接告诉你答案。所以三角函数中运用数形结合思想的情况也是很常见的。

5. 解决线性规划问题。线性规划是一种处于不等式和直线方程结合点上的特殊情况，是培养学生转化能力和熟练运用数形结合能力的重要内容，也是学生的薄弱环节。它主要是在限定条件的前提下对于目标函数进行“最值问题”的求解，若单从代数方面着手会相当困难，这就需要数形结合的辅佐，线性规划的求解方式比较单一，数形结合是最常见也是用处最广泛的线性规划求解方式。

6. 解决数列问题。可以将数列看做是一种特殊的函数，它的定义域是正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}），所以数列就可以用图象来表示。用图像对数列的规律性进行观察，可以直观地看出这个数列的各种特性（定义域、值域、有穷数列、无穷数列），这样就可以将数列的问题转化到图形中来解决。

7. 解决解析几何问题。数形结合的思维方式贯穿整个解析几何的运算，主要是根据问题的具体形式，将问题本身的数量关系转变成图形形式，或者是将图形问题转换成代数形式，将问题简单化、直观化、具体化，从而解决问题。或者在遇到单从代数方面求解很困难的问题时就可以将问题转换到图形当中，观察图形找到几个“特殊点”，再经过计算和推理，便可以得出需要的代数结论。在解决解析几何的问题时，要理清解题思路，在题干的蛛丝马迹中寻找自己需要的信息，再将这些信息代入解析几何的思维方式中，用图像的点、线、面等性质来辅佐最终的代数运算。

8. 解决立体几何问题。立体几何是在三维空间的基础上建立的一种新的几何模型，它具有平面几何所不具有的空间性质。对于立体几何的运算中，通常建立一个坐标轴，将几何图像中的点、线、面代入坐标轴中，赋予他们涵义。再运用图像之间的相互联系，将图像问题转化成代数问题进行解决。

9. 解决绝对值问题，绝对值是中学数学教材中的重要概念，也是学生难以理解掌握的问题之一，因绝对值具有非负性，所以可以对绝对值的问题采用数形结合的方式来解决，比如：画数轴，根据绝对值的性质（一点到另一点的距离）得到一个范围，从而解出绝对值。

三、运用数形结合时需要注意的问题

在运用数形结合的思维方式时也有需要注意的问题：第一，要正确理解题干的意思，合理把握题干重点，对于图形中点、线、面的意义要明确，运用所学的概念和运算法则，适当转化问题；第二，对于参照物的设定要合理，建立“数”“形”之间的转化关系时要合理利用参照物的性质；第三，对于参照物来说取值范围要选取得合理，合题。