怎样用画图法解数学题

2014-04-29毛晓兵

语数外学习·上旬 2014年12期

毛晓兵

在中学数学，画图是解题一个重要的手段，用画图法解题有一大优点：它能将应用题中的数量关系揭示出来，使题意形象具体、一目了然，能够化繁为简、化难为易，使我们能较快地找到解题的途径。下面就结合我这几年的数学实践教学，谈谈我对画图解题的感受。

一、画图有助于已知条件再现，达到知识点的发散

不管哪类数学题目，它的命题构造都是由题设和结论两部分组成，其中题设部分是由若干已知条件构成（见下图）。在画图时，把每个已知条件都在图形中体现出来，在脑中形成一个知识点的发散体系，运用类比、归纳、分类讨论等数学思想全面考虑问题，并借助画图形打开思路。这样，有效地培养学生的发散思维能力、创新能力，并有助于巩固和掌握所学的基本知识。

二、画图有助于数量关系再现，使方程构造简单直接化

解决问题的关键，是题目中的已知条件的分析，通过画图，把题目中抽象的数量关系直观形象地显示出来，使其一目了然，帮助我们理解题意，进而很快地寻找出解题的途径和方法。

问题1. 如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D、E分别是边AB、AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，過点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动，设BQ=x，QR=y。

（1）求点D到BC的距离DH的长。

（2）求y关于x的方程（不要求写出自变量）。

（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由。

分析此类题，它难在第（3）问上，做题时，只要分类画图（如图），注意点的运动变化的过程，哪些图形（如线段、三角形等）随之运动变化，即确定点运动变化过程中图形中的变量和不变量。如本题中线段PQ和∠PQR是两个不变量，线段BQ、QR是两个变量，以及△PQR的形状也在变化。用变量x、y表示图形中变量——线段，找到相等的数量关系，建立方程或函数等数学模型，列出方程求解，达到解决问题的目的。

三、画图有助于题目隐藏条件的挖掘，使问题明了化

在解某些数学问题时，如果能够根据已知条件，正确画出大致图形，那么根据图形的直观性，有时能够使我们对问题茅塞顿开，对结论一目了然；有时能够帮助我们逻辑推理，正确判断，简捷解题。

问题2. 已知，如图，△AOB中，AO=6，AB=8，C为AO上一点（C不与点A、O重合），CD∥BC交AB于点D。

（1）当△ACB的面积是四边形DBOC面积的2倍时，求AC的长；

（2）若∠A=90°，在BO上是否存在点P，使得△CDP为等腰直角三角形？若存在请求出CD的长；若不存在，请说明理由。

分析：画图、想已知、写结论、找条件，自然而然地使问题明朗化。

四、画图有助于分类思想培养，达到的思维训练的完整性

所谓分类思想，就是当被研究的问题包含多种情况，不能一概而论，必须按可能出现的所有情况分别讨论，得出各种情况下的相应的结论，不能重复、遗漏，注意全面画图，分类分析。

问题3. 如图，在由12个边长都为1且有一个锐角为60°的小菱形组成的网格中，点P是其中的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长___________________.

评析：这类题型主要以学生熟悉的、感兴趣的图形为背景，提供观察和操作的机会，让学生通过动手操作，确定以点P为顶点的角有哪些，从而画出相应的图形，解决问题。

五、画图有助于知识形象理解，加强数形结合思想的培养

数形结合的思想，其实是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合，通过对图形的认识、数形的转化，可培养学生思维的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体。