几何变换在初中平面几何教学中的应用

蔡春华

欧式几何的注重点是静止的图形性质，大多以相对孤立的定理出现。然而事物运动是客观存在的，相互作用、相互联系。正确认识到客观世界中图形的性质，在几何解题过程中要学会变化角度研究图形，适当地进行几何变化，才能发现题目中隐含的条件抓住问题的关键，使得问题得以解决。初中几何变化主要包括平移变换、翻折变换（对称变换）和旋转变换，通过观察和想象把握图形运动的本质找到不变量，从而简化做题。本文旨在通过论述几何变化的意义和各具体变换的应用帮助学生更好地学好初中平面几何知识。

一、几何变换的意义

1. 有利于对几何图形的认识

平面几何教学过程中，利用几何变换有助于对平面几何图形的认识和理解。初中平面几何知识多是基础几何，教师可以从基本图形变换过程中体现图形性质，提高学生对基础图形结构特点的认识，加深对图形变换的理解，拓展学生从更高的角度认识和分析几何问题。不仅能够活跃学生思维，也能运用几何变换观点解决平面几何问题，提高平面几何教学质量。

2. 有利于提高观察和推理能力

做平面几何题目时，条件往往比较隐晦，很多学生找不到突破点。其实不然，平面几何比起立体图形往往更为形象、直观、全面，认真观察图形，结合教材知识点利用直观感知能力，正确运用图形翻折、平移变换、旋转变换等使静态图形动起来探索图形特征，往往轻易找到不变量实现顺利解题。所以几何变换的运用很大程度抽象了几何概念、几何方法，开拓了学生创新性思维，提高了学生直观感知能力，激发学生发散性思维和推理能力。

3. 有利于提高学生思维的敏锐性

平面几何题型中，几何元素相对分散、孤立，适当的几何变换可以使几何元素相对集中，容易把握几何元素之间的联系。利用几何图形性质，化一般图形为特殊图形、化不规则图形为规则图形等等逐渐把隐性条件显现出来得以使用，找到不变量和变化量及其关系变化，从而找到解题突破点顺利解题。此阶段中，环环相扣，充分培养和提高了学生思维的敏锐性和灵活性。

二、幾何变换的具体应用

1. 平移变换

平移变换中，不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置。利用平移图形大小和形状的不变性和图形位置的改变性，能够把复杂问题简单化特别是解决零散图形求值问题。

【例题】如图1，某小区有一块长42m、宽20m的矩形草坪，现要在草坪中间铺设一横两纵三条等宽的甬道，若铺设后草坪的面积为760m2，求通道的宽。

【分析】此类型题目一般解题方法是设甬道的宽为x米，草坪的长为（42-2x）米，宽为（20-x）米，根据总面积减去空白部分的面积，可列以下方程：42×20-2×20x-42x+2x2=760，然后进行求解、检验，但是从解题过程不难看出这样很容易列错式子，解错答案。如果当题目中甬道不是规则图形而是曲形（如图2），这种方法就有局限，式子很难列出来。如果利用平行变换解题，将六块草坪平移拼接到一起形成新的矩形来作答（如图3），问题就变得简单，当然也适用不规则图形。

2. 旋转变换

旋转变换是将图形中某一部分绕某点旋转适当角度的变形模式，是从运动角度理解几何图形的手法。旋转始终保持图形全等，能保持原有图形性质却又能组成新的有利论证的图形。

【例题】如图4，等边三角形ABC内有一点P，PA=1，PB=2，PC=■，求∠APC的度数。

【分析】PA、PB、PC不在一个三角形内，就不能有效的用到已知条件，可以把△APC顺时针旋转60°得到△AP′B。由于AP=AP′，∠PAP′=60°，不难得到△APP′为等边三角形，且由勾股定理易求△PP′B为直角三角形，则∠AP′B=∠APC=150°。

通过这道题可以看出，旋转变换可以将分散的线段跟角集中到新的三角形中，起到转化作用。

3. 翻折变换（对称变换）

对称变换就是通过作关于某一直线或点的对称图，对称到另一个位置上，是分散的条件集中。

【例题】如图5，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，已知AB=6，BC=8，求BF的值？

【分析】利用对称变换的性质，可得出ED=AB，∠EBD=∠CBD，易求得∠FDB=∠FBD，得到FB=FD，再由勾股定理易求出BF值。

新课改后，初中数学教学将几何与代数知识划分得更加清晰，平面几何所占比例愈来愈重。合理运用几何变换摸索图形性质和特征进行解题，对增强学生创新性思维，加快解题速度和效率，提高初中教学质量有很大的帮助。