金融随机波动率模型及其参数估计方法评述

刘凤琴 金瑜

【摘 要】构建合适的理论模型来估计和预测金融资产波动率是衍生品定价、投资组合配置以及风险管理中的十分重要环节，因此相关学术研究已经引起国内外学者广泛关注。本文主要基于已有研究文献，从两个方面对其研究成果进行适当梳理，首先分析了随机波动率的理论模型和所适用的金融环境，其次讨论了常用参数估计方法的优缺点，最后总结了模型进一步发展的趋势.研究认为：Heston模型在普通期权定价和利率市场方面应用较为广泛，SABR模型是目前金融市场最有效的风险管理工具之一；自适应马尔科夫链蒙特卡罗估计（MCMC）方法将是未来最佳的随机波动率模型参数估计方法之一。

【关键词】随机波动率；SABR模型；自适应MCMC

一、引言

对金融市场波动的描述是现代金融理论的关键内容之一，因为现代金融理论的核心便是不确定性，而波动则是衡量这种不确定性的重要指标。而且随着近年来金融资产之间的联系不断加深和金融衍生品的不断创新，金融市场的波动日益加剧，表现出非常复杂、丰富的统计特征，如波动的隐含微笑曲线、尖峰厚尾、长期记忆性、非对称性和溢出效应等。

自从Taylor（1986）构建随机波动率（Stochastic volatility，SV）模型，由于SV模型在描述金融资产波动率动态过程时比其他模型（如GARCH模型等）更灵活、更具有优势，SV模型逐渐在波动率估计和预测中占据主导地位。国内外学者对此开展了大量研究，研究内容主要包括三个方面：

1.针对SV模型及其扩展的研究

SV模型利用随机变量描述金融市场任意给定时刻的资产价格及其波动率。目前最流行的SV模型是Heston模型和SABR模型。现阶段的研究主要围绕SV模型的扩展展开，如引入跳跃过程、构建高频数据的波动模型等。

2.SV模型参数估计方法的研究

由于SV模型的特征函数无法导出精确表达式，难以使用普通的参数估计方法。近十几年来，国内外学者围绕SV模型中扰动项无法观测的特性，提出了多种参数估计方法。归纳起来可分为三类：一是矩估计方法；二是极大似然估计方法；三是基于辅助模型的估计方法，主要是扩展的MCMC方法等。本文主要介绍目前最常用的MCMC方法。

从上可知，MCMC具有两个优点：第一，MCMC可同时估计参数和状态变量，而毋须事先估计参数，这为实际应用带来很多方便；第二，MCMC的效率显著高于其他方法，由于MCMC在估计参数和状态变量时都是条件模拟，因此在估计参数时，MCMC不需对大量数据进行拟合优化。

由于MCMC方法在解决复杂模型计算问题方面的显著优势，从而在金融数学、信息安全、生物统计等方面得到广泛应用。Jacquier，Polson，Rossi（1994）首次应用MCMC方法估计SV模型参数。

针对传统的MCMC模拟方法存在计算效率低的缺陷，国内外学者提出了新的MCMC方法。Carta A和Steel MFJ（2012）提出应用块抽样方法提高MCMC方法效率，并实验证明新抽样方法的效率增益。汪卫芳（2013）提出了一种新的MCMC方法中的自适应Metropolis抽样方法，研究结果表明：自适应Metropolis方法的推荐分布随着抽样过程能自适应的调整，其都明显优于传统的MCMC方法。

四、总结和展望

本文总结了金融随机波动率模型的发展趋势和适用的金融环境，简要讨论了SV模型的主要参数估计方法。研究表明：Heston模型在普通期权定价和利率市场方面得到了广泛应用，但不适合结构化产品建模；SABR模型已成为目前市场实务中管理“波动率微笑”风险的行业标准模型之一，而且SABR模型较适合对奇异期权的估值；自适应MCMC方法将是未来最佳的SV模型参数估计方法之一。虽然随机波动率模型的研究在过去20多年中取得了巨大的进步，但还有众多问题需要研究和开拓，可从以下几个方面考虑：

1.现有文献极少考虑波动率跳跃对波动率预测的影响。因此在考虑利率波动的连续变化因素（由随机波动过程刻画）的同时，可尝试引入Levy过程等跳跃过程用于刻画跳跃变化时刻及跳跃幅度。

2.目前期权交易规模和交易量迅速增长，同时期权定价模型的复杂程度却越来越高，如何按市场要求在尽可能短的时间内对期权进行定价变得越来越困难。对此可考虑利用GPU集群并行技术和全局优化方法如模拟退火算法、神经网络算法等实现期权等金融衍生品的实时定价。

参考文献：

[1] Taylor S J. Modeling Financial Time Series， 1986[J].

[2] Heston S L. A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options [J]. Review of financial studies， 1993， 6（2）： 327-343.

[3] Cox J C， Ingersoll Jr J E， Ross S A. A theory of the term structure of interest rates [J]. Econometrica： Journal of the Econometric Society， 1985： 385-407.

[4] Bergomi L. Smile dynamics I [J]. Available at SSRN 1493294， 2004.

[5] Jacquier E， Polson N G， Rossi P E. Reply [J]. Journal of Business & Economic Statistics， 1994， 12（4）： 413-417.

[6] Carta A， Steel MFJ. Modelling multi-output stochastic frontiers using copulas [J]. Computational Statistics & Data Analysis， 2012， 56（11）： 3757-3773

[7]汪卫芳. 一种新的自适应 MCMC方法在金融市场风险 VaR 计算中的应用. 学术论坛， 2013（1）：153-156