全等三角形证明的教学体会

李宁波

摘 要： 全等三角形的证明是初中几何证明的重要基础。在学习中，紧扣教材抓住课本的重点词，充分利用公理及推论的字母表示形式推理，根据几何证明的“推理特征”，培养学生的解题目标意识和学生的逆向思维能力。

关键词： 全等三角形 对应位置 逆向思维

三角形全等的证明是初中几何证明的重要基础，也是证明线段、角相等的方法之一。如何使学生更好地掌握它，关系学生对几何学习的情感与态度。因此，它一直是师生都在探究的一个问题。下面笔者就此谈谈体会。

一、紧扣教材，抓住课本中的一句话做文章

人教版九年义务教材中《几何》第二册某页第一句话为“论两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上”，并且举例进行了说明。在教学过程中，笔者就这句话向学生强调：“既然课本教材这样要求，那么通常情况下，我们应该遵循，因为这样做有两个好处，一是使大家养成按对应顶点，记全等三角形的习惯。二是以后我们遇到题中写有两个三角形全等，不论它是出现在已知还是求证中，我们都可以利用它是按对应顶点记的这一特点，找到各对应边和对应角，为证明找到正确的目标。”例如一道题目中出现了“△ABC≌△DEF”（无论在已知中还是求证中）。由于点A对应点D，点B对应点E，点C对应点F，因此无需看图，直接就能迅速指出两个三角形的对应边和对应角。方法是先将其字母编号，如△ABC≌△DEF，再按“1、2”、“1，3”“2，3”找出对应边为“AB=DE，AC=DF，BC=EF”，按“123”、“132”、“213”（强调1、2、3各有一次在中间做角的顶点）找出对应角为∠ABC=∠DEF、∠ACB=∠DFE、∠BAC=∠EDF，为观察图形和找出问题思路提供了很大的方便。

二、充分利用公理及推论的字母表示形式去推理，培养学生解题的目标意识

三角形全等的证明有三条公理、一条推理，以及直角三角形特有的斜边、直角边公理，每一个公理及推论教材上都给出了表示形式，如SAS、ASA、SSS、AAS及HL。在学生理解了公理和推论的情况下，就可以利用题目中的已知边（角）迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的全等条件。

1.假如题目中已知两边，则记为“SS”，根据公理，推论的要求，要有两条边的中间补上一个角或一条边。再顺此思路继续探究、完善。

2.假如题目中已知一边、一角，则记为“SA”，就应补充上另一个角或另一条边。

3.假如题目中已知两角，则记为“AA”，应补上一条边。并根据此三种情况画示意图：

（1）SS：S（A）S（即找其夹角）

S（S）S（即找第三边）

（2）SA——（A）AS（即再找SA：（A）SA（即再找一对角）

SA（S）（即找角的另一邻边）

（3）AA：AA（S）

A（S）A（即再任意找一对边）

三、根据“几何证明”的推理特征培养学生的思维能力

解决数学问题的过程，一般总是从正面入手进行思考的，这是解决数学问题一种基本的思想方法。但是，有时会遇到从正面考虑比较复杂甚至无法解决的情况，这时若从问题的反面思考，或者逆用相关的数学关系，就可以顺利解决问题，而且解题步骤较简捷。这就是解决数学问题的另一种思考方法——逆向思维。

如几何证明中，往往从已知推出结论时比较困难，找不到头绪，无法下手，可以结论向已知推导分析，条理清楚，这时再顺着推理证明就得心应手了。经常采用逆向思维解题，有利于巩固数学知识，提高解题能力，发展智力。

四、注重探索结论，培养能力，实际联系

三角形全等的这些判定方法都是可以证明的，都可以作为定理，但是，这些定理（除边边边定理外）的证明方法都比较特殊。学生开始学习这些判定定理时，掌握定理的内容并不困难，困难的是定理的证明，而这些特殊的证明方法，通过画图和试验，使学生确信它们的正确性。探索两个三角形一定全等，总的发展脉络是三边，两边一角，一边两角，三个角，这样学生容易把握探索的过程。尽量排除人为安排的因素，呈现得更自然。学完三角形全等判定的方法，让学生将三角形全等的判定方法运用于直角三角形，得出直角三角形全等的判定的方法。对于满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形，不能运用三角形全等的判定方法进行判断，需要学生进一步实践探索。

在证明两个三角形全等的证明格式基础上，进一步介绍推理论证的方法，要求学生有理有据地推理证明，精炼准确地表达推理过程，是比较困难的。在教学中，要注意采取措施解决这个难点。

1.注意减缓坡度，循序渐进。开始阶段证明方向明确，过程简单，书写容易规范化。这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式，然后逐步增加题目的复杂程度，小步前进，每一步都为下一步做准备，下一步又注意复习前一步训练的内容。特别是通过精心选择全等三角形的证明问题，能减缓学生学习几何证明的坡度。

2.在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于教师掌握。先让学生会证明两个三角形全等，然后安排通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等的问题，从而熟悉证明的步骤和方法。在此之后，安排的问题设计以前学过的平行线等内容，重点培养学生分析问题、根据需要选择有关的结论证明的能力。

3.注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考过程。例如在“三角形全等的判定”一节，证明例1的结论“△ABD≌△ACD”以前，首先指出证题的思路：“要证△ABD≌△ACD，可看这两个三角形的三条边是否对应相等。”师生共同思考：①由已知条件AB=AC可知，这两个三角形有一对相等的边。②从图上看，AD既是△ABD的边又是△ACD的边，所以是这两个三角形第二对相等的边。③关键是第三对边BD，CD是否相等。由D是BC的中点可知，BD=CD，它们是这两个三角形第三对相等的边。④边边边条件得到满足。因而△ABD≌△ACD。为了清楚地表达上述思考过程，引入“∵”“∴”符号及综合法证明的格式，把证明的过程简明地表达出来。

4.在“全等三角形”中，应注意从实际例子引入，并让学生举出一些例子。这样做既可以使学生易于理解相关概念，又可以调动他们学习的积极性，用全等三角形可以说明实际测量方法的道理。教科书在例题和习题中安排了测量池塘两端的距离、测量河两岸相对两点的距离、用卡钳测量工件的内槽宽等内容，还安排了利用三角形全等测量旗杆高度。教学时应注意引导学生运用全等三角形解决这些问题。

上述四种方法要讲解清楚不难，且易于为学生所接受，学生一旦掌握，就能快速按时对应顶点的位置找到对应角、对应边，又能按已知的对应（角）边迅速准确补充需要的对应角（边）。这样做，学生学习几何的积极性会大大提高，并能为今后学习相似三角形打下坚实的基础。

参考文献：

[1]义务教育人教版八年级数学教科书.

[2]数学课程标准.