数列平均值极限的相关问题

唐东磊　胡锐

摘 要：本文讨论了数列平均值极限的相关问题，给出了若干反例及相关命题。

关键词：平均值；极限；聚点

关于数列平均值的极限有下面著名的结论：

定理1 数列{an}极限存在为a，则由前n项的平均值构成的数列a1+a2+…+ann极限也存在且等于a。

下面我们考虑该定理的逆命题及否命题是否成立。首先我们考虑否命题，也即“如果数列{an}极限不存在，那么数列a1+a2+…+ann极限存在”是否成立呢？我们给出下面的例子。

例1 令an=n，则有limn→∞an=+∞，a1+a2+…+ann=n（n+1）2n=n+12，那么我们有limn→∞a1+a2+…+ann=+∞。

可见当{an}极限不存在时平均值a1+a2+…+ann的极限可能不存在，也即定理的否命题不成立。如果将无穷（+∞、-∞或∞）看成是广义极限（或非正常极限）的话，那么上面的例2并不能说明问题，我们再给出下面的例子。

例2 令an=3k-2，n=3k-2，0，n=3k-1，-3k+2，n=3k，

也即{an}=1，0，-1，4，0，-4，7，0，-7，…，可以看出{an}极限不存在。n=3k-2时，a1+a2+…+ann=1+0+（-1）+…+（3k-2）3k-2=1；

n=3k时，

a1+a2+…+ann=1+0+（-1）+…+（3k-2）+0+（-3k+2）3k=0，

可知数列a1+a2+…+ann有两个子列收敛到不同的极限，从而a1+a2+…+ann极限不存在。

上面的两个例子中数列{an}都是无界数列，an的变化很大，导致了平均值的极限不存在，那么我们就会有这样一个想法，对有界数列{an}而言，an总在上下界之间变化，改变幅度有限，这样会不会使得平均值极限一定存在呢？我们有下面的例子。

例3 如下定义数列{an}：

a1=1，a2=-1，a3=a4=1，a5=a6=-1，a7=…=a12=1，a13=…=a18=-1，…，

假设前2·3k项已定义，令a2·3k+1=…=a2·3k+2·3k=1，a2·3k+2·3k+1=…=a2·3k+2·3k+2·3k=-1。

很顯然，数列{an}有界，且极限不存在。对于平均值数列a1+a2+…+ann，当n=2·3k时，

a1+a2+…+ann=1+（-1）+…+1+1+…+（-1）+（-1）2·3k=0；

当n=4·3k时，

a1+a2+…+ann=1+（-1）+…+1+1+…+12·3k个4·3k=12。

可知数列a1+a2+…+ann有两个子列收敛到不同的极限，从而a1+a2+…+ann极限不存在。

从上面例子可以看出不论数列{an}的有界性保证不了平均值极限的存在性。

接下来我们考虑定理的逆命题，也即“如果数列a1+a2+…+ann极限存在，那么数列{an}极限存在”是否成立。这个命题也是不成立的，我们有下面的例子。

例4 令an=（-1）n，很显然{an}极限不存在。但a1+a2+…+ann为-1或0，是有界量，从而limn→∞a1+a2+…+ann=0。

比较上面的例3和例4我们发现，这两个数列都只是由1和-1构成的，那么为什么会造成一个平均值极限存在，一个平均值极限不存在呢？这主要是由于1和-1出现的频率不同造成的。在例3的数列中1和-1在前n项所占比例随着n的增加变化很大，而在例4的数列中1和-1在前n项所占比例比较稳定，n增加时二者所占比例趋近于1/2。这又为什么会造成平均值极限存在呢？我们可以用概率的观点来理解这件事情。把例4数列理解为一个随机事件，那么1和-1在前n项所占比例也就是频率，频率的稳定值是概率，所以该随机事件中出现1和-1的概率都是1/2，从而数学期望为12×1+12×（-1）=0，而数学期望正是平均值的稳定值，所以平均值的极限存在且等于0。其实不光对例4我们可以这样理解，对其它一些情况也有类似的结论。我们给出下面的定理。

定理2 假设有界数列{an}有且仅有两个聚点x和y，其中xx+y2}中元素的个数。如果极限limn→∞xnn=p，则有limn→∞a1+a2+…+ann=px+（1-p）y。

证明 将{an}中小于等于x+y2的项构成的子列记为{bn}，大于x+y2的项构成的子列记为{cn}。下面证明limn→∞bn=x，limn→∞cn=y。

反证法。若{bn}不收敛于x，则必存在x的一个邻域（x-δ，x+δ）使得其外有{bn}的无限多项。而{bn}为有界数列，这无限多项也是有界的，从而由聚点定理可知这无限多项至少有一个聚点z，且z≠x。由bn≤x+y2可知z≤x+y2，从而z≠y。也即{bn}有一个不同于x和y的聚点，这也意味着{an}有一个不同于x和y的聚点，这与{an}只有两个聚点矛盾，limn→∞bn=x得证。同理可证limn→∞cn=y。

由定理1可知limn→∞b1+…+bnn=x，limn→∞c1+…+cnn=y。在{an}的前n项中有xn项属于子列{bn}，有yn项属于子列{cn}，故limn→∞a1+a2+…+ann=limn→∞b1+…+bxn+c1+…+cynn=limn→∞b1+…+bxnn+c1+…+cynn

=limn→∞b1+…+bxnxn·xnn+c1+…+cynyn·ynn

=limn→∞b1+…+bxnxn·limn→∞xnn+limn→∞c1+…+cynyn·limn→∞ynn

=xp+ylimn→∞n-xnn=px+（1-p）y.

可以看出，上面的例4正是定理2的特殊情况。上面的定理是对于只有两个聚点的数列得到的，其实对有有限多个聚点的数列也有类似的结论，我们不加证明地给出下面的定理。

定理3 假设有界数列{an}有k个聚点x1，x2，…，xk，其中x1xk-1+xk2}中元素的个数。如果有极限limn→∞I1nn=p1，limn→∞I2nn=p2，…，limn→∞Iknn=pk，那么limn→∞a1+a2+…+ann=p1x1+p2x2+…+pkxk。（作者单位：南京审计学院）

参考文献：

[1] 《数学分析》，华东师范大学数学系编，高等教育出版社，2010（第四版）

[2] 《数学分析中的典型问题与方法》，裴礼文编，高等教育出版社，2006

[3] 《数学分析教程》，许绍溥等编，南京大学出版社，1992