明确方向，有效转化

陈峰　李含进

摘 要：利用导数解决函数相关问题的题型为历年高考试卷的“常客”，导数在研究函数问题中的工具性作用在高考试卷中体现得淋漓尽致. 学生普遍感觉导数问题上手容易，但要做对、做全却并不简单，甚至有部分学生连题目本身的含义也未理解. 本文结合课堂案例与典型例题，尝试寻求解决导数问题的突破口.

关键词：导数；函数单调性；等价转化

有关导数的内容，在2000年进入高考试卷以来，成为每年各省高考试卷必考内容之一. 一方面，导数是研究函数及其性质的重要工具，这在近几年的高考中体现得淋漓尽致；另一方面，导数也是高中数学与大学数学的一个知识衔接点，是学生今后学好大学数学的重要基石. 在实际教学中，学生反应导数问题提笔并不困难，但有的时候又会有种越做越做不下去的感觉，甚至还有部分学生连题目本身的含义也未理解. 这些都不由让人产生这样的思索：如何才能帮助学生找到解决导数问题的突破口？

这是笔者近期所听的一堂公开课中的某一教学片段，也是非常典型的一个案例. 应该说，例题并不困难，但学生的回答却不尽如人意，要剖析其成因，还需要从高考对导数问题的考查要求谈起. 从近几年各省高考的命题形式来看，其考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明，其要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念、求导的公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值和最值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和不等式、数列和函数的单调性等有机地结合在一起，在“知识网络交汇点”处设计综合题. 由于多数学生对于求导公式和求导法则掌握较好，紧接着令导数为0求极值点的过程也颇为习惯，因此很多学生所谓的“上手容易”就是求导、令导数为0、求极值点这“三部曲”，至于为何要如此的原因则不甚了然. 表面上似乎掌握了解决导数问题的一般方法，实则其对导数的理解浮于表面，缺乏深刻的印象. 倘若能引导学生梳理考查点，找出其共性所在，即无论是解决极值与最值、零点问题，还是与不等式、数列等知识点相结合，导数的工具性集中体现在利用导数研究函数单调性，进而解决相关问题.换句话说，假如学生解决导数问题能首先立足于透彻地研究好函数的单调性，那他离问题的解决也就不远了.

例2第2问为含有一个参数的不等式问题，此类问题是导数问题典型的考查形式. 分析1为构造函数法，利用原函数或构造所得的新函数，等价转化为求函数的最值，通过求解含参的不等式或不等式组得到参数的取值范围. 这种方法较为自然，通过研究单调性求最值的过程学生也较容易理解，根据定义域和给定参数取值范围，将参数先分类再讨论为其核心，但对于基础不扎实的学生则容易出现漏解的情况. 分析2为参变量分离，通过分离参数，得到一个不含参数的函数，等价转化为只需解决此函数的最值即可. 由于在完成分离后所得函数已不含参数，因此得到不少教师和学生的青睐. 以上两种方法都是解决含参问题的基本方法，而在实际解题过程中，学生往往更倾向于后者，不少教师也对此方法过于强调. 值得关注的是，在近今年各省的高考试卷中（如2010年全国新课标卷与宁夏海南卷的第21题），出现了虽然参变量分离能够讨论函数单调性，却无法利用中学知识求其最值的题型，因此笔者认为此两种方法不可偏废. 平时应更注重培养学生选择最优方法的能力，而非过度依赖其中某一种. 分析3是对参变量分离的进一步深化，例2虽然参数可分离，但仍需分三种情况求解，且分离后所得函数形式也不算简洁，需较多演算过程才能求得最值. 分析3中只分离出部分参数，使得两侧函数的单调性都较容易得到，结合图象等价转化为讨论两侧函数在x=-的值，真可谓举重若轻、事半功倍！此方法同样可以解决普遍反应计算量较大的2008年江苏卷14题，这无疑使学生在解决导数问题时又多了一个突破口.

在每次考试结束后，一方面经常能听到学生有这样的感慨：某某题目我分类讨论不知是否完整；某某题目我算到一半了，但类型太多实在算不下去了；而另一方面，教师却抱怨分类讨论的问题往往是教师屡讲学生屡不会，学生不是做不对就是做不全. 不得不承认，分类讨论的确是学生畏惧的一类问题，虽然平时教师都已讲解过分类讨论的一般依据，但由于此问题没有现成的公式可套，因而造成不少学生上了考场面对讨论仍是“东一榔头西一棒”，其结果可想而知. 以上两题如按照常规方法来做，也能得到正确答案，但讨论类型较多，计算量也偏大，部分学生可能做到一半就已放弃. 此时，学生在解题前能否注意观察条件显得尤为重要，这需要教师在平时教学中纠正学生盲目下笔的解题习惯，养成先留意题中隐含的不变量与特殊值，再限制参数范围，简化分类讨论，进而寻求突破的数学素养.

导数作为研究函数单调性的重要手段，其与图象联系之紧密是不言而喻的. “数缺形时少直观”，如果解题中过分纠结于代数模型，往往会使思维陷入彀中. 如果能将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解. 所谓数形结合，就是找准数与形的契合点，根据对象的属性，将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化. 例7中虽未给出函数的解析式，但蕴涵了大量函数性质，包括单调性、奇偶性等，适时作出函数y=的草图，将使得此抽象函数更为直观. 例8将函数零点问题等价转化成判断两函数公共点个数的问题，同样也简化了问题，提高了学生的解题速度. 但另一方面，“形缺数时难人微”，利用数形结合解决问题，特别是求解解答题时，需要借助代数演绎证明推理的严密性. 反思学生在2013年江苏卷20题普遍得分不高的教训，只有用数据说话才能对问题有本质性的分析和把握. 若类似例8的问题在解答题中出现，由于高中数学阶段的导数知识未涉及极限与洛必达法则，应用构造函数的方法进行解答更为稳妥，具体步骤不再赘述.

苏霍姆林斯基说过：为了使学生从思考中获取知识，教师必须对学生的知识有充分的了解. 如果在平时教学中，只追求学生对技巧的掌握，而忽视思维能力的提高；只看到学生的错误，而忽视形成错误的成因，只会让学生陷入题海战术的困境中. 唯有在具备扎实的初等数学功底的同时，做到对学生所掌握的知识心中有数，才能胜任数学教学工作，更有效地解决学生在学习中产生的困难.