良好数学思维习惯养成在数学学习中的重要性

曾歆　刘海峰　冯智源

【摘要】审题是解决数学问题的第一步，无论你说它有多么重要都不足为过。从题干中提取的关键词往往是解决问题的出发点，即解决问题的思路所在。数学是一门博大精深的学科，数学思想是数学的精髓，因此十分有必要在学习数学的过程中体会数学思想，培养自己的数学思维。另外，学会总结归纳是应付各类典型习题的不二捷径。

【关键词】审题 数学思想 总结归纳 思维习惯

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）04-0141-02

一、审题是解题的前提条件和重要途径

对题中的关键词进行重点分析是解題的主要途径。下面通过两个简单的例子说明审题重要性。

[例1] 设f（x）是周期为2a的连续函数，证明：存在一点x0使得f（x0）=f（x0+a）

分析：由函数周期为2a很容易得到f（x0）=f（x0+2a）。乍一看该题再也无法下笔。这时候只要仔细审题便会发现除了周期之外，还有一个关键词：连续函数。回想一下连续函数的一些常用性质无非就是零点定理、介值定理、最大最小值定理等知识点。进而想到构造函数g（x）=f（x）-f（x+a），于是根据g（a）=f（a）-f（2a），g（0）=f（0）-f（a）=f（2a）-f（a）知g（a）g（0）≤0；利用零点定理易知存在一点f（x0）=f（x0+a）使得，问题就迎刃而解了。

[例2]对两个有限集合，通过数数的方式我们就可以了解它们的大小（即所含元素多还是少），由此还可以获知"部分小于全体"这一似乎是真理性的结论。仅从集合所含元素的多少这一角度出发，讨论命题“部分小于全体”的真伪。建议你设计一种比较集合大小的方法，并用你的方法论证你的观点。

分析：这是我校高等数学期中考试的一道试题。很多同学读完题目后不知所措。对关键词进行分析最重要，这时就需要考生认真审题，仔细推敲。就此题而言，只要将目光聚焦在“有限”二字上就有可能发现解题途径。显然由“有限集合”很自然的想到无限集合的情况。综合考虑有限、无限集合的情况， 通过在两个集合的元素间建立一个一一映射，可以比较集合的大小。

简答：1）对有限集合，部分小于全体的结论是正确的；2）对于无限集合，因为有理数集合可以与实数集合之间建立一一对应的关系，所以有理数集合与实数集合一样大。因此部分小于全体对无穷集合而言不再正确。

通过上面两个例子可以看出，审题是解题的必经途径，而审题的常用方法是对题目中的关键词进行仔细推敲，从中发现题目与我们已经掌握的知识之间的衔接途径，为解题找到可行的切入点。

二、掌握数学基础知识，养成良好的数学思维习惯对于学好数学非常重要

养成良好的数学思维习惯不仅是学好数学的重要因素，同时也为其他学科的学习打下良好的基础。下面通过几个例子谈谈养成数学思维习惯的重要性。

（一）分析法在高等数学中的应用

[例3]设函数f（x）的定义域为（-L，L），证明必存在（-L，L）上的偶函数g（x）及奇函数h（x），使得f（x）=g（x）+h（x）。

分析：当一些问题不明朗时，分析法是探索问题解题途径的一种有效方法。我们由假设入手寻找所需要的奇函数和偶函数的表达式应该是什么？

证明：假设存在题中这样的g（x）及h（x），则应有：

（二）反证法在高等数学中的应用

（三）换元法在高等数学中的应用

这种处理方式的优点是导数作为一种计算手段可以在解题过程中得到应用。因此，在高等数学的学习过程中，不同的计算手段其繁简程度不同，借助等效思想利用简单的方法可以解决复杂的问题。

（五）数学归纳思想在高等数学中的应用

归纳思想是数学上的一种重要的思维方式，加强这个知识点的训练不仅在数学上有其需求，而且归纳思想的习惯养成对于我们今后工作生活方面都有益处。比如下面问题：

[例7]证明贝努利不等式：（x1+1）（x2+1）L（xn+1）≥1+x1+x2+L+xn，其中x1，x2，L，xn为同号且大于1的数。

这种关于自然数的命题，常常使用数学归纳法进行求解。

证明：当n=1的时候，此式取等号；

假设n=k时，不等式成立，即（x1+1）（x2+1）L（xk+1）≥1+x1+x2+L+xk；

则当n=k+1时：

（x1+1）（x2+1）L（xk+1+1）≥（1+x1+x2+L+xk）（xk+1+1）=1+x1+x2+L+xk+xk+1+x1xk+1+x2xk+1+L+xkxk+1≥1+x1+x2+L+xk+xk+1，结论成立。

于是对任意自然数n有（x1+1）（x2+1）L（xn+1）≥1+x1+x2+L+xn

三、总结归纳思想在高等数学学习中重要性的认识

古人云，欲先善其事，必先利其器。注重对已经学过的知识进行归纳总结就是学习数学的最好利器。下面通过几个例子来简单说明总结归纳思想的重要性。

最后再看一个例子体会一下对题型进行归纳总结的益处。

由以上分析及运算过程可以看出：几乎每一步的思路都是我们在平时学习中所积累的经验的指导下进行的。因此善于归纳总结题型及运算技巧、常见的处理问题方法才是解题的主旨。

参考文献：

[1]同济大学数学系编.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007，04.

[2]陈仲.高等数学竞赛题解析教程[M].南京：东南大学出版社，2012，01.

作者简介：

曾歆（1995-），男，四川泸州人，本科生，研究方向：信号处理。 刘海峰（1962-），男，江苏邳州人，博士，教授，研究方向：文本信息处理。

冯智源（1995-），女，河南方城县人，本科生， 研究方向：信号处理。