立足教材 拓展探究

甘晓云

摘要：近几年的中考数学所考查的内容越来越注重基础、立足教材，也越来越灵活。取之教材又高于教材，这就要求初中生在平时学习的过程中要学会拓展研究。本文以一道具体的课本问题为例对常见的正方形问题进行了拓展探究。

关键词：初中数学；正方形；拓展探究

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2014）03-0117

纵观近几年的中考数学试卷，其特点是起点低，入手容易，注重基础，知识覆盖面广，这说明中考强调基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验考查，尤其是部分中考试题直接从课本中取材，或适当对课本中的探究、例题、练习题等通过类比、加工，改造，加强条件或减弱条件，延伸或扩展，并不断设置新的问题情境。下面，笔者以一道具体的课本习题为例来谈一谈教学资源的整合及对其教育价值的挖掘。

原题 本题源于人教版《数学》八年级下册P121 10

如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE=CF，要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？

利用正方形的性质证明一对全等的直角三角形。

一、探究例题，用变题开拓思维

教材提供的仅仅是一种方向，一条线索，教师在面对教材时，完全可以根据实际需要对其进行增清、删减、调整、变换、延伸等“艺术”加工，赋予它新的生命，从而达到真正意义的利用教材。

探究1：ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，现从门E，F引路，

（1）如图1，所引的两条路两条路AF，BE，要BE⊥AF，垂足为O，这两条路等长吗？理由是什么？

同样利用正方形的性质和垂直的条件证明一对全等的直角三角形。

（2）如图2，现从E门引出的路为EH，此时F门所引的路FG⊥EH，垂足为O，请画出FG，并猜想路EH与FG的长度关系，说出你的理由。

两种辅助线，一是过E、F分别作垂线，其实可以看成把正方形的边往内部平移来构造全等的直角三角形。二是过A、B分别作GF、EH的平行线，构造出与图1一致的图形，在利用原来的证明方法证明。从中体现了化归的思想方法。

小结：在正方形中，两组对边所截得的互相垂直的线段相等。

探究2：如图3，在正方形ABCD中，点F在边CD上，FO⊥HO，若垂足O恰好落在对角线AC上时，请猜想OH和OF的关系。

同样通过构造了一对全等的直角三角形来解决问题。

二、拓展例题，融会贯通

拓展1

已知矩形ABCD，点E，F，G，H分别在矩形ABCD的边AD，DC，AB，BC上，EH⊥GF，垂足为O，EH=4。

（1）如图4，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GF的长。

（2）如图5，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GF的长（用n的代数式表示）。

拓展2

已知点F在矩形ABCD的边CD上，BO⊥FO，若垂足O恰好落在对角线AC上时，AB=4。

（1）如图5，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求■的值。

通过构造一对相似三角形来解决问题，与前面的解题思路相似。

（2） 如图6 ，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求■的值。

小结：通过对教材习题的多次拓展探究，从特殊到一般，从部分到整体，从中我们发现根本问题的解决来源于教材习题，所以在复习过程中，应立足教材，重视教材中典型的例题和习题，加强变式练习，从而提高自身能力。

三、反思例题，用变题激发潜能

在整个拓展探究中，还有很多值得商榷的地方，比如在探究1中，若点继续在边上移动着，能否移到边所在的直线外呢？当这些点分别在它们所在的直线上运动，保持GF与EH垂直，GF与EH相等吗？（如图）这里是通过适当删减条件，可把题目从特殊（上接第117页）转化为一般。

垂足落在正方形的边上，又会引发出哪些结论呢？

如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG。这时，EG=CF吗？

又如垂足在对角线上移动时，若垂足O刚好是正方形的中心，又会引发出哪些结论呢？

这里通过探究增加条件的变题，获取更多有用的结论。

最后，如果探究变换图形的变题如图，若将原题中的条件“正方形”改为“正三角形”， “AF⊥BE”改为“∠COF=60°”，其他条件不变，则原题的结论还成立吗？如果成立，请给出下面证明：如果不成立，请给出反例。

进一步如果将题中的条件“正三角形”改为“正五边形”，在AB上取一点G，连结EG，过点A作AF，且使得∠EOF=108°，那么此时EG与AF相等吗？是否还有其他的延伸呢？

图形虽然在变，但万变不离其宗，解题的方法没变，正方形是特殊的正多边形，从正方形具有的一般性结论自然地类比到了其他的正多边形，再进行相似探索、思考、研究相应的结论。

新课标强调，学生是学习的主人，教师要鼓励学生质疑、探究，在思考的过程中感受和体验数学知识产生、发展的过程。数学问题的探究往往是无穷尽的。通过变题，既能使学生高瞻远曙，又能有效地学习，从而提高学习效率。若教师在课前充分挖掘教材资源，在课堂中利用变题引导学生探索，则能激发他们的兴趣，甚至让学生学会变题。这样，不仅能巩固知识，挖掘不同知识点间的联系，而且能开拓学生的思维和视野，有事半功倍之效。

总之，在例习题教学中，教学资源无处不在、无时不在、取之不尽、用之不竭。教师要不断地探索、实践、反思，探究教学资源，妙用课堂资源。要贯彻新课程的教学理念，发挥例习题应有的教学价值，实施例习题教学的有效性，深入探究例习题蕴涵的宝藏，彰显数学独特的魅力。

（作者单位：广西南宁市新民中学 530000）