素环Jordan理想上广义导子的几个结果

杜奕秋，郭 靖

(吉林师范大学 数学学院，吉林 四平 136000)

0 引言

环上导子是微分的一种代数形式的推广，有丰富的研究内容和深刻的背景，特别是对于描述环的结构有重要作用.

设R是结合环，d：R→R是R上的可加映射，如果对任意的x,y∈R，有d(xy)=d(x)y+xd(y)，则称d为R上的一个导子.∀x,y∈R，记[x,y]=xy-yx，x∘y=xy+yx.如果对于a∈R，由2a=0，必有a=0，则称环R是2-扭自由的.如果R的可加子群J满足J∘R⊆J，则称J为R的Jordan理想.显然，R的理想都是Jordan理想，反之未必.如果对于任意的a,b∈R，由aRb=0，必有a=0或b=0，则称R为素环.如果对于任意的a∈R，由aRa=0，必有a=0，则称R为半素环.

1991年，Brešar提出了广义导子的概念，广义导子是导子的一种重要的推广.导子的很多结果都被推广到广义导子上来.

对于可加映射F:R→R，如果存在R上的一个导子d，使得对于任意的x,y∈R，都有F(xy)=F(x)y+xd(y)，则称F为R上的一个广义导子，d称为F的伴随导子.

对广义导子的研究已经取得了一些很好的结果[1-5,7-10,12-13].设R是结合环，Z(R)是环R的中心，J是R的非零Jordan理想．最近，Mahmmoud和Ahmed[11]研究了R的Jordan理想上满以下条件之一的带有伴随导子d的广义导子F：(i)[F(u),u]∈Z(R)，(ii)F(u)u=ud(u),(iii)d(u2)=2F(u)u,(iv)F(u2)=2uF(u),∀u∈J．

本文将在去掉“J是R的子环”的条件下研究满足以上条件的广义导子F.

1 主要结果

先给出Herstein的一个著名的结论及证明.

引理1.1[6,定理1.1]设R是2-扭自由半素环，则R的任何非零Jordan理想都包含R的一个非零理想.

证明设J是R的一个非零Jordan理想，则∀x∈R，a,b∈J，可得

[a∘b,x]=[a,x]∘b+a∘[b，x]∈J.

然而，由于a∘b∈J，所以(a∘b)∘x∈J.综上，对任意的x∈R，可得2x(a∘b)∈J.因此，对于任意的y∈R，有(2x(a∘b))∘y∈J.由于2yx(a∘b)∈J，所以2x(a∘b)y∈J，也就是2R(a∘b)R⊆J.则2R(a∘b)R为R的一个理想.下面证明2R(a∘b)R≠0.假设2R(a∘b)R=0，则有R(a∘b)R=0，因此((a∘b)R)2=0.由于R是半素环，所以对任意的a,b∈J，都有a∘b=0.特别地，可得a∘a=0，因此2a2=0.因此，对任意的a∈R，都有a2=0.

对任意的0≠a∈J，x∈R，有a∘(a∘x)=0，即有2xax=0，于是xax=0.也就是RaR=0，这与假设矛盾.也就是说，J包含R的一个非零理想.

引理1.2[11,定理3.2] 设R是特征不为2的素环，J是R的非零Jordan理想，且是R的子环.若R上存在带有非零伴随导子d的广义导子F，使得F在J上是中心化的，则J⊆Z(R).

引理1.3设R是特征不为2的素环，I是R的非零理想.如果I⊆Z(R)，则R是交换环.

证明假设I⊆Z(R)，则[IR，R]=0，则有I[R，R]=0，可得IR[R，R]=0.因此，由于R是素环，且I≠0，所以[R，R]=0，即R是交换环.

引理1.4[11，推论3.8] 设R是特征不为2的素环，I是R的非零理想．如果R上有广义导子F，d≠0为其伴随导子，使下列条件之一成立：

(i)F(u)u=ud(u),(ii)d(u2)=2F(u)u,(iii)F(u2)=2uF(u),

其中u∈I，则R是交换环：

如果下列条件之一成立：

(iv)F(u2)-2uF(u)=d(u2)-2ud(u),

(v)F2(u)+3d2(u)=2Fd(u)+2dF(u),

其中u∈I．则R是交换环或F=d．

引理1.5设R是特征不为2的素环，I是R的非零理想，F是R上的广义导子，d≠0为其伴随导子，使得对任意的u∈I，都有

(F(u)-d(u))u=0

(1)

则F=d．

证明将式(1)线性化，即令u=u+v可得

(F(u)-d(u))v+(F(v)-d(v))u=0

(2)

其中，u,v∈I．在式(2)中用vr替换u,其中r∈R，则由式(1)可得

(F(vr)-d(vr))v=0

其中，v∈I,r∈R．进一步可得

(F(v)-d(v))rv=0

其中，v∈I，r∈R．则由于R是素环，所以对于任意的v∈I，都有F(v)-d(v)=0．

再用rv替换v，其中r∈R，可得(F(r)-d(r))v=0，r∈R,v∈I．也就是，对于任意的r∈R，都有(F(r)-d(r))RI=0．由于R是素环，且I≠0，所以对于任意的r∈R，都有F(r)-d(r)=0．因此，F=d．

定理1.1设R是特征不为2的素环，J是R的非零Jordan理想.若R上存在带有非零伴随导子d的广义导子F，满足：

[F(u),u]∈Z(R)

其中u∈J.则R是交换环.

证明由引理1.1可知，J包含R的一个非零理想I.对I应用引理1.2，可得I⊆Z(R)，再由引理1.3，可得R是交换环.

显然，定理1.1推广了引理1.2.

定理1.2设R是特征不为2的素环，J是R的非零Jordan理想．如果R上有广义导子F，d≠0为其伴随导子，使下列条件之一成立：

(i)F(u)u=ud(u),(ii)d(u2)=2F(u)u,

(iii)F(u2)=2uF(u),

其中u∈J．则R是交换环，且F=d．

证明由引理1.1可知，J包含R的一个非零理想I．由题设可知，广义导子F满足下列条件之一：

(i)F(u)u=ud(u),(ii)d(u2)=2F(u)u,

(iii)F(u2)=2uF(u)，

其中u∈J．对I应用引理1.4，可得R是交换环．下面证明F=d．

如果条件(i)成立，则对任意的u∈I，可得(F(u)-d(u))u=0．则由引理1.5可得F=d;如果条件(ii)成立，则对任意的u∈I，可得d(u)u+ud(u)=2F(u)u,则有2(F(u)u-d(u))u=0.因此对任意的u∈I，有(F(u)-d(u))u=0．于是F=d;如果条件(iii)成立，则对任意的u∈I，可得F(u)u+ud(u)=2uF(u).则对任意的u∈I,有(F(u)-d(u))u=0.于是F=d．

显然，定理2.2推广了[11]定理3.3、定理3.6和定理3.7．

2 结论

本文讨论了素环、半素环的Jordan理想上满足一定条件的广义导子，利用素环、半素环的性质以及线性化和替换等代数手法给出了几个新的结果，将Mahmmoud和Ahmed在普通非零理想上的相关结果推广到了Jordan理想上，希望对进一步的研究工作有所帮助和启发.

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