立足本质，解法才变得简洁

林永

一、问题的提出

在高三的复习中，笔者出示了下列考题，但只有极小部分学生能入手，但因运算实在繁琐，又都有想放弃的念头.最后，经师生共同努力，才完成了问题的解答.

【例1】（2013年安徽高考理科卷第9题）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A、B满足|OA|=|OB|=OA·OB=2，则{P|OP=λOA+μOB，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（）.

A.22B.23C.42D.43

解：由|OA|=|OB|=OA·OB=2易得OA与OB的夹角为60°，可以建立如图1所示的平面直角坐标系，则OA=（2，0），OB=（1，3）.

设点P的坐标为（x，y），由OP=λOA+μOB可得x=2λ+μ，y=3μ，从而解得λ=x12-y123，μ=y13，

又|λ|+|μ|≤1，

所以|x12-y123|+|y13|≤1，即|3x-y|+|2y|≤3.下面只要作出此区域即可.

于是有如下分类：

3x-y≥0，

2y≥0，

3x-y+2y≤23；3x-y≥0，

2y≤0，

3x-y+2y≤23；

3x-y≤0，

2y≥0，

3x-y+2y≤23；3x-y≤0，

2y≤0，

3x-y+2y≤23.

可以作出如图2的矩形区域，易得面积为43.endprint