数学变式教学初探

廖助会

数学变式教学是一种注重结果但更注重过程的教学方式.在数学教学过程中，要求教师根据学生的年龄特征、认知水平和教学材料，通过对概念、性质、定理、公式及问题从不同角度、不同层次、不同情形、不同背景进行有效的变化，使条件或结论的形式或内容发生变化，以暴露问题的本质特征，揭示不同知识点间的内在联系.通过设计变式，激发学生认知上的不平衡，帮助学生在解答问题的过程中去寻找类似或相似问题的解题思路、方法，有意识地引导学生发现问题、分析问题和解决问题，进而抓住问题的本质特征.

图1【原题】如图1，已知点A（1，1）、B（3，4），P为直线l：x-y+2=0上的点，求|PA|+|PB|的最小值.

解：作点B关于直线的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，则l⊥BB′且l平分BB′.

设B′（x，y），则y-41x-3×1=-1

x+312-y+412+2=0x=2

y=5，故B′（2，5）.

所以，|PA|+|PB|的最小值为|AB′|=（2-1）2+（5-1）2=17.

【点评】变式教学应取材于简单、普遍的问题，学生都能接受.原题目不宜过难，重视通性、通法，重在激活学生思维，体现学生的主体地位.

【变式1】已知点A（1，1）、点B（3，4），P为直线l：x-y+2=0上的点，求|PB|-|PA|的最大值.

图2解：如图2所示，连接BA并延长BA交直线于点P，则|PB|-|PA|的最大值为|AB|=（3-1）2+（4-1）2=13.

【点评】变式1由原题产生，改变对原题的问法，把求和的最小值自然过渡为求差的最大值.通过改变结论，教师有的放矢地进行引导，有助于提高学生的数学思维能力.

【变式2】设点P是抛物线C：y2=4x上任意一点，点F为抛物线的焦点.已知点A（4，1），求|PA|+|PF|的最小值.

图3解：如图3，过A作AD⊥准线l，交准线l于点D，当A、P、D三点共线时，|PA|+|PF|=|AP|+|PD|=|AD|=5（最小）.

【点评】变式2在原题的基础上把在直线上找一点到两定点的距离之和最小演变成在抛物线（曲线）上找一点到两定点的距离之和最小.“变式”结合教学内容，符合学生的认知规律，符合教学目标.如果变式脱离学生实际，偏离了教学目标，那么这样的变式就显得毫无意义.

【变式3】已知双曲线x219-y2116=1的左、右焦点分别为F1、F2，点A（9，2），P为双曲线上一动点.求：

（1）|PA|+|PF2|的最小值.

（2）|PA|+315|PF2|的最小值.

图4解：（1）由题意可知a2=9，b2=16，c2=25，F1（-5，0），要使|PA|+|PF2|最小，显然点P要在双曲线的右支上.

由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a，即|PF2|=|PF1|-2a，

所以|PA|+|PF2|=|PA|+|PF1|-2a=（|PA|+|PF1|）-2a.

当P、A、F1共线时，|PA|+|PF1|取得最小值|AF1|=142+22=102.

连接AF1交双曲线的右支于点P1，即当A、P1、F1共线时，（|PA|+|PF2|）min=102-6.

（2）设l为双曲线的右准线，过点P作PH⊥l于H，

由双曲线的第二定义有|PF2|1|PH|=513得|PF2|=513|PH|，即315|PF2|=|PH|，

∴|PA|+315|PF2|=|PA|+|PH|≥|AH|.

当且仅当P为AH与双曲线右支的交点时，即A、P2、H共线时，|PA|+315|PF2|取得最小值|AH|=9-a21c=9-915=3615.

【点评】在学过的曲线中，除了抛物线外，还有双曲线和椭圆，通过改变条件，把上面的问题进一步变式.把在直线上找一点到两个定点的距离之和最小的问题，转化成在曲线上找一点到两个定点的距离之和最小的问题.通过改变条件，找出不同知识之间的联系与规律，加深对问题的理解能力.

（责任编辑黄桂坚）endprint