“导数的几何意义及其应用”教学设计

马科

【教学目标】

一、知识与能力

1.本节课是高三复习课.通过对“导数、平均变化率”的复习，明确探究导数的几何意义可依据导数概念的形成寻求解决问题的途径.

2.利用割线逼近的方法直观定义切线，概括导数的几何意义.

3.通过例题分类解析，让学生学会利用导数的几何意义求曲线的切线问题，加深对导数内涵的理解.在学习过程中感受数形结合、极限思想方法.

二、过程与方法

1.学生通过观察感知、动手探究等方法培养学生的动手和动脑的能力.

2.分类探究和分层练习，各种层次的学生都可以凭借自己的知识能力独立解决问题.

3.学生通过思考探究的3个问题，深化对切线定义的认知，小结形成求切线的步骤.

三、情感、态度与价值观

1.在探究过程中渗透极限思想，体验数形结合思想.

2.采用示范剖析、学生自主实践的方式，让学生理解和掌握基本数学技能、思想方法.

【教学重难点】

重点：理解和掌握切线的定义、导数的几何意义.

难点：体会数形结合、极限思想；利用导数的几何意义求曲线的切线.

【教学方法】分层探究、自主实践.

【教学过程】

一、回顾旧知，引入新课

1.师：平均变化率Δy1Δx=f（x0+Δx）-f（x0）1Δx的几何意义是什么？

生：割线的斜率.

2.函数在x=x0处的导数f′（x0）的定义：

f′（x0）=lim1Δx→0Δy1Δx=lim1Δx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx.

（即Δx→0，平均变化率趋于的确定常数就是该点导数.）

师：那么当Q点无限逼近P点时（Δx→0）即lim1Δx→0Δy1Δx，在图中又表示什么呢？今天我们就一起来探究导数的几何意义及应用.

二、引导探究，获得新知

1.动画演示，得到切线的新定义

已知曲线上点P处的切线PT和割线PQ，动画演示Q点无限逼近P点，即Δx→0，割线PQ的变化趋势.教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系？并体会从割线到切线的变化过程：

k割线=Δy1Δx=f（x0+Δx）-f（x0）1Δx

↓

当 Q点无限逼近P点时，即Δx→0时，割线 PQ的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率.

↓

k切线=f′（x0）=lim1Δx→0Δy1Δx=lim1Δx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx

学生观察，得出一般曲线的切线的定义：

曲线上Q点无限逼近P点，即Δx→0，割线PQ趋近于确定的位置PT，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线.

2.数形结合，概括导数的几何意义

导数f′（x0）的几何意义：函数f（x）在x=x0处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率，即k=lim1Δx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx=f′（x0）.

三、分层解析，巩固理解

师：由导数的几何意义，我们可以解决“切点—斜率—切线”知一求二问题，接下来我们重点研究曲线求切线问题.

1.分类解析（四种常见的类型）

题型一：已知切点，求曲线的切线方程.

此类题只需求出曲线的导数得到斜率，并代入点斜式方程即可.

【例1】曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为（）.

A.y=3x-4B.y=-3x+2

C.y=-4x+3D.y=4x-5

答案：B.

题型二：已知斜率，求曲线的切线方程.

此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决.

【例2】与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程是（）.

A.2x-y+3=0B.2x-y-3=0

C.2x-y+1=0D.2x-y-1=0

答案：D.

题型三：已知过曲线上一点，求切线方程.

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法.

【例3】求过曲线y=x3-2x上的点（1，-1）的切线方程.

题型四：已知过曲线外一点，求切线方程.

【变式训练】求函数y=x3-2x过点（0，16）的切线方程.

2.动手实践

【例4】已知曲线f（x）=x2+1.

（1）求曲线在点（2，5）处的切线方程；

（2）求曲线过点（2，-11）的切线方程.

3.方法总结

曲线y=f（x）“过”点P（x0，y0）与“在”点P（x0，y0）处的切线的区别：

①曲线y=f（x）过点P（x0，y0）的切线，是指切线经过P点，P点可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条；

②曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k=f′（x0），有唯一的一条切线.那么如果切线斜率不存在时，又会怎么样呢？请看思考探究.

四、思考探究，深化理解

1.如果曲线y=f（x）在x0处的导数不存在，那么曲线y=f（x）在x0处还存在切线吗，若存在，是什么？

2.曲线在某一点处的切线只能与曲线有唯一公共点吗？

3.说说曲线的切线定义与初中学习圆的切线定义有什么不同.

五、归纳总结，深化认识

1.知识：

（1）切线的定义；

（2）函数f（x）在x=x0处的导数f′（x0）的几何意义.

2.思想：体会数形结合、极限等思想方法.

3.应用：

（1）“切点—斜率—切线”知一求二；

（2）学生归纳出求切线的一般步骤.

【教学反思】

本节课是高三第一轮的复习课，学生对导数的概念及其几何意义都有了一定的认识，但很多学生由于初学时对知识掌握不牢固或理解不到位，往往知其然，而不知其所以然.因此，本节课从导数概念的复习入手，利用多媒体技术动画展示从割线到切线的形成过程并概括导数的几何意义，既让学生理解了曲线切线的定义，又让学生明确了探究导数的几何意义可依据导数概念的形成寻求解决问题的途径.利用数形结合思想方法让学生理解了割线通过无限逼近的方法，得到割线斜率的极限就是曲线在该点处的切线的斜率，深化了学生对导数几何意义的理解，突出了重点，突破了难点，更体现了新课程背景下对知识发生过程推导所占据的举足轻重的作用.

同时，为了适应高考对解题能力的要求，对导数几何意义的应用做了分类训练，便于学生理清思路，让学生在主动实践中归纳方法，举一反三，提高效率.通过“在”某点处和“过”某点的切线的对比，明确求解切线问题的关键是切点坐标，无论是已知切线斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在.最后，通过思考探究的3个问题的探讨，进一步深化对切线形成及导数几何意义的理解.

（责任编辑黄桂坚）endprint