浅谈《几何画板》在中学数学辅助教学中的作用

秦柳银

一、前言

数学教育不仅要培养学生计算、推理等逻辑思维能力，还要培养学生的直觉判断、形象思维、预感试验、分析归纳、综合构建、假设检验等非常规形式的思维推理能力，只有这样，学生的创造性素质才能提高.计算机辅助教学为实现这一数学教育思想创造了条件.《几何画板》因其入门容易和操作简单，具有强大的图形、图像功能和方便的动画功能，成为数学教学辅助软件中的佼佼者.

使用《几何画板》辅助教学，能使课堂形象生动，学生感知鲜明，印象深刻，可使抽象的理论具体化、形象化，能帮助学生更好地把握学科的内在实质，培养他们的观察能力、问题解决能力，并发展他们的思维能力.那么，《几何画板》在中学数学教学中有哪些具体作用？如何用《几何画板》优化数学课堂教学呢？下面笔者结合实例谈谈几点体会.

二、《几何画板》有利于创设良好的教学情境

新课标突出了教育目的在于育人，教学不应只是“授人以鱼”，更应是“授人以渔”.知识的学习并非是主体对客观现实的、被动的、镜面式的反映，而是一个主动的建构过程。因此，数学学科的教学重在引导学生走自主学习和探求知识之路.如何引导学生积极参与教学过程，使学生产生学习意向，引起认知需要，这就需要我们创设良好的教学情境.利用《几何画板》，我们可以把数学概念的形成过程充分地展现出来，还可以把“形”和“数”的潜在关系及其动态变化显示出来，便于学生观察和思考，使学生对知识形成主动建构，而非被动吸收.

图1例如，在教学“三角形的中位线”时，可用《几何画板》作△ABC，分别取AB、AC的中点D、E，联结DE（如图1）.接着测算出DE、BC，∠ADE、∠AED、∠ABC、∠ACB等，甚至把AB、AC也测量出来（干扰观察）.这些数据都动态地展现在屏幕上.然后让学生观察：你发现了什么？对于学生的任何发现，只要利用《几何画板》，拖动点A（或B或C），即可验证其结论正确与否.这为激发学生的学习兴趣，培养他们的观察、想象、归纳等能力创设了极好的情境，增强了教学的主动性和学生的参与性.

图2又如，在教学幂函数y=ax时，传统教学一般是对a取有限几个值作图观察后，就对其性质加以归纳概括.因为有限的几个图像无法让学生对幂函数形成整体的认识，学生对幂函数的性质并不能很好的掌握.借助《几何画板》，我们可以画出更多的幂函数图像，让学生进行对比观察，还可以对a连续取值，使图像动态变化（如图2）.有了更多的图像情境帮助思考，学生很容易观察到a值的改变对图像的影响.在此基础上再让学生对性质加以归纳，学生就能更好地掌握幂函数的本质.

三、《几何画板》有利于研究函数性质

数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”这句话不但深刻地揭示了数学中数与形之间的依存关系，还体现了辩证唯物主义的思想.把数形结合思想贯彻于数学学习过程的始终，是学好数学的关键之一.用《几何画板》能方便地作出各种函数图像，使抽象的数学知识形象、直观，因而它在研究函数性质方面有很大的优势.

如，研究y=x2到y=（x+a）2+b的平移变换，如果简单地告诉学生平移的规律，收效甚微.利用《几何画板》作出图3，只要点击按钮，改变a或b的值，就可使y=（x+a）2+b的图像左右或上下平移.学生通过反复观察图像移动与a、b的数量关系，就不难明白，当函数式中的a<0时，图像右移，当a>0时，图像左移；当b>0时，图像上移，当b<0时，图像下移.形象地显现图像的移动与参数a、b的关系，从而得出平移的规律.

图3

图4研究二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在指定区间上的值域时，学生常犯的一个错误是将区间端点代入得函数值，比较大小后得到最值.这时，可以用《几何画板》来解释错误的原因，作图4，通过拖动点m、n，二次函数值域即相应改变（用图中阴影部分表示），很容易说明最值不一定在端点处取得，需结合图像进行观察.

四、《几何画板》有利于研究立几问题

在运动中保持不变的几何关系是《几何画板》的精髓.画板中的几何图形无论如何变化，图形内部的几何关系都不变，这恰恰是几何学的实质，即在不断变化的几何图形中，研究不变的几何规律.

例如，三垂线定理的学习，用《几何画板》制作课件，把图形运动引入到教学中，用动态的眼光来研究定理的形成、发展、应用和延拓等阶段，从而摒弃静态图形的形状、大小、位置对学生认知的干扰，获得对定理深刻、全面的理解.在课件演示中，可以主要体现三种动态变化：一是改变斜线与平面所成角及斜线的位置，可让斜线绕斜足旋转或平移；二是平移平面上的直线，可以是经过斜足或垂足或它们之间或两边；三是平移或翻转平面.让学生接触和认识变化后的图形，从图形变化中观察定理是否仍然成立，从而揭示定理的本质：三垂线定理与直线在平面内的位置、平面的位置、斜线的位置无关，只与斜线、斜线在平面上的射影和平面内的直线的相互位置关系有关.通过这样的学习，学生对于三垂线定理能有较好的掌握，并能在各种不同的情境中加以运用.

五、《几何画板》有利于研究轨迹方程

探索动点的运动规律是解析几何教学的重点、难点.传统的“粉笔+黑板”的教学手段，由于难以进行“动态”处理，“动点”只能用黑板上一个静态的“定点”来加以表示，导致学生难以形成良好的运动观.加之在多数情况下只有求出轨迹方程后，才知道轨迹的真正形状，学习过程显得抽象且乏味.《几何画板》中的动画、追踪、轨迹等功能，恰好填补了传统教学在这一方面的空白，为轨迹方程的教学提供了良好的辅助.

图5例如，在学习相关点法求轨迹方程的时候，有题目如下：点A是圆O：x2+y2=16上的动点，过A作x轴的垂线，垂足为M，取AM中点B，求点B的轨迹方程.学生对于相关点法的解题思路难以掌握，对于点A、B为何“相关”也不易理解.借助《几何画板》的动态演示功能，作图（图5），拖动点A，带动点B运动，学生可以体会到点A、B的“相关性”.通过度量A、B的坐标，学生可以观察到点A、B的横坐标一致，而A的纵坐标是B的2倍，找到了A、B坐标的关系，为实现A、B坐标的相互转化奠定了基础，再引导学生思考如何把点A所受的限制转化为点B的限制条件，学生就可以顺利地把题目解决.还可以追踪点B的轨迹，验证所求轨迹方程的准确性.

六、《几何画板》有利于突破教学难点

人的认识是从具体到抽象，从感性到理性的过程，很多抽象的数学概念，因为缺少感性认识的基础，学生学习起来很困难.借助《几何画板》的作图功能和动态演示功能，可以讲明白一些用传统方法不易讲解的内容，利于突破难点，从而提高教学效果.

图6例如，在求函数值域的变式教学中，对于f（x）=x+11x（x>0）的值域，学生明白可以用基本不等式求解：y=x+11x≥2x·11x=2，当且仅当x=1的时等号成立，值域为[2，+∞）.若将条件变为“x≥2”，基本不等式失去了相等的条件，有学生认为既然无法相等，所以函数无最小值，值域应为（2，+∞）.这样理解显然是错的，但用传统方法较难解释，若借助《几何画板》作出y=x+11x的图像（如图6），可以清楚地看出函数在[2，+∞）上为增函数，最小值应为f（2）=512，从而使学生清楚地认识到此时不能用基本不等式法求值域，可通过单调性来求解.

又如，直线的倾斜角与直线斜率的关系，仅通过关系式k=tanθ来认识并不够.如图7，用《几何画板》可以在同一个坐标系中动态地显示当θ值变化时，k值的变化情况，把函数k=tanθ的图像也显示在屏幕上，这对于学生理解直线的斜率、倾斜角的内在联系，增强教学效果是显而易见的.

图7七、结论

《几何画板》功能强大，使用起来却非常简单.它能创设良好的教学情境，激发学生学习兴趣；它的数形结合功能，化抽象为形象，能帮助我们解决教学中的重点、难点；它在动态变化中保持不变的几何性质，能揭示知识的内在联系，便于把握问题的本质.它为数学课堂带来了教学内容、教学方法、教学模式的深刻变革，大大地提高了课堂教学效率，给数学课堂带来了勃勃生机.

（责任编辑黄桂坚）