圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用

毛芹

在高中数学教学中，重要的一部分内容就是圆锥曲线.圆锥曲线方程的解析方法、代数方法在平面曲线等方面发挥着强大的作用，圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用体现了数形结合思想.只要是和圆锥曲线相关的问题，都可以使用圆锥曲线方程进行解题.我们在本文中对圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用进行研究分析.

我们知道高中数学教学中涉及到的圆锥曲线参数方程分为5类：直线参数方程、圆参数方程、椭圆参数方程、双曲线参数方程、抛物线参数方程.圆锥曲线参数方程在高中数学学习中所占的比重较大，通过圆锥曲线参数方

程可以解决常见的问题，例如定值、最值、范围、轨迹等问题.这些是高中数学中最常见的问题，也是在数学题中占据比例较大的问题.我们以示例作为探究基础，对圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用进行研究.

1.利用圆锥曲线参数方程解决高中数学中遇到的最值问题

例1 椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），椭圆一个内接四边形ABCD，其各边和坐标轴平行，求这个四边形的最大面积和最大周长.

解析 根据题意设A（acosθ，bsinθ），由四边形的各边和坐标轴平行，我们可以得知四边形ABCD是一个矩形，则其面积为S=4（acosθ×bsinθ）=2absin2θ. S为最大值时，sin2θ为最大值，sin2θ为最大值，其最大值为1，当sin2θ=1时，S=2ab.四边形ABCD的周长为L=4（bsinθ+acosθ）=4（a2+b2）

1/2sin（θ+β）.

sinβ=a÷（a2+b2）1/2，cosβ=b÷（a2+b2）1/2.当sin（θ+β）最大时，四边形的周长最大，即sin（θ+β）=1，Lmax=4（a2+b2）1/2.

从这题的解析中我们不难发现其中使用到的圆锥曲线参数方程是椭圆参数方程，圆锥曲线参数方程在这个例题中的使用，主要是解决最值问题.

2.利用圆锥曲线参数方程解决高中数学中遇到的定值问题

例2 证明双曲线上的任意一点到两条渐近线的距离是一个定值.双曲线方程为

x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

证明 将双曲线上一点坐标设置为Q（asecθ，btanθ），双曲线的两条渐近线方程分别为：

bx+ay=0； bx-ay=0.则双曲线上的Q点到两条渐近线的距离为d1=（absecθ+abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d2=（absecθ-abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d1d2=a2b2（sec2θ-tan2θ）÷（a2+b2）=a2b2÷（a2+b2）为定值.

从这个例题中我们看出使用的是圆锥曲线参数方程中的双曲线参数方程，从这个问题中我们可以看出，圆锥曲线参数方程可以解决高中数学中遇到的定值问题.

3.利用圆锥曲线参数方程解决高中数学中遇到的轨迹问题

例3 在抛物线y2=2px（p>0）上的两个动点A，B满足OA ⊥OB，求弦AB中点M的轨迹方程.

解析 从题中的方程式进行分析，我们可以知道该方程为抛物线方程，所以我们将A的坐

标设为（2pt2，2pt），由OA⊥OB可以得出B点坐标为（2pt2，-2pt），将弦AB上的中点M坐标设置为（x，y），由此可以得出M点的运动轨迹方程.

M点的轨迹方程为x=p（t2+1t2），

y=p（t-1t）.

消去t得y2p2-xp=-2.因此可以得出弦AB中点M的轨迹方程为y2=p（x-2p）.

从该题进行分析，其中运用到的圆锥曲线参数方程为抛物线参数方程.想要将动点轨迹方程进行求解，需要使用参数方程，例题3中得出的M点运动轨迹方程为参数方程.

4.利用圆锥曲线参数方程解决高中数学中遇到的范围问题

例4 椭圆方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）和坐标轴的x正半轴相交，交点为A，

假设椭圆方程上始终有一点P，使得OP⊥PA，求椭圆离心率的范围.

解析 由题意可知A点的坐标为（a，0）.设椭圆上的点P坐标为（acosθ，bsinθ）.根据OP⊥PA可知：

bsinθacosθ

× bsinθacosθ-a=-1

，进一步将上式化简得出：

b2a2=1-11+cosθ

.因为OP⊥PA，进而得知0

b2=a2-c2，所以得出椭圆离心率e的取值范围为

21/22

例题4中涉及到的问题是范围问题，应用到的圆锥曲线参数方程是椭圆参数方程.

在高中数学中求范围的题所占的比例也很大，圆锥曲线参数方程在高中数学中的应用非常广泛，我们将其进行综合分析，圆锥曲线参数方程在高中数学中的应用，也就是求解最值、定值、点的运动轨迹方程、取值范围等，不管是圆锥曲线参数方程在5种参数方程的哪一种，在高中数学的应用都是相对较多的，所以圆锥曲线参数方程在高中数学中属于重点，也属于难点，需要学生认真的学习，针对相应的问题，深入的思考，采用合适的参数方程，才可以快速地解决数学问题，节约解题时间.在使用圆锥曲线方程进行解题的过程中，不能盲目地解题，需要锻炼解题思维，锻炼数学思维，在遇到数学问题时，就会沉着应对.通过将曲线方程转化为参数方程，将题的难度降低，运用数学思维解决问题，提高解题效率.

的优缺点，提升思维水平，这也从另一个方面强化了知识结构.

2.注重培养学生规范书写的习惯

对于规范书写，怎么强调都不过分.教师在平时的教学过程中，花点时间让学生练习规范书写也是值得的， 对于一道题， 可以尝试让学生多写几遍，最终再与比较规范的书写对照， 找出问题所在， 反复练习，最终使学生潜移默化地养成规范书写的习惯.笔者在二轮复习中，对于立体几何题目，一般都是让学生先独立完成，之后同桌互评，了解不同的方法.然后挑几个典型供大家分析、学习、欣赏，让学生来点评，找出其中的优缺点，最后假设自己是阅卷老师进行打分，从而促进学生眼中有图，脑中有路，心中有数.

在高中数学教学中，重要的一部分内容就是圆锥曲线.圆锥曲线方程的解析方法、代数方法在平面曲线等方面发挥着强大的作用，圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用体现了数形结合思想.只要是和圆锥曲线相关的问题，都可以使用圆锥曲线方程进行解题.我们在本文中对圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用进行研究分析.

我们知道高中数学教学中涉及到的圆锥曲线参数方程分为5类：直线参数方程、圆参数方程、椭圆参数方程、双曲线参数方程、抛物线参数方程.圆锥曲线参数方程在高中数学学习中所占的比重较大，通过圆锥曲线参数方

程可以解决常见的问题，例如定值、最值、范围、轨迹等问题.这些是高中数学中最常见的问题，也是在数学题中占据比例较大的问题.我们以示例作为探究基础，对圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用进行研究.

1.利用圆锥曲线参数方程解决高中数学中遇到的最值问题

例1 椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），椭圆一个内接四边形ABCD，其各边和坐标轴平行，求这个四边形的最大面积和最大周长.

解析 根据题意设A（acosθ，bsinθ），由四边形的各边和坐标轴平行，我们可以得知四边形ABCD是一个矩形，则其面积为S=4（acosθ×bsinθ）=2absin2θ. S为最大值时，sin2θ为最大值，sin2θ为最大值，其最大值为1，当sin2θ=1时，S=2ab.四边形ABCD的周长为L=4（bsinθ+acosθ）=4（a2+b2）

1/2sin（θ+β）.

sinβ=a÷（a2+b2）1/2，cosβ=b÷（a2+b2）1/2.当sin（θ+β）最大时，四边形的周长最大，即sin（θ+β）=1，Lmax=4（a2+b2）1/2.

从这题的解析中我们不难发现其中使用到的圆锥曲线参数方程是椭圆参数方程，圆锥曲线参数方程在这个例题中的使用，主要是解决最值问题.

2.利用圆锥曲线参数方程解决高中数学中遇到的定值问题

例2 证明双曲线上的任意一点到两条渐近线的距离是一个定值.双曲线方程为

x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

证明 将双曲线上一点坐标设置为Q（asecθ，btanθ），双曲线的两条渐近线方程分别为：

bx+ay=0； bx-ay=0.则双曲线上的Q点到两条渐近线的距离为d1=（absecθ+abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d2=（absecθ-abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d1d2=a2b2（sec2θ-tan2θ）÷（a2+b2）=a2b2÷（a2+b2）为定值.

从这个例题中我们看出使用的是圆锥曲线参数方程中的双曲线参数方程，从这个问题中我们可以看出，圆锥曲线参数方程可以解决高中数学中遇到的定值问题.

3.利用圆锥曲线参数方程解决高中数学中遇到的轨迹问题

例3 在抛物线y2=2px（p>0）上的两个动点A，B满足OA ⊥OB，求弦AB中点M的轨迹方程.

解析 从题中的方程式进行分析，我们可以知道该方程为抛物线方程，所以我们将A的坐

标设为（2pt2，2pt），由OA⊥OB可以得出B点坐标为（2pt2，-2pt），将弦AB上的中点M坐标设置为（x，y），由此可以得出M点的运动轨迹方程.

M点的轨迹方程为x=p（t2+1t2），

y=p（t-1t）.

消去t得y2p2-xp=-2.因此可以得出弦AB中点M的轨迹方程为y2=p（x-2p）.

从该题进行分析，其中运用到的圆锥曲线参数方程为抛物线参数方程.想要将动点轨迹方程进行求解，需要使用参数方程，例题3中得出的M点运动轨迹方程为参数方程.

4.利用圆锥曲线参数方程解决高中数学中遇到的范围问题

例4 椭圆方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）和坐标轴的x正半轴相交，交点为A，

假设椭圆方程上始终有一点P，使得OP⊥PA，求椭圆离心率的范围.

解析 由题意可知A点的坐标为（a，0）.设椭圆上的点P坐标为（acosθ，bsinθ）.根据OP⊥PA可知：

bsinθacosθ

× bsinθacosθ-a=-1

，进一步将上式化简得出：

b2a2=1-11+cosθ

.因为OP⊥PA，进而得知0

b2=a2-c2，所以得出椭圆离心率e的取值范围为

21/22

例题4中涉及到的问题是范围问题，应用到的圆锥曲线参数方程是椭圆参数方程.

在高中数学中求范围的题所占的比例也很大，圆锥曲线参数方程在高中数学中的应用非常广泛，我们将其进行综合分析，圆锥曲线参数方程在高中数学中的应用，也就是求解最值、定值、点的运动轨迹方程、取值范围等，不管是圆锥曲线参数方程在5种参数方程的哪一种，在高中数学的应用都是相对较多的，所以圆锥曲线参数方程在高中数学中属于重点，也属于难点，需要学生认真的学习，针对相应的问题，深入的思考，采用合适的参数方程，才可以快速地解决数学问题，节约解题时间.在使用圆锥曲线方程进行解题的过程中，不能盲目地解题，需要锻炼解题思维，锻炼数学思维，在遇到数学问题时，就会沉着应对.通过将曲线方程转化为参数方程，将题的难度降低，运用数学思维解决问题，提高解题效率.

的优缺点，提升思维水平，这也从另一个方面强化了知识结构.

2.注重培养学生规范书写的习惯

对于规范书写，怎么强调都不过分.教师在平时的教学过程中，花点时间让学生练习规范书写也是值得的， 对于一道题， 可以尝试让学生多写几遍，最终再与比较规范的书写对照， 找出问题所在， 反复练习，最终使学生潜移默化地养成规范书写的习惯.笔者在二轮复习中，对于立体几何题目，一般都是让学生先独立完成，之后同桌互评，了解不同的方法.然后挑几个典型供大家分析、学习、欣赏，让学生来点评，找出其中的优缺点，最后假设自己是阅卷老师进行打分，从而促进学生眼中有图，脑中有路，心中有数.

在高中数学教学中，重要的一部分内容就是圆锥曲线.圆锥曲线方程的解析方法、代数方法在平面曲线等方面发挥着强大的作用，圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用体现了数形结合思想.只要是和圆锥曲线相关的问题，都可以使用圆锥曲线方程进行解题.我们在本文中对圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用进行研究分析.

我们知道高中数学教学中涉及到的圆锥曲线参数方程分为5类：直线参数方程、圆参数方程、椭圆参数方程、双曲线参数方程、抛物线参数方程.圆锥曲线参数方程在高中数学学习中所占的比重较大，通过圆锥曲线参数方

程可以解决常见的问题，例如定值、最值、范围、轨迹等问题.这些是高中数学中最常见的问题，也是在数学题中占据比例较大的问题.我们以示例作为探究基础，对圆锥曲线参数方程在高中数学解题中的应用进行研究.

1.利用圆锥曲线参数方程解决高中数学中遇到的最值问题

例1 椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0），椭圆一个内接四边形ABCD，其各边和坐标轴平行，求这个四边形的最大面积和最大周长.

解析 根据题意设A（acosθ，bsinθ），由四边形的各边和坐标轴平行，我们可以得知四边形ABCD是一个矩形，则其面积为S=4（acosθ×bsinθ）=2absin2θ. S为最大值时，sin2θ为最大值，sin2θ为最大值，其最大值为1，当sin2θ=1时，S=2ab.四边形ABCD的周长为L=4（bsinθ+acosθ）=4（a2+b2）

1/2sin（θ+β）.

sinβ=a÷（a2+b2）1/2，cosβ=b÷（a2+b2）1/2.当sin（θ+β）最大时，四边形的周长最大，即sin（θ+β）=1，Lmax=4（a2+b2）1/2.

从这题的解析中我们不难发现其中使用到的圆锥曲线参数方程是椭圆参数方程，圆锥曲线参数方程在这个例题中的使用，主要是解决最值问题.

2.利用圆锥曲线参数方程解决高中数学中遇到的定值问题

例2 证明双曲线上的任意一点到两条渐近线的距离是一个定值.双曲线方程为

x2a2+y2b2=1（a>b>0）.

证明 将双曲线上一点坐标设置为Q（asecθ，btanθ），双曲线的两条渐近线方程分别为：

bx+ay=0； bx-ay=0.则双曲线上的Q点到两条渐近线的距离为d1=（absecθ+abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d2=（absecθ-abtanθ）÷（a2+b2）1/2，d1d2=a2b2（sec2θ-tan2θ）÷（a2+b2）=a2b2÷（a2+b2）为定值.

从这个例题中我们看出使用的是圆锥曲线参数方程中的双曲线参数方程，从这个问题中我们可以看出，圆锥曲线参数方程可以解决高中数学中遇到的定值问题.

3.利用圆锥曲线参数方程解决高中数学中遇到的轨迹问题

例3 在抛物线y2=2px（p>0）上的两个动点A，B满足OA ⊥OB，求弦AB中点M的轨迹方程.

解析 从题中的方程式进行分析，我们可以知道该方程为抛物线方程，所以我们将A的坐

标设为（2pt2，2pt），由OA⊥OB可以得出B点坐标为（2pt2，-2pt），将弦AB上的中点M坐标设置为（x，y），由此可以得出M点的运动轨迹方程.

M点的轨迹方程为x=p（t2+1t2），

y=p（t-1t）.

消去t得y2p2-xp=-2.因此可以得出弦AB中点M的轨迹方程为y2=p（x-2p）.

从该题进行分析，其中运用到的圆锥曲线参数方程为抛物线参数方程.想要将动点轨迹方程进行求解，需要使用参数方程，例题3中得出的M点运动轨迹方程为参数方程.

4.利用圆锥曲线参数方程解决高中数学中遇到的范围问题

例4 椭圆方程x2a2+y2b2=1（a>b>0）和坐标轴的x正半轴相交，交点为A，

假设椭圆方程上始终有一点P，使得OP⊥PA，求椭圆离心率的范围.

解析 由题意可知A点的坐标为（a，0）.设椭圆上的点P坐标为（acosθ，bsinθ）.根据OP⊥PA可知：

bsinθacosθ

× bsinθacosθ-a=-1

，进一步将上式化简得出：

b2a2=1-11+cosθ

.因为OP⊥PA，进而得知0

b2=a2-c2，所以得出椭圆离心率e的取值范围为

21/22

例题4中涉及到的问题是范围问题，应用到的圆锥曲线参数方程是椭圆参数方程.

在高中数学中求范围的题所占的比例也很大，圆锥曲线参数方程在高中数学中的应用非常广泛，我们将其进行综合分析，圆锥曲线参数方程在高中数学中的应用，也就是求解最值、定值、点的运动轨迹方程、取值范围等，不管是圆锥曲线参数方程在5种参数方程的哪一种，在高中数学的应用都是相对较多的，所以圆锥曲线参数方程在高中数学中属于重点，也属于难点，需要学生认真的学习，针对相应的问题，深入的思考，采用合适的参数方程，才可以快速地解决数学问题，节约解题时间.在使用圆锥曲线方程进行解题的过程中，不能盲目地解题，需要锻炼解题思维，锻炼数学思维，在遇到数学问题时，就会沉着应对.通过将曲线方程转化为参数方程，将题的难度降低，运用数学思维解决问题，提高解题效率.

的优缺点，提升思维水平，这也从另一个方面强化了知识结构.

2.注重培养学生规范书写的习惯

对于规范书写，怎么强调都不过分.教师在平时的教学过程中，花点时间让学生练习规范书写也是值得的， 对于一道题， 可以尝试让学生多写几遍，最终再与比较规范的书写对照， 找出问题所在， 反复练习，最终使学生潜移默化地养成规范书写的习惯.笔者在二轮复习中，对于立体几何题目，一般都是让学生先独立完成，之后同桌互评，了解不同的方法.然后挑几个典型供大家分析、学习、欣赏，让学生来点评，找出其中的优缺点，最后假设自己是阅卷老师进行打分，从而促进学生眼中有图，脑中有路，心中有数.