点到直线距离公式的证法综述

李守峰

设点P（x0，y0），直线L：Ax+By+C=0.则点P（x0，y0）到直线L：Ax+By+C=0的距离为d=|Ax0+By0+C|A2+B2.本文从这个公式的多种思路证明说明教材的基本结论对培养学生思维能力的重要性，并且通过对多重证明情况的分析，达到既对证明思路进行创新，又对所学知识进行相应的复习与整合，从而达到事半功倍的效果.

1.循规但不蹈矩，教材证法寻求创新

分析教材中的证明，运用了数轴上两点间的距离公式、勾股定理和三角形的面积法，这种证法既有一定的技巧，有易于学生接受，而且过程简单.

证明1 如图1所设，

则有：Ax0+Bn+C=0，Am+By0+C=0.

且|PR|2=（m-x0）2=（Am-Ax0）2A2

=（-By0-C-Ax0）2A2=（Ax0+By0+C）2A2.

同理|PS|2=（Ax0+By0+C）2B2.

所以|PQ|2=|PR|2|PS|2|PR|2+|PS|2=（Ax0+By0+C）2A2+B2即：d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

2.麻烦但不放弃，教材提示彰显功底

分析 教材中给出提示，只需求出垂线的垂足，利用两点间的距离公式即可.这种思维非常直接.但是在学生解垂足时显得有些困难，好多学生不能正确解得方程组，因此尽管思路无障碍，但是具体过程让学生望而生畏！教材中采取提示处理，既给学生指出了一种思路，又给学生课下钻研的机会，可谓是欲擒故纵！

证明2 因为过点P（x0，y0）垂直于直线L：Ax+By+C=0的直线为Bx-Ay=Bx0-Ay0.

解方程组Ax+By+C=0，

Bx-Ay=Bx0-Ay0

得x0-x=A（Ax0+By0+C）A2+B2，

y0-y=B（Ax0+By0+C）A2+B2，

所以|PQ|2=（x0-xQ）2+（y0-yQ）2，代入整理得

d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

3.构造函数模型，距离转为最值问题

分析 由于点到直线上任意一点的距离是关于“点”的函数，而点到直线的距离正是上述函数的最小值，因此想到构造点到直线上任一点的距离的函数，然后再求它的最小值.

证明3 设Q（x，y）为直线L：Ax+By+C=0上的动点，则y=-

Ax+CB.

所以|PQ|2=（x0-x）2+（y0-y）2

=（x0-x）2+（y0+Ax+CB）2=A2+B2B2x2+2·ABy0-B2x0+ACB2x+x20+（y0+CB）2.

易知当x0-x=A（Ax0+By0+C）A2+B2时，|PQ|2取得最小值.

这时y0-y=y0+Ax+CB=Ax0+By0+CB-A（x0-x）B=B（Ax0+By0+C）A2+B2.

所以易得d=PQ|min=|Ax0+By0+C|A2+B2.

4.构造不等模型，最值化为取等问题

说明：在方法3的基础上，运用柯西不等式直接求出两点间距离的最小值，即为点到直线的距离.这种方式大大简化了思维过程和运算量，给人以简单明了的感觉.

证明4 设Q（x，y）为直线L：Ax+By+C=0上的动点

则|PQ|2=（x0-x）2+（y0-y）2=（Ax0-Ax）2A2+（By0-By）2B2≥（Ax0-Ax+By0-By）2A2+B2=（Ax0+By0+C）2A2+B2.

故有：d=|Ax0+By0+C|A2+B2.（取等号条件为x0-xA=y0-yB，这时Q为垂足）

5.构造向量模型，距离化为射影问题

分析 以直线上任一点为起点，定点为终点作向量，则该点到直线的距离又转化为向量在直线上的射影问题，为此有如下的解法.

证明5 在直线L上任取一点Q（x，y），过Q作直线L的法向量QB， 则QB=（A，B）.

易知点P到L的距离等于向量QP在QB上的射影的绝对值.

所以d=|PQ| |cosθ|=|QP||OP·QA||QP||QA|=

|QP·OA||QA|

=|（A，B）·（x0-x1，y0-y1）|A2+B2=

|A（x0-x1）+（By0-y1）|A2+B2=

|Ax0+By0-（Ax1+By1）|A2+B2=|Ax0+By0+C|A2+B2.

6.引入参数变量，距离转为有向线段的模

分析 由一点向已知直线作垂线，垂线的方程可用参数方程表示，这样只要求出垂足对应的有向线段，则该有向线段的长即为点到直线的距离，为此又得

证明6 设PQ⊥L，因为L：Ax+By+C=0，

则PQ的斜率为BA（斜率不存在的情况略），故直线PQ的参数方程为x=x0+tcosθ，

y=y0+tsinθ（tanθ=BA），所以L：A（x0+tcosθ）+B（y0+tsinθ）+C=0，解得：t=

Ax0+By0+CAcosθ+Bsinθ=Ax0+By0+CA2+B2，

即：d=|t|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

7.运用直线参数方程，距离化为有向线段最小值

分析 构造过定点的旋转直线系，当旋转直线系中的某条直线与已知直线垂直时，则该直线的对应有向线段的长度即为点到直线的距离.

证明7 将x=x0+tcosθ，

y=y0+tsinθ （t，θ均为参数）代入L得 A（x0+tcosθ）+B（y0+tsinθ）+C=0，解得：t=-Ax0+By0+CAcosθ+Bsinθ.

由几何意义可知，上述|t|的最小值即为点P（x0，y0）到直线L：Ax+By+C=0 的距离.

|t|=|Ax0+By0+CAcosθ+Bsinθ|=|Ax0+By0+CA2+B2sin（θ+φ）|≥|Ax0+By0+C|A2+B2.

8.运用面积公式，距离化为底边高

分析 若取直线上任意两点，该两点与定点构成三角形，该三角形的面积可用三顶点的坐标行列式表示，而边上的高（点到直线的距离）正好可用面积法求得，为此得

证明8 如图，易知S△PAB=12|x0y01

x1y11

x2y21|

=|12Bx0Ax0+By0+C1

x1Ax1+By1+C1

x2Ax2+By2+C1|

=|12Bx0Ax0+By0+C1

x101

x201|

=

12||Ax0+By0+C|A2+B2||x1-x2B|A2+B2

.而|AB|=

1BA2+B2|x1-x2|，所以S△PAB=12|AB||Ax0+By0+CA2+B2|，d=|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

9.借助向量求射影，运用勾股定理求距离

分析 如图，由向量的性质可求得直线的法向量，然后再求法向量的模即可.为此又得

证明9 在直线L：Ax+By+C=0上任取两点A、B，过P（x0，y0）作PQ⊥L，Q为垂足，并设：A（x1，y1），B（x2，y2）， 记Δx=x2-x1，Δy=y2-y1，易得Δy=-AB·Δx，

由图形可知： |AQ|=|AP||cosAP，AB|=|AP|×|AP·AB||AP||AB|=|AP·AB||AB|=|（x0-x1，y0-y1）·（Δx，Δy）|（Δx）2+（Δy）2=|（Δx（x0-x）+Δy（y0-y1）|Δx2+Δy2.

所以 |PQ|2=|AP|2-|AQ|2

=（x0-x1）2+（y0-y1）2-[（Δx（x0-x）+Δy（y0-y1]2（Δx）2+（Δy）2=[（Δx（x0-x）-Δy（y0-y1]2（Δx）2+（Δy）2.将Δy=-AB·（Δx）代入并化简得d=|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

10.借助法向量，过程巧处理

分析 由于垂足指向定点的向量与直线的法向量共线

，故设出垂足的坐标后，可得关于垂足的两个方程，将这两个方程适当变形即可构造出两点间的距离表达式，这种解法可谓独具匠心！

证明10 过点P（x0，y0）作垂直于直线L：Ax+By+C=0的直线，设垂足为Q.

则B（x1-x0）-A（y1-y0）=0，

Ax1+By1+C=0，

即：B（x1-x0）-A（y1-y0）=0，

A（x1-x0）+B（y1-y0）=-（Ax0+By0+C）. （1）

（2）

（1）的平方+（2）的平方得： （A2+B2）[（x1-x0）2+（y1-y0）2]=（Ax0+By0+C）2

所以：|PQ|2=（x0-x1）2+（y0-y1）2=（Ax0+By0+C）2A2+B2，所以d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

由此可见：教材是法宝，它蕴含着无穷的力量，教学中一定要牢牢抓住教材这个根本.任何舍本求末的作法都偏离了教学之根本，任何的题海战术只能是通过大量的体力付出，结果收效甚微.如果我们注重教材的挖掘，不但能减轻学生的课业负担，而且培养学生注重基础知识的运用，寻找知识之间的联系，从而达到触类旁通、举一反三的目的.我们的师生是不是可以达到教与学是一种享受的境界呢！

由几何意义可知，上述|t|的最小值即为点P（x0，y0）到直线L：Ax+By+C=0 的距离.

|t|=|Ax0+By0+CAcosθ+Bsinθ|=|Ax0+By0+CA2+B2sin（θ+φ）|≥|Ax0+By0+C|A2+B2.

8.运用面积公式，距离化为底边高

分析 若取直线上任意两点，该两点与定点构成三角形，该三角形的面积可用三顶点的坐标行列式表示，而边上的高（点到直线的距离）正好可用面积法求得，为此得

证明8 如图，易知S△PAB=12|x0y01

x1y11

x2y21|

=|12Bx0Ax0+By0+C1

x1Ax1+By1+C1

x2Ax2+By2+C1|

=|12Bx0Ax0+By0+C1

x101

x201|

=

12||Ax0+By0+C|A2+B2||x1-x2B|A2+B2

.而|AB|=

1BA2+B2|x1-x2|，所以S△PAB=12|AB||Ax0+By0+CA2+B2|，d=|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

9.借助向量求射影，运用勾股定理求距离

分析 如图，由向量的性质可求得直线的法向量，然后再求法向量的模即可.为此又得

证明9 在直线L：Ax+By+C=0上任取两点A、B，过P（x0，y0）作PQ⊥L，Q为垂足，并设：A（x1，y1），B（x2，y2）， 记Δx=x2-x1，Δy=y2-y1，易得Δy=-AB·Δx，

由图形可知： |AQ|=|AP||cosAP，AB|=|AP|×|AP·AB||AP||AB|=|AP·AB||AB|=|（x0-x1，y0-y1）·（Δx，Δy）|（Δx）2+（Δy）2=|（Δx（x0-x）+Δy（y0-y1）|Δx2+Δy2.

所以 |PQ|2=|AP|2-|AQ|2

=（x0-x1）2+（y0-y1）2-[（Δx（x0-x）+Δy（y0-y1]2（Δx）2+（Δy）2=[（Δx（x0-x）-Δy（y0-y1]2（Δx）2+（Δy）2.将Δy=-AB·（Δx）代入并化简得d=|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

10.借助法向量，过程巧处理

分析 由于垂足指向定点的向量与直线的法向量共线

，故设出垂足的坐标后，可得关于垂足的两个方程，将这两个方程适当变形即可构造出两点间的距离表达式，这种解法可谓独具匠心！

证明10 过点P（x0，y0）作垂直于直线L：Ax+By+C=0的直线，设垂足为Q.

则B（x1-x0）-A（y1-y0）=0，

Ax1+By1+C=0，

即：B（x1-x0）-A（y1-y0）=0，

A（x1-x0）+B（y1-y0）=-（Ax0+By0+C）. （1）

（2）

（1）的平方+（2）的平方得： （A2+B2）[（x1-x0）2+（y1-y0）2]=（Ax0+By0+C）2

所以：|PQ|2=（x0-x1）2+（y0-y1）2=（Ax0+By0+C）2A2+B2，所以d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

由此可见：教材是法宝，它蕴含着无穷的力量，教学中一定要牢牢抓住教材这个根本.任何舍本求末的作法都偏离了教学之根本，任何的题海战术只能是通过大量的体力付出，结果收效甚微.如果我们注重教材的挖掘，不但能减轻学生的课业负担，而且培养学生注重基础知识的运用，寻找知识之间的联系，从而达到触类旁通、举一反三的目的.我们的师生是不是可以达到教与学是一种享受的境界呢！

由几何意义可知，上述|t|的最小值即为点P（x0，y0）到直线L：Ax+By+C=0 的距离.

|t|=|Ax0+By0+CAcosθ+Bsinθ|=|Ax0+By0+CA2+B2sin（θ+φ）|≥|Ax0+By0+C|A2+B2.

8.运用面积公式，距离化为底边高

分析 若取直线上任意两点，该两点与定点构成三角形，该三角形的面积可用三顶点的坐标行列式表示，而边上的高（点到直线的距离）正好可用面积法求得，为此得

证明8 如图，易知S△PAB=12|x0y01

x1y11

x2y21|

=|12Bx0Ax0+By0+C1

x1Ax1+By1+C1

x2Ax2+By2+C1|

=|12Bx0Ax0+By0+C1

x101

x201|

=

12||Ax0+By0+C|A2+B2||x1-x2B|A2+B2

.而|AB|=

1BA2+B2|x1-x2|，所以S△PAB=12|AB||Ax0+By0+CA2+B2|，d=|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

9.借助向量求射影，运用勾股定理求距离

分析 如图，由向量的性质可求得直线的法向量，然后再求法向量的模即可.为此又得

证明9 在直线L：Ax+By+C=0上任取两点A、B，过P（x0，y0）作PQ⊥L，Q为垂足，并设：A（x1，y1），B（x2，y2）， 记Δx=x2-x1，Δy=y2-y1，易得Δy=-AB·Δx，

由图形可知： |AQ|=|AP||cosAP，AB|=|AP|×|AP·AB||AP||AB|=|AP·AB||AB|=|（x0-x1，y0-y1）·（Δx，Δy）|（Δx）2+（Δy）2=|（Δx（x0-x）+Δy（y0-y1）|Δx2+Δy2.

所以 |PQ|2=|AP|2-|AQ|2

=（x0-x1）2+（y0-y1）2-[（Δx（x0-x）+Δy（y0-y1]2（Δx）2+（Δy）2=[（Δx（x0-x）-Δy（y0-y1]2（Δx）2+（Δy）2.将Δy=-AB·（Δx）代入并化简得d=|PQ|=|Ax0+By0+C|A2+B2.

10.借助法向量，过程巧处理

分析 由于垂足指向定点的向量与直线的法向量共线

，故设出垂足的坐标后，可得关于垂足的两个方程，将这两个方程适当变形即可构造出两点间的距离表达式，这种解法可谓独具匠心！

证明10 过点P（x0，y0）作垂直于直线L：Ax+By+C=0的直线，设垂足为Q.

则B（x1-x0）-A（y1-y0）=0，

Ax1+By1+C=0，

即：B（x1-x0）-A（y1-y0）=0，

A（x1-x0）+B（y1-y0）=-（Ax0+By0+C）. （1）

（2）

（1）的平方+（2）的平方得： （A2+B2）[（x1-x0）2+（y1-y0）2]=（Ax0+By0+C）2

所以：|PQ|2=（x0-x1）2+（y0-y1）2=（Ax0+By0+C）2A2+B2，所以d=|Ax0+By0+C|A2+B2.

由此可见：教材是法宝，它蕴含着无穷的力量，教学中一定要牢牢抓住教材这个根本.任何舍本求末的作法都偏离了教学之根本，任何的题海战术只能是通过大量的体力付出，结果收效甚微.如果我们注重教材的挖掘，不但能减轻学生的课业负担，而且培养学生注重基础知识的运用，寻找知识之间的联系，从而达到触类旁通、举一反三的目的.我们的师生是不是可以达到教与学是一种享受的境界呢！