替代性产品在广告媒介下的扩散动态研究

谭建+王先甲

收稿日期：2012-09-06

基金项目：国家自然科学基金项目（71231007；71071119）

作者简介：谭 建（1982-），男，湖北武汉人，博士、副教授，研究方向为博弈论、供应链管理；王先甲（1957-），男，湖北武汉人，博士生导师、教授，研究方向为机制设计、拍卖。

摘要：通过微分方程建立广告媒介下具有替代关系的产品扩散动态模型，并运用向量场与相轨线图，分析了具有不同竞争力的企业所生产的产品在具有替代性时它们之间竞争情形下的市场稳定状态，研究结果表明：具有替代性的两类产品，在广告的作用下要么共存于市场，要么只有其中一类产品存在于市场，而这取决于双方的广告竞争力。同时也解释了在替代性产品市场竞争中，企业在进入市场初期往往采用模仿策略，在占据一定的市场份额后则采取差异最大化策略的原因。

关键词：广告；替代性产品；扩散；动态

中图分类号：F713.36 文献标识码：A 文章编号：1001-8409（2014）03-0110-04

Research on Alternative Products Diffusion

Dynamic Model with Advertising

TAN Jian1， WANG Xian-jia2

（1.School of Management Science and Project Management， Guizhou University of Finance and Economics， Guizhou 550003；

2. School of Economics and Management， Wuhan University， Wuhan 430072）

Abstract： This paper established dynamics diffusion models of alternative products under advertising media， analyzed the market steady state of different competitive enterprises with alternative products. The results show that： For two kinds of alternative products， by the role of advertising， or co-exist in the market， or only one kind of product exists in the market， which depends on the advertising competitiveness of the enterprises. Also the results explained the reason why enterprises are often used to imitation strategy at the initial stage after entering the market， after occupying part of the market， the enterprises transform to the difference-maximizing strategy.

Key words： advertising； alternative； diffusion； dynamic

引言

产品扩散理论主要描述新产品服务在经济系统中的扩散过程，用于产品的市场预测，确定产品的生命周期，帮助管理者做决策等。最早的产品扩散模型是Bass在1969年提出的[1]，该模型被应用于耐用品、信息技术的扩散研究中[2～6]，且许多学者在此模型的基础之上，进行了各种模型推广[7～9]。Mahajan等在假设传播渠道中只有人际交流，分析了新品牌加入市场竞争对总体市场规模和老品牌销售的影响，构建了MSB模型[10～11]；艾兴政和唐小我主要运用logistic模型研究了竞争情形下两种品牌竞争与扩散模型[12～13]；丁士海等在考虑竞争与重复购买因素时耐用品品牌扩散机理，提出了耐用品两个品牌的竞争与重复购买扩散模型[14]。当产品的价格与质量一定，无市场营销时，产品的市场扩散就遵循固有的市场规律，即在产品价格与质量既定的情况下，产品有其固定的市场自然增长律。在有产品广告的作用下，由广告所引起的产品的市场扩散也有一定的增长规律，而该增长规律与产品固定的自然增长率是完全不同的。在此观点下对替代性产品在广告媒介作用下的扩散规律进行研究是本文与上述文献的重要区别。

本文在以上文献基础上，假定产品价格与质量既定的情况下，产品市场在其固有的市场增长率的前提下，建立广告媒介下的具有替代关系的产品扩散模型，分析具有不同竞争力的企业所生产具有替代性的产品扩散问题，主要目的是研究具有替代关系的产品是如何进行市场扩张及其扩张的最终结果。

1 问题分析

记企业i（i=1，2）在t时刻的消费者数量为di（t），ri是在市场规律下，在产品价格与质量既定下其自身的固有增长律，例如可以看作是消费者之间信息的传播导致的市场增长。Ni表示企业i无广告投入时产品i的最大市场消费者容量，mi表示投入的广告费用。由于广告投入，使得更多的消费者知道该产品，从而有可能导致广告投入时消费者数量超过Ni。

因此，根据BASS扩散模型[7]，对于该企业的消费者有：

di（t）·=（ridi+γimi）（1-di/Ni）（1）

其中γi表示广告的效率，因子（1-di/Ni）反映的是由于市场上有限的消费者的占有而导致的对它本身增长的阻滞作用。

若两个生产具有替代性产品的企业在同一市场，企业2的广告对企业1的消费者增长会起到一定的阻滞作用，其原因表现在两个方面：第一，企业2的消费者越多，在市场一定的情况下，企业1的消费者增长速度也就越慢。第二，企业2所做的广告会说服企业1的消费者购买其产品，因此，企业2的广告投入对企业1的消费市场的增长也起到一定的阻滞作用。同理，企业1的广告对企业2也从这两个方面起到一定的阻滞作用。综合这两个因素，设δi为阻滞因子，若0<δi<1，则表示在属于企业i的产品市场竞争中企业j的竞争能力没有企业i的竞争能力强；若δi>1则表示在属于企业i的产品市场竞争中企业j的竞争能力强于企业i的竞争能力。企业j投入的广告量越大，δi就越大。根据式（1），在其中添加由于企业2的进入而导致阻滞因子改变的一项-δ1d2/N2。另外，由于企业的广告投入，也使得消费者数量的增长率提高。

2 模型建立

根据以上对问题的分析，得到企业1、企业2的消费者增长方程为：

d1（t）·=f（d1，d2）=（r1d1+γ1m1）（1-d1/N1-δ1d2/N2） （2）

d2（t）·=g（d1，d2）=（r2d2+γ2m2）（1-d2/N2-δ2d1/N1） （3）

其中，γi为企业i的广告效率。δi为单位j产品吸引i产品顾客的能力，即企业j对企业i的阻滞系数。对于两家企业之间的竞争，阻滞系数δi是非常关键的指标。

由于是研究两家企业广告与产品本身的竞争的结果，即当t→∞时d1（t）、d2（t）的趋向，因此本文只对其平衡点进行稳定性分析。根据微分方程式（2）、式（3），并求解方程组，得到4个平衡点：

P1（-γ1m1r1，-γ2m2r2），P2（N1+γ2N1δ1m2N2r2，

-γ2m2r2），P3（N11-δ11-δ1δ2，N21-δ21-δ1δ2），P4（-γ1m1r1，N2+γ1N2δ2m1N1r1）

其对应的系数矩阵为：A=fd1fd2

gd1gd2=-r1d1+m1γ1N1+r1（1-d1N1-d2δ1N2）-（r1d1+m1γ1）δ1N2

-（r2d2+m2γ2）δ2N1-r2d2+m2γ2N2+r2（1-d2N2-d1δ2N1）

判定条件为：p=-（fd1+gd2）|pi，i=1，2，3，4，q=detA|pi，i=1，2，3，4。

结合相平面图，δ1、δ2的取值范围不同，直线f（d1，d2）=0和直线g（d1，d2）=0在相平面上的位置也有所不同。

3 模型分析

命题1：平衡点P1（-γ1m1/r1，-γ2m2/r2）为不稳定点。

证明：由于p=

-N1r1[m2γ2（r1δ1+r2）+N2r2（r1+r2）]+m1N2γ1r2（r1+r2δ2）N1N2r1r2<0，因此P1点为不稳定点。

命题1说明，对于纯广告竞争，最后生产替代性产品的两家企业都不可能倒闭。

命题2：当δ2>1，δ1<1，δ1δ2>1时，式（2）、式（3）存在稳定点P2（N1+γ2N1δ1m2/（N2r2），-γ2m2/r2）。

证明：对于平衡点P2（N1+γ2N1δ1m2/（N2r2），-γ2m2/r2），由于：

p=m1N2γ1r2+N1{N2r2[r1+r2（δ2-1）]+m2γ2[r1δ1+r2（δ1δ2-1）]}N1N2r1

q=m1N2γ1r2+N1r1（N2r2+m2γ2δ1）[N2r2（δ2-1）+m2γ2（δ1δ2-1）]N1N22r1

要使得P2为稳定点，则必须满足：δ2>1，δ1δ2>1。此情况下分为以下两种情况：

①δ2>1，δ1<1，δ1δ2>1

如图1a所示，f=0所表示的两条直线为实线，g=0所表示的两条直线为虚线（图1b，图2相同），其中两条直线将第一象限分为3个区域s1，s2和s3。

对于区域s1中的点，有d1·>0，d2·>0：此时轨线从s1出发，则随着时间t的增加轨线向右上方运动，从而进入s2，最终到达点P2。对于区域s2中的点，有d1·>0，d2·<0：此时轨线从s2出发，则随着时间t的增加轨线向右下方运动，最终到达点P2。对于区域s3中的点，有d1·<0，d2·<0：此时轨线从s3出发，则随着时间t的增加轨线向左下方运动，从而进入s2，最终到达点P2。因此P2为稳定点。 由于点P2在第四象限，因此最终的竞争结果为，企业1的消费者数量处于点B与点A之间，即在（N1/δ2，N1）之间，而此时企业2已经倒闭。而且还可以看到，由于δ2>1意味着在企业2的产品市场竞争中企业1强于企业2，当δ2→1时，企业1在最后所获得的消费者数量可能就越大。

②δ2>1，δ1>1，δ1δ2>1

如图1b所示，f=0，g=0共4条直线，其中两条直线将第一象限分为4个区域s1，s2，s3和s4。对于区域s1中的点，有d1·>0，d2·>0：此时轨线从s1出发，则随着时间t的增加轨线向右上方运动，从而进入s2，或者s3。对于区域s2中的点，有d1·>0，d2·<0：此时轨线从s2出发，则随着时间t的增加轨线向右下方运动。对于区域s3中的点，有d1·<0，d2·>0：此时轨线从s3出发，则随着时间t的增加轨线向左上方运动。对于区域s4中的点，有d1·<0，d2·<0：此时轨线从s4出发，则随着时间t的增加轨线向左下方运动，从而进入s2，或者s3。如图1b所示。故此时不存在稳定点。

由于δ1<1表示在属于企业1的产品市场竞争中企业2的竞争能力没有企业1的竞争能力强。δ2>1则表示在属于企业2的产品市场竞争中企业1的竞争能力强于企业2，即企业1所投入的广告量也越大。因此命题2说明当δ1<1，δ2>1时企业2没有竞争力争夺企业1的市场的同时，又不能保住自己本来的市场，最终导致企业2的倒闭，企业1获得其原本市场N1以及从企业2争夺过来的市场γ2N1δ1m2/（N2r2），其中该市场与企业2的广告费用投入呈正相关。

命题3：当δ1<1，δ2<1时，式（2）、式（3）存在稳定点P3[N1（1-δ1）/（1-δ1δ2），N2（1-δ2）/（1-δ1δ2）]。

证明：对于平衡点P3，根据稳定性判定条件有：

p=m1N2γ1（δ1δ2-1）+N1{N2[r1（δ1-1）+r2（δ2-1）]+m2γ2（δ1δ2-1）}N1N2（δ1δ2-1）

q=-[N1r1（δ1-1）+m1γ1（δ1δ2-1）][N2r2（δ2-1）+m2γ2（δ1δ2-1）]N1N2（δ1δ2-1）

因此，要使得P3为稳定点，则必须满足：δ1<1，δ2<1。

如图2所示，f=0，g=0共4条直线，其中两条直线将第一象限分为4个区域s1，s2，s3和s4。对于区域s1中的点，有d1·>0，d2·>0：此时轨线从s1出发，则随着时间t的增加轨线向右上方运动，从而进入s2，或者s3。对于区域s2中的点，有d1·<0，d2·>0：此时轨线从s2出发，则随着时间t的增加轨线向左上方运动，到达点P3。对于区域s3中的点，有d1·>0，d2·<0：此时轨线从s3出发，则随着时间t的增加轨线向右下方运动，到达点P3。对于区域s4中的点，有d1·<0，d2·<0：此时轨线从s4出发，则随着时间t的增加轨线向左下方运动，从而进入s2，或者s3，最终到达P3。故此时P3为稳定点。

命题3说明当δ1<1，δ2<1时，两企业在市场中势均力敌，从而达到一个均衡状态P3。由于各自市场的大小既取决于自己的竞争力，又取决于对方的竞争力，此时两类具有替代性的产品都做广告，无论谁是早期市场占领者，由于产品1打入产品2市场困难，产品2打入产品1市场也不容易，最后双方共同瓜分市场，形成稳定共存局面。由于当前的市场竞争手段在产品质量与广告营销方面信息几乎对称，所以此种情况在市场较为多见。

命题4：当δ1>1，δ2<1时，式（2）、式（3）存在稳定点P4（-γ1m1/r1，N2+γ1N2δ2m1/（N1r1））。

证明：对于平衡点P4，根据稳定性判定条件： p=N1r1{m2γ2+N2[r2+r1（δ1-1）]}+m1N2γ1[r2δ2+r1（-1+δ1δ2]N1N2r1

q=[N1r1（m2γ2+N2r2）+m1N2r2γ1δ2][N1r1（δ1-1）+m1γ1（-1+δ1δ2）]N21N2r1

因此要使得P4为稳定点，则必须满足：δ1>1，δ2<1。

由于δ2<1表示在属于企业2的产品市场竞争中企业1的竞争能力没有企业2的竞争能力强。δ1>1则表示在属于企业1的产品市场竞争中企业2的竞争能力强于企业1，即企业2所投入的广告量也越大。因此命题4说明当δ1>1，δ2<1时企业1没有竞争力争夺企业2的市场的同时，又不能保住自己本来的市场，最终导致企业1的倒闭，企业2获得其原本市场N2以及从企业1争夺过来的市场γ1N2δ2m1/（N1r1），其中该市场与企业1的广告费用投入呈正相关。

4 模型仿真

由于本模型主要考虑广告对产品扩散的影响，因此，为验证上述模型，取两企业的自然增长率与最大的潜在市场消费者容量相同，即r1=r2=1.5，N1=N2=10000。由于广告投入量与广告效率对扩散的作用是可以互补的，即要达到同样的扩散效果，在广告效率低时可以增加广告投入，在效率高时可以减少广告投入。故对于两家企业，取其广告投入量相同m1=m2=10000，但广告效率分别为γ1=1.5，γ2=1.6。δ1与δ2取不同的值，得到仿真图3至图5，其中横轴表示企业1的市场大小，纵轴表示企业2的市场大小。

取δ1=1/3，δ2=4时，此时δ1δ2=4/3>1，得到仿真结果如图3所示。δ1=1/3，δ2=4表明在属于企业1的产品市场竞争中企业2的竞争能力没有企业1的竞争能力强，且在属于企业2的产品市场竞争中企业1的竞争能力强于企业2，此时企业2不仅没有竞争力争夺企业1的市场的同时，而且又不能保住自己本来的市场，虽然企业2的广告效率较企业1高，但这仍不能抵消企业1对企业2的阻滞作用，最终导致企业2的倒闭。由图3可以看出，在广告的作用下，经过长时间的动态竞争，企业2的市场最终为0。这正好验证了命题2。

取δ1=1/3，δ2=1/4，得到仿真结果如图4所示。由于δ1=1/3，δ2=1/4表明在企业1的市场中，企业1的竞争能力强于企业2，在企业2的市场中，企业2的竞争能力强于企业1，即各企业均能通过广告及特色吸引各自的顾客，从而各企业共存于市场中。由图4可以看出，在广告的作用下，经过长时间的动态竞争，最终均衡为两企业共存并瓜分市场。这与命题3相符合。

取δ1=4，δ2=1/3，得到仿真结果如图5所示。由于δ1=4，δ2=1/3，表明在广告媒介的作用下，企业2不仅在保持自己市场的实力强于企业1，而且有能力去获得企业2的市场。而企业1不仅没有竞争力争夺企业2的市场，而且又不能保住自己本来的市场。由图5可以看出，最终企业1的倒闭。这验证了命题4。

以上仿真说明对于生产具有替代性产品的两个企业，有两种市场策略，一是模仿策略，二是差异最大化策略。对于追随者而言，前期可采用模仿的策略，减少两者产品的替代程度来获得部分市场，实现与领先者共存（如图4所示）。然后采用差异最大化的策略，增加产品间的替代性，从而最大限度地获得消费者市场（如图3、图5所示），当然这也存在较大的风险，可能被对方挤出市场。这也解释了为什么在具有竞争性的市场中，很多企业在进入的时候往往采用模仿策略，在占据一定的市场后采用差异最大化策略的原因。

5 结束语

本文讨论了广告媒介下具有替代关系的产品扩散动态模型，通过微分方程建立数学模型，运用向量场与相轨线图，讨论了具有不同竞争力的企业所生产的产品具有替代性时他们之间竞争的稳定状态，为模拟和预测动态市场结构演变及广告决策提供了理论依据。研究结果表明：具有替代性的两类产品，在广告的作用下要么共存于市场，要么只有其中一类产品存在于市场，而这取决于双方的广告竞争力。然而，产品不仅具有替代关系，也存在互补关系，那么在互补关系下，不同竞争力的企业之间的稳定状态如何，是下一步要进行的研究。

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[14]丁士海，韩之俊.考虑竞争与重复购买因素的耐用品品牌扩散模型[J].系统工程理论与实践，2011（7）：1320-1327.

（责任编辑：张京辉）

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（责任编辑：张京辉）