平行四边形宜为特殊的梯形

王全夫

[摘 要] 平行四边形无论从图形所具有的性质与图形的运动轨迹，还是从知识的逻辑性与知识研究过程，或者从分类学与数学的简约性角度来看，把它归为特殊的梯形比较有利.

[关键词] 平行四边形；特殊；梯形

“平行四边形是特殊的梯形吗？”“有一组对边平行的四边形是梯形吗？”为了回答以上两个问题，笔者查阅了有关资料. 在现行的中小学数学教材中，平行四边形与梯形这两个概念大多这样定义：“两组对边分别平行的四边形叫平行四边形；只有一组对边平行的四边形叫梯形. ”（人教版四上《数学》第71页）“有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.”“一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形. ”（人教版八下《数学》第83页与106页）其他版本的中小学数学教材与教学辅导用书中大多也都类似这样定义. 按照这样的定义，平行四边形和梯形是两个完全不同的概念，这两个概念之间是一种并列关系，完全没有相交或者包含的可能. 显然，前面两个问题的答案应该都是否定的. 其实，在大多数数学教材中，为了让学生能够清楚地区分这两个概念，教材还特意采用集合图的形式对平行四边形不是特殊的梯形进行了区别，以加深学生对这两个概念的理解.

然而，从长期的教学实践以及对以上两个问题的深入思考，笔者总觉得现行教材中对梯形的定义并不是十分贴切，总感觉平行四边形宜为特殊的梯形较为妥当. 现将笔者认为“平行四边形宜为特殊的梯形”的理由简述如下.

（1）从图形所具有的性质来看，平行四边形宜为特殊的梯形. 众所周知，梯形的面积计算公式（（上底+下底）×高÷2或中位线×高）、周长计算公式（四条线段的和）、内角和（360°）等，梯形所具有的一些公式、性质，平行四边形也都具有. 因此，平行四边形宜为特殊的梯形，即平行四边形为上底与下底相等的特殊梯形.

（2）从图形的运动轨迹角度来看，平行四边形宜为特殊的梯形. 如图1所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB

（3）从知识的逻辑性角度来讲，平行四边形宜为特殊的梯形. 四边形按对边是否平行的情况可分为：0组对边平行的四边形（即一般的四边形）、只有一组对边平行的四边形（即梯形）、有两组对边分别平行的四边形（即平行四边形）. 这从分类学的角度来讲是可以的，但从知识的逻辑性角度来讲，就并不怎么贴切了. 我们知道，两组对边分别平行应该是一组对边平行的特殊情况（即在四边形范围内，一组对边平行包括只有一组对边平行与有两组对边分别平行两种情况），而一组对边平行又是任意四边形的特殊情况（即任意四边形包括有一组对边平行与没有对边平行也就是0组对边平行两种情况）. 也就是说，按照原来的平行四边形与梯形的定义，平行四边形与梯形还应有一个共同的上位概念——有一组对边平行的四边形（目前暂没有命名这一上位概念，而被大多数人认为它们的上位概念都是四边形，这是不妥当的）. 其实，符合这一条件的上位概念应该就是梯形本身，也就是说平行四边形应是特殊的梯形.

（4）从知识研究过程的角度来看，平行四边形宜为特殊的梯形. 大家知道，我们研究事物经常用到的方法是从特殊到一般，然后用一般的方法或结论去解决特殊的问题. 对于四边形的研究，我们是从正方形（特殊的长方形）与长方形（特殊的平行四边形）开始，接着是平行四边形（特殊的四边形），然后是梯形（特殊的四边形）. 也就是说，如果我们对四边形的研究采用常用方法（即从特殊到一般：正方形——长方形——平行四边形——梯形——四边形）的话，那么，平行四边形就宜为特殊的梯形.

（5）从分类学的角度来看，平行四边形宜为特殊的梯形. 大家知道，对事物（知识）进行分类，主要是为了让人们能够更好地认识事物（知识），理清各种事物（知识）之间的关系，使事物（知识）系统化. 分类有一些原则，即不重复、无遗漏、标准统一、逐层划分等. 然而，人们在对事物（知识）分类时，习惯于将事物（知识）分为两类（即非此即彼），因为这样分类便于将事物（知识）进行归类与记忆. 例如将实数分为有理数和无理数两类，将有理数分为整数与分数两类，将图形分为平面图形与立体图形两类等. 因此，最好将四边形分为一般的四边形与梯形两类，也就是说，将平行四边形归为特殊的梯形，而并非现行教材中的三类，即四边形包括一般的四边形、平行四边形与梯形.

（6）从数学的简约性角度来看，平行四边形宜为特殊的梯形. 数学是把人们在日常生活中的众多生活现象进行高度抽象、概括、简化的结晶，因此，数学具有简洁性，而且，随着人类对数学研究的不断深入，数学内容将会越来越概括，越来越简洁. 把平行四边形归为特殊的梯形，就可以使四边形的分类由目前的一分为三（即四边形包括一般的四边形、平行四边形与梯形）简化为将来的一分为二（即四边形包括一般的四边形与梯形），这样便于学生的研究与记忆.

综上所述，平行四边形宜为特殊的梯形. 也就是说，梯形应定义为：有一组对边平行的四边形叫做梯形（即把原来梯形定义中的“只有”改为“有”，这样平行四边形就隶属于梯形的范畴）.平行的一组对边叫做梯形的底（其中一条边叫做上底，另一条边叫做下底），另一组对边叫做腰. 两腰相等且相邻内角相等的梯形叫做等腰梯形. 有一只角是直角的梯形叫直角梯形（即正方形与长方形也可以理解为特殊的等腰梯形或特殊的直角梯形）.

以上是笔者的一点想法与认识，如有不妥，敬请各位专家、同行批评指正.