让概念教学更有效

郑烨婷 陈海烽

[摘 要] 本文从一节小学五年级“方程的意义”入手，通过课堂观察，进行案例分析和诊断，提出了概念教学有效的一般范式，即通过铺垫让学生形成概念，通过辨析让学生理解概念，通过史实让学生感悟探索概念的科学精神.

[关键词] 概念教学；方程；意义；有效

■ 写在前面

笔者所在的学校是一所九年一贯制学校，中小学一体化，抓好中学和小学的衔接是我们的课题之一. 其中的一个举措是中学老师进入小学课堂，同时也可以是小学老师进入中学课堂，在相互听课的前提下，反思和改进自己的教学，使中小学教学尽量做到无缝对接. 正好，小学五年级的郑烨婷老师开设“方程的意义”公开课，方程又是学生学习代数的基础，也是中学学习的重点内容，基于此，“我”（陈海烽老师）走近了小学课堂.

■ 案例呈现

1. 游戏引入，激发兴趣

师：今天，我们先来玩一个游戏！这儿有13张扑克牌，分别代表1～13，你们从中任抽一张不让老师看到，老师也能猜到你抽到的这张扑克牌是什么，谁愿意试试？

生1：任抽一张（不让老师看见牌面）.

师：请将扑克牌代表的数先乘2，再加上3，再把所得的和乘5，最后减去25，看看结果是多少？？摇？摇

生1算后报出结果，教师利用列方程快速求出结果，报出牌面的数字. 待学生无限惊讶时，引导学生猜想：“老师怎么能这么快知道同学们手中的牌呢？”

生2：你一定是倒推的，将得数加上25，再除以5，接着减去3，最后除以2.

师：你知道其中的秘密了，真了不起！老师之所以能这么快知道你们抽的是什么牌，是因为数学王国的一位新朋友帮了我的忙，今天我们就能认识它.

2. 建立方程概念

（1）理解已知数、未知数

师：我们在生活中经常会遇到各种各样的数，对吗？比如，谁愿意告诉我你今年多大了呢？（请两、三位同学说说）

师：真好！同学们看，自己的年龄知道吗？自己的体重知道吗？像这些都知道的数，数学上给他这个名称——

板书：已知数.

师：叫已知数，咱们都知道了是不是？那既然有已知数，就一定有（ ？摇？摇？摇 ）.

师：自己的年龄、爸爸的年龄对大伙来说都是已知数，那生活当中对你们来说什么是未知数呢？举个例子.

师：真好！看来生活中已知数有很多，未知数（ ？摇？摇？摇 ）.

师：对于你们来说，老师的年龄也是（ ？摇？摇？摇 ）.

（2）利用天平（教具），感悟等号可以表示一组相等的关系

师：好，仔细观察，多少克？（50克）再观察左边——20+30，现在你能说说天平应该是什么状态吗？（平衡的）为什么？

师：能用一个数学式子把这事儿说清楚吗？（50=20+30）你看，一个数学式子就能说明天平现在的状态，不错吧？

（3）寻找等量关系，列等式，认识方程

师：（出示一颗草莓）它的重量知道吗？（不知道）说明这是个未知数，可以用什么表示？（x）如果这样（把草莓贴到天平的左边），天平会怎样？请一个学生上台表演一下，其他同学根据他的表演说说式子.

20+x<50？摇？摇？摇？摇 20+x>50？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇 20+x=50

师：思考一下，上述三种情况，哪一种可以称出草莓的重量？（第三种）为什么？（前两个没告诉准确的等量关系）

师：两个等量关系都可以用等号连接，像这样含有等号的式子（如50=20+30，20+x=50）就叫做等式. 反之，像上面这两个式子（20+x<50，20+x>50？摇）就叫做不等式.

师：像这样含有未知数的等式（如20+x=50）就叫做方程. 上面三个式子叫方程吗？快速找理由.

3. 课堂练习

（1）辨析：判断下列式子，哪些是方程，哪些不是？为什么？

35+65=100？摇 ？摇？摇 x-14>72

5y+15=40？摇？摇？摇？摇 y+24？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

6（a+2）=42？摇 ？摇x-y=80

6x+□=78？摇？摇 36+□<42

（2）根据等量关系列方程，进一步理解方程的意义.

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师：（2）中的三个问题一样吗？（不一样）第一个买梨，第二个卖书包，第三个开汽车，三个不同的问题列出一样的方程，为什么？

（给一定的时间让学生思考后，指几名学生说一说）

师小结：真好，也就是说，具有相等的数量关系，我们就可以列出同样的方程，换句话说，无论你的问题怎样变化，只要等量关系相同，都可以用几个方程把它搞定？（一个）这就是方程最大的魅力所在.

4. 介绍方程的历史

看来，大家对方程已经有了非常深刻的认识. 据现存世界上最早的数学文献——埃及的《林特草卷》记载，早在三千六百多年前，埃及人就会用方程解决数学问题了. （出示PPT）

中国人对方程的研究也有着悠久的历史. 大约两千年前的《九章算术》中，就有专门以“方程”命名的一章，记载了用一组方程解决实际问题的方法.

在很长的时期内，方程没有专门的表达形式，而是使用一般的语言文字来叙述它们. 一直到三百年前，法国的数学家笛卡儿第一个提倡用x，y，z等字母代表未知数，才形成了现在的方程.

5. 课堂小结

师：今天我们学习了“方程的意义”，谈一谈你的收获.

生4：我学会了……

■ 几点思考

数学教学活动必须建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上. 小学五年级学生的特点是求知欲强、好胜心强、注意力的持久度还不高，所以郑老师在围绕教学目标时进行了有益的深度探索，学生反应积极，教学的有效性得以凸显.

1. 精心创设问题情境

众所周知，小学生的注意力不易持久，特别是经过大课间25分钟的活动，整个身体活动开了，听到钟声一响，一时半会儿还难以进入上课的状态，心似平原走马，易放难收. 作为教师，一定要采取措施使学生的心回到课堂. 郑老师拿出一副扑克牌，说要变一个魔术，便引起了学生的强烈好奇心，课堂立马安静了下来. 学生以为郑老师就是“刘谦”了. 然后，郑老师用猜扑克牌的办法，让学生抽牌、算数字，老师再用方程的办法求出了牌面上的数字. 学生的兴趣一下子就被激发了，探索的欲望被点燃. 这为教学的下一个环节打下了良好的基础.

2. 用心铺垫，形成概念

含有未知数的等式叫方程，其中涉及两个关键词，一个是未知数，一个是等式. 郑老师在这个地方舍得花时间让学生找自己身边的已知数和未知数. 如自己的生日对自己来说是已知的，可是对别人是未知的；还说老师的年龄对我们小朋友来说是未知的，等等，这让学生充分认识到了已知数和未知数其实都充斥在了我们的生活中，所以我们要用数学的眼光去观察世界. 她还科学地利用天平图片，首先展示的是20+30=50这个等量关系（这一步很重要），再用一个“草莓”图片替换其中的30，并让学生猜测可能会出现什么情况. 学生的反应正如老师的预期，出现了三种情况，学生则根据情况将天平进行调整. 老师接着追问，哪一种情况能准确知道草莓的重量呢？这样，方程的价值就被凸显出来了. 概念教学的这个铺垫很重要，应避免出现“滑过”现象，郑老师做到了这一点.

3. 细心辨析，理解概念

当方程的意义也就是方程的概念形成以后，郑老师用了很多个判断题来理解概念，从等式入手，有些是代数式，有些是不等式，有些没有未知数，有些含多个未知数. 特别地，在教学中，许多的未知数我们都用x来表示，但是要突破学生的思维定式，不要以为只有x才可以表示未知数. 这一点，在相应的教学环节中得到了良好的体现. 与此同时，郑老师又设计了“同样一个方程可以赋予不同的意义”，这其实就是数学的抽象，使得学生的思维并不是原地打转，而是出现更大的提升.

4. 开心学习数学史实

方程的由来是劳动人民通过生产实践得来了，郑老师还介绍了我国古代《九章算术》中的方程，以及后来笛卡儿的贡献，这些史实图片资料丰富，让学生开阔了眼界，也让学生知道了这些“智慧”和探索精神需要我们去传承.

5. 教学是一门艺术

教学是一门遗憾的艺术，没有最好，只有更好. 在郑老师的课堂中，我们感受到了她的激情朝气、干练和组织的有序. 作为一个只有五年教龄的年轻老师来说，她已经向经验老师迈进，但是在教学中，还存在一些问题.

（1）忽略了孩子的心声，疏于有效追问

在第一个环节中，老师表演了魔术，有一个学生说老师是逆推的，其实这就是一个算术的解法，也就是将这个牌面上的数字处于未知的位置，而我们老师说是一个朋友——方程帮的忙，这样的回答难以让学生信服，可见，此时的老师急于抛出下面的问题，置学生的理解于不顾. 其实，老师可以智慧地回答：“这位同学的回答相当好，用逆推的方法可以解决这个问题，但老师可用的不是这种办法呢，老师的办法还能解决很大的问题呢，大家想知道吗？”这时才转入下面的教学为妥. 对于一个经验型老师来说，善于追问应该成为一个分水领. 追问是学生深入思维的内核，能找到学生的认知起点. 当然，教师必要时的点拨，也有利于学生思维的提升，如在第二个环节让大家判断是不是方程，就应引导孩子“你是通过什么判断的，为什么这样判断”，这就是数学家波利亚的说法：“要回到定义中去. ”这样，孩子的认识会更到位，今后遇到判断题也会更自觉地回到定义中去.

（2）多了些预设，少了些生成

在这节课中，郑老师是用PPT和黑板上准备的天平教具来完成的，课堂上可谓是顺风顺水，但是用课件时经常捆绑住老师的一些手脚，使得老师以设置好的课件为逻辑顺序，如此一来就很难根据学生的具体情况做出相应的调整. 换句话说，就是在预设下工夫. 但课堂应该是生成的，课堂的生成才是富有生命价值的. 比如，郑老师得到3x=270这个方程时，大可以放开由学生来讲解，追问同样一个方程可以赋予三种不同的意义：“那么，你还可以给它一个意义吗？你能否举出一个生活的例子？”虽然学生可能大多会去模仿，但我想，只要我们相信学生，耐心静待花开，出现一个长方形，它的面积是270，宽是3，长是x这样的例子应该问题不大. 这可是今后几何直观的一种应用呢！如此的话，不仅有利于学生思维的发散，还会有更多的生成、更多的惊喜. 教师在教学中不能害怕学生成为“半路杀出的程咬金”，应尊重学生的主体地位，合理地挖掘教学资源中存在的教学价值. “人们无法预料教学所产生结果的全部，没有预料不到的后果，教学也就不成为艺术. ”（布卢姆）

■ 写在最后

听完这节课，我们找到了一些教师专业发展的轨迹. 教师的专业发展一定要以课堂为自己的“一亩三分地”进行精耕细作. 对于数学知识上的衔接，要多阅读义务教育的课程标准，知道小学的知识在初中如何得到相应的发展，为初中的基础奠基. 同时，应依据小学生的学习心理，尊重小学生的学习风格. 概念的教学一定要让学生知道概念形成的来龙去脉，不要急于求成. 在小学阶段，概念的来源应尽量和学生的生活进行对接，而在初中阶段，概念的来源应该尽量以学科发生、发展的逻辑顺序来设计教学.