阻力对惯性秤摆动幅度和周期的影响

郑雪梅，黄　瑛，彭　莉，杨建荣

(1.上饶师范学院，江西 上饶 334001；2.上饶县第二中学，江西 上饶 334001)

引言

惯性秤实验对于提高大学生认识惯性质量，学会秤衡质量的一种新方法，具有一定的意义。在现有的大学物理实验教材中，是直接给出惯性秤摆动周期与振动体空载时的等效质量、附加质量块的质量、悬臂振动体的劲度系数三者的关系。要求完成的实验内容有惯性秤的定标、秤衡物体质量和研究重力对周期的影响[1]。其中重力和悬线对摆动周期的影响[2-6]、惯性秤的弹性钢片的等效长度[7]等问题，已有老师进行了分析讨论。而目前使用的惯性秤实验装置，都会出现摆动幅度随时间的增大而明显减小的实验现象，由这一实验现象可知，秤臂和秤台所具有的宽度，在摆动过程中，受到了不可忽略的空气阻力。本文将考虑阻力作用，研究惯性秤摆动的动力学方程，以及阻力对周期和振幅的影响。

1　阻力作用下惯性秤摆动的动力学方程和解

图1　惯性秤实验装置示意图

(1)

考虑到s=Lθ，当摆角θ<5°时，可取sinθ≈θ，代入(1)式，得

(2)

由此可解得

(3)

(4)

由(3)式知园频率为

(5)

摆动周期为

(6)

(4)和(6)式分别反映了惯性秤秤台摆动幅度和周期与空气阻力、重力、秤臂等效摆长和质量所存在的关系，下面主要分析讨论其中空气阻力对摆动幅度和周期的影响。

2　空气阻力对摆动幅度和周期的影响

根据(3)式的摆角与空气阻力系数λ、摆体质量(m0+mi)、秤臂的等效摆长L、弹性系数K、夹角φ和摆动时间t等物理量之间的关系，可知，由于空气阻力的存在λ≠0，摆角随时间的增长，摆幅减少，如图2所示。

图2　由(3)式决定的摆角与时间的关系，图3　由(4)式决定的摆角θmax与空气空气阻力系数λ=0.5阻力系数和时间的关系

作图时考虑了惯性秤的实际装置，取m0=0.4kg,mi=0.1kg,L=0.4m,K=120N/m,φ=6rad,g=9.8m/s2。由(4)式可进一步知摆角的最大值θmax随时间的增长而呈指数衰减，如图3所示。当空气阻力系数λ=0时，θmax不随时间衰减，是一直线，如图3中的(a)直线；λ≠0，θmax随时间衰减，λ越大，θmax衰减越快，如图3中的(b)、(c)和(d)曲线。另外，由(4)式可知质量(m0+mi)越大，θmax衰减越慢。

图4　由(6)式决定的空气阻力系数与摆动周期的关系

3　结论

根据惯性秤实验中所出现的摆角随时间增长而衰减的实验现象，推导了具有阻力作用的惯性秤动力学方程，如(1)式。由此而解得摆动幅度随时间增长而逐渐衰减的周期波解，如(3)式。(4)式表明空气阻力系数λ越大，摆动幅度衰减越快，而(6)式表明空气阻力系数λ越大阻摆动周期增大，说明阻力的存在使惯性秤周期增大，忽略阻力的影响，使测量结果比实际待测物的惯性质量要大。另外，文献[1-6]的结果，是本文的一个特例。研究结果对引导学生观察实验现象，养成分析问题的科学态度，培养和提高应用理论解决实际问题的能力，具有一定的意义。如何根据(6)式测量惯性质量和阻力系数，我们将另文讨论。

参考文献：

[1] 杨述武. 普通物理实验: 力学及热学部分[M] . 北京: 高等教育出版社, 2000.

[2] 张秀莲,朱安丽,林长. 惯性秤特性的实验探讨[J].西北师范大学学报(自然科学版)，1996,32(2):104-106.

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[7] 汤云兴. 惯性秤秤台弹性钢片在振动中的作用[J].淮阴师范学院学报(自然科学版)，2005,4(2): 120-123.