多近邻作用下具有在位势的一维双原子链晶格振动的色散关系

吕　岿 ,童国平

(1.上饶师范学院，江西 上饶 334001；2.浙江师范大学 数理与信息工程学院, 浙江 金华 321004)

原子链中的原子之间存在相互作用势能,同时可能存在与临近原子无关的在位势(能)[1-2].研究表明,在位势对晶格振动色散关系产生显著影响[3-5].这些研究均采用最近邻相互作用的紧束缚模型,尚未考虑长程晶格间的相互作用.原子或分子晶体中四极矩比较显著而双极矩较小时,仅考虑晶格中的最近邻相互作用就符合要求,但在特殊情况或精确度要求更高的情况下[6],双极矩开始明显,则须考虑长程晶格间的相互作用.本文计及原子间长程库仑相互作用,在简谐作用下求解具有在位势的一维双原子链晶格振动运动方程,得到了相应色散关系,并简要讨论了多近邻作用下在位势对禁带宽度、频隙、光频支顶在布里渊区的位置等因素的影响特征,以补充相关研究的一些基础知识.

1　理论模型和色散关系

考虑由N个原胞组成的一维双原子链,设相邻原子的平衡距离为a,原子质量分别为m1与m2,电荷为±e,以u2n-1表示第n个原胞内质量为m1的原子离开平衡位置的位移,以u2n表示第n个原胞内质量为m2的原子离开平衡位置的位移,其中n=1,2,…，N.在简谐近似下,计及多近邻作用的具有在位势的一维双原子链晶格振动哈密顿量为:

H=T+V

(1)

其中动能部分为:

(2)

势能部分为:

(3)

式中α是短程力常数,η是在位势能的力常数,β=-2e2/a3为最近邻间库仑力常数.本文考虑长程库仑力作用到第四近邻的情况,即取s=4,则最近邻力常数为β1=α+β,第二到第四近邻间长程库仑力常数依次为β2=-β/8,β3=β/27,β4=-β/64.应用拉格朗日方程,可得到相应的晶格振动运动方程组为：

β3(u2n+2+u2n-4-2u2n-1)+β4(u2n+3+u2n-5-2u2n-1)-ηu2n-1

(4a)

β3(u2n+3+u2n-3-2u2n)+β4(u2n+4+u2n-4-2u2n)-ηu2n

(4b)

由晶格的周期性,可设u2n-1=Aei[q(2n-1)a-wt],u2n=Bei[q2na-wt],代入(4)式得到方程组:

[m1ω2-η-2(β1+β2+β3+β4)+2β2cos(2qa)+2β4cos(4qa)]A+

[2β1cos(qa)+2β3cos(3qa)]B=0

(5a)

[2β1cos(qa)+2β3cos(3qa)]A+

[m2ω2-η-2(β1+β2+β3+β4)+2β2cos(2qa)+2β4cos(4qa)]B=0

(5b)

方程组(5)有解的条件是其系数行列式的值为零,由此求得晶格振动的色散关系为:

(6)

其中C=2(β1+β3)+4β2sin2(qa)+4β4sin2(2qa)+η,D=2[β1cos(qa)+β3cos(3qa)].

(7)

上式中λ1,λ2,λ3,λ4的数值跟长程库仑力作用的线度有关,详见下表:

最近邻近似次近邻近似第四近邻近似λ102-sin2(qa)/256/27-sin2(qa)/2-sin2(2qa)/16λ24cos2(qa)4cos2(qa)4cos2(qa)λ3016cos2(qa)16[cos(qa)+cos(3qa)/27]2λ4016cos2(qa)16cos2(qa)+16cos(qa)cos(3qa)/27

在布里渊区边缘qB=π/2a处,由(7)式可得:

(8)

在布里渊区中心q=0处, 由(7)式可得:

(9)

2　结果讨论

多近邻作用下在位势对色散关系的影响具有一些不同于最近邻模型的新特征,本文主要从以下三个方面加以讨论.讨论中取原子质量比m1/m2=2,短程力常数α用约化单位取为1.

2.1　对禁带宽度的影响

2.2　对布里渊区中心频隙的影响

2.3　对高频支顶在布里渊区位置的影响

在不同原子质量比下,η和|β|取其他值时,情况与上述讨论类似,限于篇幅,在此不一一列举.

图2　η=0.15时高频支顶的位置随|β|的变化 图3　η=0.85时高频支顶的位置随|β|的变化

3　结论

本文计及长程库仑作用至第四近邻,研究了具有在位势的一维线性双原子链晶格振动的色散关系,发现多近邻作用下在位势对色散关系中禁带宽度、频隙、高频支顶在布里渊区的位置等因素的影响具有不同于最近邻模型的特征,这些特征是以往的文献所未提及的,其物理应用尚有待于实验上的进一步探索.顺便提及,如果把电子壳层视作质量很小的原子,在解释铁电光学实验中获得成功的Bilz模型即可转化为本文的四原子多近邻模型[7].由于实际原子链中往往存在非线性作用,在位势具有二次(简谐)、四次(非简谐)等不同形式,并且长程库仑力作用到的原子可以不止四个,故模型尚待进一步完善和拓展.有关工作正在进行之中

参考文献：

[1] Gorbach A V, Johansson M. Discrete gap breathers in a diatomic Klein-Gordon chain:stability and mocility [J]. Phys Rev E,2003,67(6):0666081-06660814.

[2] Maniadis P, Zolotaryuk A V, Tsironis G P. Existence and stability of discrete gap breathers in a diatomic β Femi-Pasta-Ulam chain [J]. Phys Rev,2003,E67(4):0466121-04661213.

[3] 田强,洪馥男. 具有在位势的一维双原子链晶格振动的色散关系[J]. 大学物理,2006,25(4):17-19+24.

[4] 潘学琴,刘炳灿,田强.在位势对于一维双原子链晶格振动长声学波的影响[J].大学物理,2009,28(5):11-13.

[5] 任益充,范洪义.不变本征算符方法求解含不同在位势的一维双原子链的色散关系[J].物理学报,2013,62(15): 353-358.

[6] 徐文兰,陆卫.多近邻作用双原子链和一维铁电体晶格振动[J].红外与毫米波学报,2000,19(5):394-396.

[7] Ho lma M, Chen Haydn. Phonen dispersion and anharmonicity in cubic KNbO3[J]. Phys Chem. Solids, 1996, 57: 1465.