整系数多项式在有理数域内不可约的一种新判别方法张洪刚，张力宏

(吉林师范大学博达学院 数学系，吉林 四平 136000)

文献[1]中给出了整系数多项式在有理数域内不可约的一种判别方法—Eisenstein判别法，此判别法仅是判别整系数多项式在有理数域上不可约的充分条件，而非必要条件。借鉴Eisenstein判别法的研究，给出了一种新的判别方法。

1 预备知识

定理1[1](Eisenstein判别法)设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是一个整系数多项式。如果有一个素数p，使得

1)p⫮an； 2)p|an-1,an-2,…,a0； 3)p2⫮a0

那么f(x)在有理数域上是不可约的。

2 主要结果

定理2 设f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0是一个整系数多项式。如果有一个素数p，使得

1)p⫮a0； 2)p|a1,…,an-1,an； 3)p2⫮an

那么f(x)在有理数域上是不可约的。

证 假设f(x)在有理数域上是可约的，则有f(x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。令

f(x)=(blxl+bl-1xl-1+…+b1x+b0)(cmxm+cm-1xm-1+…+c1x+c0)，

其中l,m

一方面p|an，则有p|blcm，又因为p2⫮an，从而p只能整除bl，cm中的一个。不妨设p|bl，但p⫮cm.

另一方面p⫮a0，则p⫮b0假设bl,bl-1,…,b1,b0中第一个不被p整除的为bk，即p|bl，p|bl-1,…,p|bk+1,但p⫮bk.考察xk+m的系数

若k+m>l，则ak+m=bkcm+bk+1cm-1+bk+2cm-2+…+blck+m-l；

若k+m≤l，则ak+m=bkcm+bk+1cm-1+bk+2cm-2+…+bk+mc0

因为p|ak+m，且

p|bkcm+bk+1cm-1+bk+2cm-2+…+blck+m-1，

p|bkcm+bk+1cm-1+bk+2cm-2+…+bk+mc0，

从而p|bkcm，这与p⫮bk，p⫮cm矛盾，故f(x)在有理数域上是不可约的。

3 举例

例1 判别整系数多项式f(x)在有理系数域内是否可约，其中，

f(x)=13x5+26x4+39x3+52x2-13x+1

解 此整系数多项式f(x)显然不满足(Eisenstein判别法)，但却满足定理2。我们取素数p=13，可得，但p|13,26,39,52,-13，且p2⫮ 13，由定理2可知整系数多项式f(x)在有理系数域内不可约。

判别整系数多项式在有理数域内是否可约的问题，并没有一种通用的方法适合任意情况，目前的一些文献也仅给出了一些特殊类整系数多项式在有理数域内是否可约的判别。但随着代数学的发展，特别是抽象代数学的完善，相信会探索出更多新的判别方法。

[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003：33-34.